ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

অনুসিদ্ধান্তঃ
a² + b² = {(a + b)² + (a - b)²} ÷ 2
             = (a + b)² - 2ab
             = (a - b)² + 2ab
{(a + b)² + (a - b)²} ÷ 2 = (a² + 2ab + b² + a² - 2ab + b²) ÷ 2
                                      = (2a² + 2b²) ÷ 2  
                                      = 2(a² + b²) ÷ 2
                                      = a² + b²  
সুতরাং a² + b² = {(a + b)² + (a - b)²} ÷ 2

(a + b)² - 2ab = a² +2ab + b² - 2ab = a² + b²

(a - b)² + 2ab = a² - 2ab + b² + 2ab = a² + b²

সূত্র:
(x - a)(x - b) = x² - (a + b)x + ab

এখানে, (x - a)(x - b)
= x(x - b) - a(x - b)
= x² - bx - ax + ab
= x² - (a + b)x + ab

ab = {(a + b)² - (a - b)²} ÷ 4
প্রমান: 
{(a + b)2 - (a - b)2} ÷ 4
= (a² + 2ab + b² - a² + 2ab - b²) ÷ 4
= 4ab ÷ 4
= ab

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
প্রমান:
(a - b)(a² + ab + b²)
= a(a² + ab + b²) - b(a² + ab + b²)
= a³ + a²b + ab² - a²b - ab² - b³
= a³ - b³

উল্লেখ্য, (a - b)³ + 3ab(a - b) প্রশ্নে উল্লিখিত সূত্রের একটি অনুসিদ্ধান্ত।

a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)( a² + b² + c² - ab - bc - ca)
প্রমাণ:
a³ + b³ + c³ - 3abc
= (a + b)³ - 3ab(a + b) + c3 - 3abc
= (a³ + b³) + c³ - 3ab(a + b) - 3abc
= (a + b + c){(a + b)² - (a + b)c + c²)- 3ab(a + b + c)
= (a + b + c){(a² +2ab + b² - ac - bc + c²)- 3ab(a + b + c)
= (a + b + c){(a² +2ab + b² - ac - bc + c²)- 3ab}
= (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc  - ca)

a⁵ - 1/a⁵ = (a² + 1/a²)(a³ - 1/a³) - (a - 1/a)
প্রমাণ:
 (a² + 1/a²)(a³ - 1/a³) = a⁵ - 1/a⁵ + a - 1/a
 (a² + 1/a²)(a³ - 1/a³) - (a - 1/a) = a⁵ - 1/a⁵

আবার, 
(a² - 1/a²)(a³ + 1/a³) = a⁵ - 1/a⁵ - a +1/a
(a² - 1/a²)(a³ + 1/a³) + (a - 1/a) = a⁵ - 1/a⁵

দেওয়া আছে,
x - y = 8 এবং xy = 5 
সুতরাং, 8xy(x² + y²)
         = 8xy{(x - y)² + 2xy}
         = 8 × 5(8² + 2 × 5)
         = 40 × 74
         = 2960

a = √5 + √4
∴ 1/a = 1/(√5 + √4)
          = (√5 - √4)/(√5 + √4)(√5 - √4)
          = (√5 - √4)/(5 - 4)
          = √5 - √4

∴ a + 1/a = √5 + √4 +√5 - √4 = 2√5

এখন, a³ + 1/a³
= (a + 1/a)³ - 3 × a × (1/a) × (a + 1/a)
= (2√5)³ - 3 × 2√5
= 8 × 5√5 - 6√5
= 40√5 - 6√5
= 34√5

x² - √3x - 1 = 0
or, x² - 1 = √3x
or, (x² - 1)/x = √3
or, x - 1/x = √3

x² + 1/x²
= (x - 1/x)² + 2.x.1/x
= (√3)2 + 2
= 5

x⁴ + 1/x⁴
= (x²)² + (1/x²)²
= (x² + 1/x²)² - 2.x².1/x²
= 5² - 2
= 23

(x² + 1/x²)(x⁴ + 1/x⁴) =  x⁶ + 1/x⁶ + x² + 1/x²  
or, x⁶ + 1/x⁶ = (x² + 1/x²)(x⁴ + 1/x⁴) - (x² + 1/x²) = 5 × 23 - 5 = 110

যেকোনো অশূন্য ধ্রুবক প্রদত্ত যেকোনো চলকের শূন্য মাত্রার বহুপদী।
০ সংখ্যাটি  শূন্য বহুপদী বিবেচনা করা হয় এবং শূন্য বহুপদীর মাত্রা অসঙ্গায়িত ধরা হয়।

cx^p যেখানে, c = x-বর্জিত নির্দিষ্ট সংখ্যা যা শূন্য হতে পারে এবং p = অঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা

0, 5 এবং ax² + bx + c রাশিগুলো বহুপদী কারণ রাশিগুলো cx^p আকারের।
কিন্তু 8/x + 7y রাশিটি বহুপদী নয় কারণ রাশিটি cx^p আকারের নয়।

8/x + 7y
= 8x^-1 + 7y¹ 
রাশিটির ১ম পদের সাথে cx^p  এর সাথে তুলনা করলে, c = 8 এবং p = -1 পাই।
বহুপদী হতে হলে, p কে অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা হতে হবে।

যদি P(x) ধনাত্মক মাত্রার বহুপদী ও a কোন নির্দিষ্ট সংখ্যা হয়, তবে P(x) কে x - a দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ P(a) হবে। এটি ভাগশেষ উপপাদ্য।

প্রমানঃ
P(x) কে x - a দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 0 বা অশূন্য ধ্রুবক হবে।
ভাগশেষ R ও ভাগফল Q(x) হলে, ভাগের নিয়মে সকল x এর জন্য,
P(x) = (x - a)Q(x) + R
x = a বসিয়ে পাই, 
P(x) = (a - a)Q(x) + R = R
∴ P(x) = R
সুতরাং যদি P(x) ধনাত্মক মাত্রার বহুপদী ও a কোন নির্দিষ্ট সংখ্যা হয়, তবে P(x) কে x - a দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ P(a) হবে।

x³ + y³ + z³ - 3xyz সমমাত্রিক, প্রতিসম ও চক্রক্রমিক বহুপদী।
কারনঃ
কোন বহুপদির প্রত্যেক পদের মাত্রা একই হলে তাকে সমমাত্রিক বহুপদী বলে।
যেমন: x² + xy + y²

একাধিক চলক সম্বলিত কোন বীজগাণিতিক রাশির যেকোনো দুইটি চলক স্থান বিনিময়ে যদি রাশিটি অপরিবর্তিত থাকে, তবে উক্ত রাশিটিকে প্রতিসম রাশি বলে।
যেমন: x + y + z

তিন চলক সংবলিত কোন রাশির ক্ষেত্রে, প্রথম চলক দ্বিতীয় চলকের, দ্বিতীয় চলক ৩য় চলকের ও তৃতীয় চলক ১ম চলকের স্থলে বসালে রাশিটি যদি অপরিবরতিত থাকে তাহলে তাকে চক্রক্রমিক রাশি বলে।
যেমন: x³ + y³ + z³ - 3xyz

= A/(x - 1) + (Bx + C)/(x² + 4)

x³ + px² - x - 7 এর একটি উৎপাদক (x + 7) হলে, আমরা লিখতে পারি,
P(- 7) = 0
এখন P(- 7) = (-7)³ + p(-7)² - ( - 7) - 7
                   = - 343 + 49p + 7 - 7
                   = - 343 + 49p
প্রশ্নানুসারে, P(- 7) = 0
    or, -343 + 49p = 0
    or, 49p = 343
    or, p = 7

P(x) = 3x³ + 2x² - 7x + 8
সুতরাং P(- 2) = 3(- 2)³ + 2(- 2)² - 7(- 2) + 8
                     = - 24 + 8 + 14 + 8
                     = 6

P(x) এর একটি উৎপাদক (x - a) হলে, P(a) = 0 হবে।
এটি উৎপাদক উপপাদ্যের বিপরীত উপপাদ্য।