Math Master

প্রশ্ন: 50 জন লোকের মধ্যে 35 জন ইংরেজি, 25 জন বাংলায় এবং প্রত্যেকেই দুইটি ভাষার অন্তত একটি ভাষায় কথা বলতে পারে। কতজন উভয় ভাষায় কথা বলতে পারে?

সমাধান: 
মনে করি,
ইংরেজি ভাষায় কথা বলে n(E) = 35 জন
বাংলা ভাষায় কথা বলে n(B) = 25 জন
উভয় ভাষায় কথা বলে n(E ∩ B) জন

আমরা জানি,
n(E ∪ B) = n(E) + n(B) - n(E ∩ B)
⇒ n(E ∩ B) = n(E) + n(B) - n(E ∪ B)
= 35 + 25 - 50
= 60 - 50
= 10 জন 

প্রশ্ন: একটা মুদ্রা চারবার নিক্ষেপ করা হলো। ঠিক দুইবার টেল আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
একটি মুদ্রা চারবার নিক্ষেপ করলে পাই,
 
নমুনাক্ষেত্র = {HHHH, HHHT, HHTH, HHTT, HTHH, HTHT, HTTH, HTTT, THHH, THHT, THTH, THTT, TTHH, TTHT, TTTH, TTTT}
মোট নমুনা বিন্দু = ১৬টি

ঠিক দুইবার টেল আছে ৬টি নমুনা বিন্দুতে।

ঠিক দুইবার টেল আসার সম্ভাবনা = ৬/১৬ = ৩/৮

প্রশ্ন: S = {x ∈ N : x² = 1} সেটটির তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ নিচের কোনটি?

সমাধান: 
N  বলতে স্বাভাবিক সংখ্যার সেট বুঝায়।
শূন্য থেকে বড় সকল  পূর্ণ সংখ্যা বা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যা বলে । অন্যভাবে বলতে গেলে, সকল গণনার যোগ্য এমন সংখ্যা কে স্বাভাবিক সংখ্যা বলে। যেমন 1,2,3,4…N

এখানে,
 x² = 1
∴ x = ± 1

কিন্তু - 1 স্বাভাবিক সংখ্যা নয়।

তাই, S = {1}

প্রশ্ন: ১ থেকে ২০ পর্যন্ত ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা গুলোর মধ্যক কত? 

সমাধান: 
১ থেকে ২০ পর্যন্ত ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা গুলো : ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, ১৮ 
এখানে ৬ টি উপাত্ত আছে, অর্থাৎ জোড় সংখ্যক উপাত্ত রয়েছে।

মধ্যক = {(৬/২)তম পদ + (৬/২ + ১) তম পদ}/২
=  {৩ তম পদ + ৪ তম পদ}/২
= (৯ + ১২)/২
= ২১/২
= ১০.৫ 

প্রশ্ন: কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা 4 হলে, সেই সেটের শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা কয়টি?

সমাধান: 
আমরা জানি,
কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে, সেই সেটের শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা 2ⁿ টি

∴ সেটের উপাদান সংখ্যা 4 হলে, সেই সেটের শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা 2⁴ টি = 16টি 

প্রশ্ন: ১ থেকে ১৫ পর্যন্ত একটি সংখ্যা নির্বাচন করলে তা মৌলিক না হবার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
১ থেকে ১৫ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা : ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩ মোট ৬টি

১ থেকে ১৫ পর্যন্ত মৌলিক নয় = ১৫ - ৬ = ৯টি

১ থেকে ১৫ পর্যন্ত একটি সংখ্যা নির্বাচন করলে তা মৌলিক না হবার সম্ভাবনা ৯/১৫ = ৩/৫

প্রশ্ন: ৫২ খানা তাস হতে ১ খানা তাস দৈবভাবে উঠানো হল। লাল হওয়ার সম্ভাবনা কত ? 

সমাধান:
- একটি প্যাকেটে মোট তাসের সংখ্যা = 52টি।
- এর মধ্যে লাল ও কালো তাসের সংখ্যা = 26টি করে।
- রুইতন, হরতন, ইস্কাপন ও চিরাতন ১৩টি করে।
- টেক্কা, রাজা, রানি ও জ্যাক ৪টি করে।
- নম্বর যুক্ত তাপ ৩৬টি।
- ছবিযুক্ত তাস ১২টি (রাজা, রানি ও জ্যাক ৪টি করে)।

লাল হওয়ার সম্ভাবনা = ২৬/৫২ = ১/২

2, 2, 3, 5, 7, 7, 7, 8, 9 উপাত্তগুলোর প্রচুরক কত?

এখানে 7 উপাত্তটি সবচেয়ে বেশি ৩ বার আছে তাই প্রচুরক ৭

প্রশ্ন: একটি বিশ্রাম রুমে ৪ জন মহিলা এবং ৪ জন পুরুষ আছেন। দৈবভাবে ২ জন প্রার্থী নির্বাচন করলে ২ জনই মহিলা হবার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
৪ জন মহিলা থেকে ২ জন নির্বাচন করার উপায় = ⁴C₂ = 4!/(2! × 2!) = 6
৮ জন লোক থেকে ২ জন নির্বাচন করার উপায় = ⁸C₂ = 8!/(2! × 6!) = 28

∴ সম্ভাবনা = 6/28 = 3/14

প্রশ্ন: n(U) = 32 হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
8 + x + 6 + 2x + 7 + 5 = 32
বা, 3x + 26 = 32
বা, 3x = 32 - 26
বা, 3x = 6
∴ x = 2

প্রশ্ন: একটি  থলেতে 10 টি সাদা এবং 15 টি লাল বল আছে। দৈবচয়নে দুটি বল তুললে দুটিই একই রংয়ের হবার সম্ভাব্যতা -

সমাধান:
থলেতে 10 টি সাদা এবং 15 টি লাল বল আছে
 মোট বল = 10+15 = 25 টি

সাদা বল হওয়ার সম্ভাবনা = (10/25)×(9/24)
                                      = 3/20
লাল বল হওয়ার সম্ভাবনা = (15/25)×(14/24)
                                      =7/20

মোট সম্ভাবনা = (3/20) + (7/20)
 = (3 + 7)/20
= 10/20
= 1/2

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রে অভিনেতা নন এমন ব্যবসায়ীর সংখ্যা কতজন?

সমাধান:

ছায়াযুক্ত অংশটি এমন ব্যবসায়ীদের চিহ্নিত করে যারা অভিনেতা নন = 11 +9 = 20
সুতরাং,
সঠিক উত্তর হল "20"

প্রশ্ন: একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলে জোড় সংখ্যা অথবা তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা উঠার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে সম্ভাব্য ফলাফল: 1, 2, 3, 4, 5, 6  মোট 6 টি
জোড় সংখ্যা অথবা তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা: 2, 4, 6, 3 মোট 4 টি

∴ ছক্কাটি নিক্ষেপে জোড় সংখ্যা অথবা তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা উঠার সম্ভাবনা, 4/6 = 2/3  

প্রশ্ন: যদি A = {2, 3, 4, 5} এবং C = {3, 4, 5, 6, 7} হয়, তাহলে A ∪ C এর উপাদান সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
A ∪ C = {2, 3, 4, 5} ∪ {3, 4, 5, 6, 7}
= {2, 3, 4, 5, 6, 7}

∴ A ∪ C এর উপাদান সংখ্যা 6টি