প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

√(- 5) একটি কাল্পনিক সংখ্যা।
অর্থাৎ বাস্তব সংখ্যা নয়। 
√(- 5)√(- 5) = - 5 যা বাস্তব সংখ্যা। 
√5√3 = √15 যা বাস্তব সংখ্যা। 
7{√(- 1)}² = 7 × ( - 1) = - 7 যা বাস্তব সংখ্যা।

p/q আকারের সংখ্যা ভগ্নাংশ হবে, যদি
(i) q ≠ 0
(ii) q ≠ 1
(iii) q দ্বারা p নিঃশেষে বিভাজ্য নয়। 

5/√3 হচ্ছে অমূলদ সংখ্যা।
∛(8/27), √(16/9) এবং 0.333 ... ... ... এদের প্রত্যেকে মূলদ সংখ্যা
∛(8/27) = ∛(2³/3³) = 2/3
√(16/9) = √(4²/3²) = 4/3
0.333 ... ... ... হচ্ছে মুলদ সংখ্যা কারণ এটি একটি আবৃত অসীম দশমিক ভগ্নাংশ সংখ্যা
0.333 ... ... ... = = 3/9 = 1/3 যা মুলদ সংখ্যা।

a² + b²
= a² + b² + 2ab - 2ab
= (a + b)² - 2ab
অতএব, (a + b)² - 2ab এর সাথে 2ab যোগ করলে আমরা পাই,
(a + b)² - 2ab + 2ab
= (a + b)² যা পূর্ণবর্গ

দশম শ্রেণির শিক্ষার্থীদেরকে ৯, ১০ ও ১২ সারিতে সাজানো যায়।
ফলে তাদের সংখ্যা ৯, ১০ ও ১২ দ্বারা বিভাজ্য।
এমন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হবে ৯, ১০ ও ১২ এর লসাগু।
৯, ১০ ও ১২ এর লসাগু = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫ যা বর্গাকারে সাজানো সম্ভব নয়। 
২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫ কে বর্গাকার সংখ্যা করতে হলে কমপক্ষে ৫ দ্বারা গুণ করতে হবে। 

৯, ১০ ও ১২ সারিতে এবং বর্গাকারে সাজানোর জন্য শিক্ষার্থীর সংখ্যা হবে
= (২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫) × ৫ জন
= ৯০০ জন

৯, ১৫ ও ২৫ এর লসাগু থেকে ৩ বিয়োগ করলে বিয়োগফল নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম পূর্ণ সংখ্যা হবে। 
৯, ১৫ ও ২৫ এর লসাগু = ২২৫
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম পূর্ণ সংখ্যা = ২২৫ - ৩ = ২২২

সংখ্যা দুটি 3y ও 4y হলে, এদের লসাগু 12y
অতএব, 12y = 180
বা, y = 15
সংখ্যা দুইটি 45 ও 60 

12 ও y এর ল.সা.গু. এবং গ.সা.গু. পরস্পর সমান হবে যদি 12 ও y পরস্পর সমান হয় অর্থাৎ y = 12 হয়। 
12 ও y এর ল.সা.গু. 12y যদি 12 ও  y পরস্পর সহমৌলিক হয়। 
12 ও y এর গ.সা.গু. 1 যদি 12 ও  y পরস্পর সহমৌলিক হয়। 

যদি y = 12 হয় তবে, 12 ও y এর ল.সা.গু. 12 এবং 12 ও y এর গ.সা.গু. 12

দুইটি ত্রিভুজের ভূমি যথাক্রমে a ও b এবং এদের প্রত্যেকের উচ্চতা h হলে,
এদের ক্ষেত্রফল যথাক্রমে 1/2 ah ও 1/2bh
এদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 1/2 ah : 1/2 bh = a : b যা ভূমির অনুপাত। 
অর্থাৎ এদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত ভূমির অনুপাতের সমান। 

মনে করি, A ও B এর গড় গতিবেগ প্রতি মিনিটে যথাক্রমে v₁ ও v₂ মিটার।
তাহলে t₁ মিনিটে A অতিক্রম করে v₁t₁ মিটার ও
t₂ মিনিটে  B অতিক্রম করে v₂t₂ মিটার। 

অতএব, v₁t₁ = v₂t₂
⇒ v₁/v₂ = t₂/t₁
⇒ v₁ : v₂ = t₂ : t₁
 ⇒ v₁ : v₂ = t₂/(t₁t₂) : t₁/(t₁t₂)
⇒ v₁ : v₂= 1/t₁ : 1/t₂

 
বর্তমানে পুত্রের বয়স x হলে পিতার বয়স ৩x
∴ ৩x + x = ১২০
বা, x = ৩০
∴ x = ৩০
∴ পুত্রের বর্তমান বয়স = ৩০
এবং ৫ বছর পর পুত্রের বয়স = ৩০ + ৫ = ৩৫ বছর

{(1 - ax)/(1 + ax)}√{(1 + bx)/(1 - bx)} = 1
⇒ √{(1 + bx)/(1 - bx)} = (1 + ax)/(1 - ax)
⇒ (1 + bx)/(1 - bx) = (1 + ax)²/(1 - ax)²
⇒ (1 + bx)/(1 - bx) = (1 + 2ax + a²x²)/(1 - 2ax + a²x²)
⇒ {(1 + bx) + (1 - bx)}/{(1 + bx) - (1 - bx)} 
= {(1 + 2ax + a²x²) + (1 - 2ax + a²x²)}/{(1 + 2ax + a²x²) - (1 - 2ax + a²x²)}
⇒ x{2a - b(1 + a²x²)} = 0

∴ x = 0
অথবা,
2a - b(1 + a²x²) = 0
b(1 + a²x²) = 2a
1 + a²x² = 2a/b
a²x² = 2a/b - 1
x² = (2a/b - 1)/a²
x = ±√{(2a/b - 1)/a²}
x = ±(1/a)√{(2a/b - 1)


অর্থাৎ x = 0, (1/a)√{(2a/b - 1) এবং - (1/a)√{(2a/b - 1)

অনুপাতের রাশিসমূহের যোগফল = (২ + ৪ + ৫) = ১১
∴ ১ম জেলে মাছ পায় = (৮৮০ এর ২/১১) টি = ১৬০ টি
২য় জেলে মাছ পায় = (৮৮০ এর ৪/১১) টি = ৩২০ টি
৩য় জেলে মাছ পায় = (৮৮০ এর ৫/১১) টি = ৪০০ টি

P, Q রাশি দুটির সমষ্টি 2A
X, Y রাশি দুটির সমষ্টি 2B
P, Q, X, Y রাশি চারটির সমষ্টি = 2A + 2B
P, Q, X, Y রাশি চারটির গড় = (2A + 2B)/4 = (A + B)/2

৭টি সংখ্যার সমষ্টি
= ৭ × ৪০
= ২৮০

৩টি সংখ্যার সমষ্টি
= ৩ × ২০
= ৬০

অতএব, (৭ + ৩) টি বা ১০টি সংখ্যার সমষ্টি
= ৩৪০

সুতরাং ১০টি সংখ্যার গড়
= ৩৪০/১০
= ৩৪

৫, ৯, ক এবং খ এর সমষ্টি = ১৪ × ৪
বা, ৫ + ৯ + ক + খ = ৫৬
বা, ১৪ + ক + খ = ৫৬
বা, ক + খ = ৫৬ - ১৪
বা, ক + খ = ৪২

অতএব, (ক + ৭) এবং (খ - ৩) এর গড়
= {(ক + ৭) + (খ - ৩)}/২
= (ক + খ + ৪)/২
= (৪২ + ৪)/২
= ২৩

 
পিতা মাতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি
= (৩ × ৩৭) বছর
= ১১১ বছর

পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি
= (২ × ৩৫) বছর
= ৭০ বছর

অর্থাৎ, মাতার বয়স
= (১১১ - ৭০) বছর
= ৪১ বছর

৩২ দিনের খাবার মজুদ আছে ১৫ জন ছাত্রের
∴ ১ দিনের খাবার মজুদ আছে ১৫×৩২ জন ছাত্রের
∴ ২০ দিনের খাবার মজুদ আছে ৪৮০/২০ = ২৪ জন ছাত্রের
∴ নতুন ছাত্র সংখ্যা = (২৪ - ১৫) = ৯ জন

আসিম ও নাবিল ১ দিনে করে
= কাজের ( ১/১৫ + ১/২০) অংশ 
= কাজের ৭/৬০ অংশ 

আসিম ও নাবিল ৪ দিনে করে
= কাজের (৭/৬০) × ৪ অংশ 
= কাজের ৭/১৫ অংশ 

অবশিষ্ট থাকে
= কাজের ( ১ - ৭/১৫) অংশ
= কাজের ৮/১৫ অংশ

ধরি,
ছাত্রাবাসে মোট ছাত্র থাকে = x জন
একজন ছাত্রের মাসিক খরচ = 10x টাকা
প্রশ্নমতে,
x × 10x = 4000
⇒ 10 x² = 4000
⇒ x² = 400
∴ x = 20

রহিম ১০ দিনে কাজ করে
= কাজের ১০/৩০ অংশ

বাকি কাজের পরিমাণ = ( ১ - ১/৩ ) অংশ = ২/৩ অংশ
রহিম ও জামান এর একত্রে ১ দিনের কাজ
= ( ১/৩০ + ১/২০ ) অংশ
= ১/১২ অংশ 

∴ দুইজনে ১/১২ অংশ কাজ করে ১ দিনে
দুইজনে ২/৩ অংশ কাজ করে ( ১২ × ২ )/৩ = ৮ দিনে
দুই জনে একত্রে কাজ করে ( ১০ + ৮ ) = ১৮ দিনে