Math Master

প্রশ্ন : 4 - x² + 2xy - y² এর সঠিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো-

সমাধান :

সমাধান : 

লঘিষ্ঠ সংখ্যাটি হবে ১২, ১৪ এবং ২৪ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ২ কম। 
১২, ১৪ এবং ২৪ এর ল.সা.গু. = ১৬৮

নির্ণেয় সংখ্যা = ১৬৮ - ২ = ১৬৬

সমাধান : 

১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্যে = ১০০ - ১০ = ৯০ টাকা
৫% লাভে বিক্রয়মূল্যে = ১০০ + ৫ = ১০৫ টাকা
বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য = ১০৫ - ৯০ = ১৫ টাকা

বিক্রয়মূল্য ১৫ টাকা বেশি হয় যখন ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হয় যখন ক্রয়মূল্য ১০০/১৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ২১০ টাকা বেশি হয় যখন ক্রয়মূল্য (১০০/১৫) × ২১০
                                                                  = ১৪০০ টাকা

সমাধান: 

এখানে 
x + 2y = 16............. (1)
2x + y = 14.............(2)

(2)নং × 2 - (1)নং  ⇒
4x + 2y - x - 2y = 28 - 16
3x = 12
x= 4

(1)নং সমীকরণ থেকে পাই 
4 + 2y = 16
2y = 16 - 4
2y = 12
y = 6

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (4, 6)

সমাধান : 

দেয়া আছে,
a + b + c = 13
ab + bc + ca = 72


আমরা জানি,
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
a² + b² + c² = (a + b + c)² - 2(ab + bc + ca)
                      = 13² - 2 × 72
                       = 169 - 144
                        = 25

 

অতএব, (a² + b² + c² )² = (25)² = 625

সমাধান : 
প্রশ্নমতে,
৬০% শিক্ষার্থী = ১৮০০ জন।
∴ ১০০% শিক্ষার্থী = ১৮০০ × ১০০ / ৬০
= ৩০০০ জন।
সুতরাং ছাত্রাবাসের মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা = ৩০০০ জন।

সমাধান :

ধরি,
৫ এর ক% = ৭.৫
বা, ৫ এর ক/১০০ = ৭.৫
বা, ক/২০ = ৭.৫
বা, ক = ১৫০

সমাধান : 

০.০০৬ × ০.০৯ × ০.০৩ = ০.০০০০১৬২

৬, ৯ ও ৩ গুণ করলে হয় ১৬২ আর ৩+২+২ = ৭ ঘর আগে দশমিক বসালে ০.০০০০১৬২ হয়।

 

১/২ = ০.৫
৪/৫ = ০.৮
৮/১১ = ০.৭২

৩/৪ = .৭৫

সুতরাং, ৪/৫এর মান ৩/৪ এর মানের চেয়ে বড়।

সমাধান : 

    x² - 8x + 15 < 0
বা, x² - 5x - 3x + 15 < 0
বা, x(x - 5) - 3 (x - 5) < 0
∴ (x - 3)(x - 5) < 0

x² - 8x + 15 < 0 সত্য হবে যদি x - 3 < 0 এবং x - 5 > 0 হয়।
এখন, x - 3 < 0 এবং x - 5 > 0
অর্থাৎ,  x < 3 এবং x > 5
3 এর চেয়ে ছোট এবং 5 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
x² - 8x + 15 < 0 সত্য হবে যদি x - 3 > 0 এবং x - 5 < 0 হয়।
এখন,  x - 3 > 0 এবং x - 5 < 0
অর্থাৎ x > 3 এবং x < 5
x এর মান 3 এর চেয়ে বড় এবং 5 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে।

সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ 3 < x < 5

সমাধান : 

মোট দান করলেন = (১/৬) + (১/২) + (১/৮) অংশ 
                            = (৪ + ১২ + ৩)/২৪ অংশ
                             = ১৯/২৪ অংশ

অবশিষ্ট রইলো = ১ - (১৯/২৪)অংশ 
                       = (২৪ - ১৯)/২৪ অংশ 
                       = ৫/২৪ অংশ 


৫/২৪ অংশ সম্পত্তির মূল্য = ৩০,০০০ টাকা
১ অংশ সম্পত্তির মূল্য = (৩০,০০০ × ২৪/৫) টাকা
                                  = ১,৪৪,০০০ টাকা

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)(বাহু)^২
বা, বাহু^২ = (৪ × ১৬√৩)/√৩ 

বা, বাহু = √৬৪
∴ বাহু = ৮ সেমি

 

সুতরাং, ত্রিভুজটির পরিসীমা = ৮ + ৮ + ৮ = ২৪ সেমি

 

সমাধান : 

দেওয়া আছে,
P  = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং  x ≤ 15}
P ={3, 6, 9, 12, 15}
P এর উপাদান সংখ্যা n = 5
 P এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2⁵ - 1 
                                           = 2⁵ - 1
                                           = 32 - 1 
                                           = 31

 

১ম রাশি = x² - 9 = (x + 3)(x - 3)
২য় রাশি = x² + 7x + 12
             = x² + 3x + 4x + 12 
              = x(x + 3) + 4(x + 3)
               = (x + 3)(x + 4)

৩য় রাশি = x² + 5x +6
              = x² + 2x + 3x + 6
              = x(x + 2) + 3(x + 2)
              =(x + 2)(x + 3)

নির্ণেয় গ.সা.গু = (x + 3)

প্রশ্ন : ।x - 11। < 17 অসমতাটির সমাধান কত? 

।x - 11। < 17
বা, - 17 < x - 11 < 17 
বা, - 17  + 11 < x - 11 + 11< 17 + 11
বা, - 6 < x < 28

সমাধান : 

'BASIC' শব্দটিতে 5টি বর্ণ। 
প্রতিবারে 3টি করে বর্ণ নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = ⁵P₃ = 5 × 4 × 3 = 60

প্রশ্ন : x² - √5x + 1 = 0 হলে x² + 1/x² এর মান কত?

দেওয়া আছে,
     x² - √5x + 1 = 0
বা,  x² + 1 = √5x
বা, x²/x + 1/x = √5x/x
বা, x + 1/x = √5

x² + 1/x² = (x + 1/x)² - 2x(1/x)
               =(√5)² - 2
               = 5 - 2
               = 3

সমাধান : 
⇒ log₁₀2⁷  + log₁₀2 + log₁₀3 
⇒ log₁₀128 + log₁₀2 + log₁₀3 
⇒ log₁₀(128 × 2 × 3)
⇒ log₁₀768

- কোনো বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ সূক্ষ্মকোণ ।

 

সমাধান : 

 8x² + 12x - 8 = 0

বা, 2x² + 3x - 2 = 0 
বা, 2x² + 4x - x - 2 = 0
বা, 2x(x + 2) - 1(x + 2) = 0
(x + 2)(2x - 1) = 0
হয়                    অথবা 
x + 2 = 0               2x - 1 = 0  
x = - 2                    x = 1/2

 

সুতরাং, বৃত্তের ব্যাস = ২× ৫ = ১০ ইঞ্চি 

সমাধান :
ধরি,
সংখ্যা গুলো যথাক্রমে x, x+2, x+4, x+6, x+8
সংখ্যা গুলোর গড় = (x+x+2+x+4+x+6+x+8)/5
= (5x +20)/5

প্রশ্নমতে,
5x +20 = (5x +20)/5+ 280

 

প্রশ্নে জানতে চাওয়া হয়েছে ক্ষুদ্রতম বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা। কিন্তু সমাধান করলে জোড় স্বাভাবিক সংখ্যা ৬৬ বের হয়। 

তাই প্রশ্নের সঠিক উত্তর হবে কোনটি নয়। 

 

= ২ × ৬০/১২
= ১০ সেমি

হলুদ বল আছে 9টি। 

সবুজ বল আছে 13টি। 

প্রশ্ন : log₁₀(3m/n) + log₁₀(n/9m) = log₁₀(m + n) হলে কোনটি সত্য?

সমাধান : 

সমাধান :

মনে করি,
৩৫০০ টাকায় বিক্রয় করলে ক্ষতি হয় ক টাকা
ক্রয়মূল্য  = (৩৫০০ + ক ) টাকা
৪৫০০ টাকায় বিক্রয় করলে লাভ হয় ক টাকা 
ক্রয়মূল্য  = (৪৫০০ -  ক ) টাকা

প্রশ্নমতে,
৩৫০০ + ক = ৪৫০০ - ক 
বা, ক + ক = ৪৫০০ - ৩৫০০
বা, ২ক = ১০০০
বা, ক = ৫০০
∴ ক্রয়মূল্য  = (৩৫০০ + ৫০০) টাকা
                   = ৪০০০ টাকা 

সমাধান:

ধরি,
f(x) = x³ + x - 30 
f(3) = 3³ + 3 - 30 
f(3) = 30 - 30 
      = 0
(x - 3) হলো x³ + x - 30 এর একটি উৎপাদক। 

সমাধান : 
7sin²θ + 3cos²θ = 4
⇒ 7sin²θ + 3(1 - sin²θ) = 4
⇒ 7sin²θ + 3 - 3sin²θ = 4
⇒ 4sin²θ = 1
⇒ sin²θ = 1/4
⇒ sinθ = 1/2
⇒ sinθ = sin30º
⇒ θ = 30º

∴ tanθ = tan30º = 1/√3

৫০ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ১০টি। 

প্রশ্ন : 1/4 - 1/8 + 1/16 - 1/32 + ………. ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

সমাধান : 

সমাধান : 

বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ৩১ - ৭ = ২৪, ৪৪ - ৮ = ৩৬ এবং  ৬৯ - ৯ = ৬০
এখন, ২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ.সা.গু = ১২

বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে = ১২

সমাধান : 

২৫০টি আমের ক্রয়মূল্য = ১০০০ টাকা 
১টি আমের ক্রয়মূল্য = ১০০০/২৫০ = ৪ টাকা

২০ টি আমের বিক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 
১ টি আমের বিক্রয়মূল্য = ১০০/২০ = ৫ টাকা

লাভ = (৫ - ৪)টাকা = ১ টাকা 

৪ টাকায় লাভ করেন ১ টাকা
১ টাকায় লাভ করেন ১/৪ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ করেন = (১ × ১০০)/৪ টাকা 
                                       = ২৫ টাকা

সমাধান : 

(x^2/3)/27 = 8/(x^1/3) 
বা, x^2/3.x^1/3 = 8× 27
বা, x^(2/3) + ^(1/3) = 216
বা, x^{(2 + 1)/3} = 216
বা, x = 216

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 12}, B = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 10} হলে, A ∩ B = কত?

A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 12}
   = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

B = B = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 10}
   = {1, 3, 5, 7, 9}

সুতরাং, A ∩ B = {3, 4, 5, 6, 7, 8,  9, 10, 11, 12} ∩ {1, 3, 5, 7, 9}
                      = {3, 5, 7, 9}

সমাধান :

দেওয়া আছে,
a + b = √7
a - b = √5 
এখন,
8ab(a² + b²) = 4ab. 2(a² + b²)
                  = {(a+b)² - (a - b)² }.{(a + b)² + (a - b)² }
                  = {(√8)² - (√6)²}.{(√8)² + (√6)²}
                  = (8 - 6) .( 8+ 6)
                  = 2.14

                  = 28