৫১তম বিসিএস ফাইনাল মডেল টেস্ট ও রিভিশন

প্রশ্ন: 20 থেকে 70 পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক 1 তাদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
20 থেকে 70 পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক 1 সেগুলো হলো 31, 41, 61
তাদের সমষ্টি = 31 + 41 + 61 
= 133

প্রশ্ন: যদি একটি সংখ্যার 40 শতাংশের 20 শতাংশ 22 হয় তবে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি = a

প্রশ্নমতে,
a × (40/100) × (20/100) = 22
বা, 8a/100 = 22
বা, 8a = 22 × 100
বা, a = 2200/8
∴ a = 275

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি 275

প্রশ্ন: কফিতে পানি ও দুধের অনুপাত 4:1। পানির পরিমাণ যদি দুধ অপেক্ষা 6 লিটার বেশি হয়, তবে দুধের পরিমাণ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কফিতে পানি ও দুধের অনুপাত 4:1
ধরি,
দুধের পরিমাণ = x
পানির পরিমাণ = 4x

প্রশ্নমতে,
4x - x = 6
⇒ 3x = 6
⇒ x = 6/3
∴ x = 2

দুধের পরিমাণ 2 লিটার।

প্রশ্ন: ৫১৭ টাকাকে ৫ : ৪ : ২ অনুপাতে ভাগ করলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম অংশের পার্থক্য কত টাকা?

সমাধান:
অনুপাতগুলোর সমষ্টি = (৫ + ৪ + 2)
= ১১
বৃহত্তম অংশ = ৫১৭ এর ৫/১১
= ২৩৫ টাকা
ক্ষুদ্রতম অংশ =  ৫১৭ এর ২/১১
= ৯৪ টাকা

∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম অংশের পার্থক্য = (২৩৫ - ৯৪) টাকা
= ১৪১ টাকা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার বিয়োগফল তাদের সমষ্টির দুই-পঞ্চমাংশ হলে সংখ্যাদ্বয়ের অনুপাত নিচের কোনটি?

সমাধান:
মনে করি,
একটি সংখ্যা = x
অপর সংখ্যা = y

প্রশ্নমতে,
x - y = (2/5) × (x + y)
⇒ 5x - 5y = 2x + 2y
⇒ 5x - 2x = 2y + 5y
⇒ 3x = 7y
⇒  x/y = 7/3

∴ সংখ্যাদ্বয়ের অনুপাত, x : y = 7 : 3

প্রশ্ন: বার্ষিক শতকরা সুদের হার কত হলে কোন মূলধন 5 বছরে সুদে আসলে 5 গুণ হবে?

সমাধান:
মনে করি,
মূলধন, P = 1
সুদাসল = 5
সুদ, I = 5 - 1 = 4
সময়, n = 5

আমরা জানি,
I = Pnr
⇒ r = I/Pn
⇒ r = {(4 × 100)/(1 × 5)} × 1/100
∴ r = 80%

প্রশ্ন: a ও b দুইটি বিজোড় সংখ্যা হলে, নিম্নের কোনটি জোড় সংখ্যা?

সমাধান: 
আমরা জানি,
দুইটি বিজোড় সংখ্যা যোগ করলে জোড় সংখ্যা পাওয়া যায়।
∴ নির্ণেয় জোড় সংখ্যা = a + b

প্রশ্ন: রহিম ৬০০ টাকায় একটি ব্যাগ ক্রয় করে ৩ মাস পরে ৬৬০ টাকায় বিক্রয় করল। তার বাৎসরিক শতকরা কত টাকা লাভ হলো?

সমাধান:
৩ মাস পরে লাভ = (৬৬০ - ৬০০) টাকা
= ৬০ টাকা

৬০০ টাকায় ৩ মাসে লাভ হয় = ৬০ টাকা
∴ ১ টাকায় ১ মাসে লাভ হয় = ৬০/(৬০০ × ৩) টাকা
∴ ১০০ টাকায় ১২ মাসে লাভ হয় = (৬০ × ১০০ × ১২)/(৬০০ × ৩) টাকা
= ৪০ টাকা

∴ তার বাৎসরিক লাভ ৪০ টাকা

প্রশ্ন: 45 ফুট লম্বা একটি বাঁশকে এমনভাবে কাটা হলো যেন এক অংশ অন্য অংশের 1/4 হয়। ছোট অংশটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
একটি অংশ = x
অপর অংশটি = x/4

প্রশ্নমতে,
x + x/4 = 45
⇒ (4x + x)/4 = 45
⇒ 5x = (45 × 4)
⇒ 5x = 180
⇒ x = 180/5
∴ x = 36

∴ ছোট অংশটির দৈর্ঘ্য = 36/4
= 9 ফুট

প্রশ্ন: (1 + √5) ও (1 - √5) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
মনে করি,
মূলদ্বয়, α = 1 + √5 এবং β = 1 - √5
মূলদ্বয়ের যোগফল, α +  β = 1 + √5 + 1 - √5
∴ α +  β = 2

মূলদ্বয়ের গুণফল, αβ = (1 + √5) . (1 - √5)
= (1)² - (√5)²
= 1 - 5
∴ αβ = - 4

∴ নির্ণেয় সমীকরণ x² - (α +  β) x + αβ = 0
বা, x² - 2x - 4 = 0


∴ নির্ণেয় সমীকরণ, x² - 2x - 4 = 0

প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের হর, লব অপেক্ষা 4 বেশি। ভগ্নাংশটি বর্গ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যায় তার হর, লব অপেক্ষা 40 বেশি হয়। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
x লব হলে, হর = x + 4

ভগ্নাংশের বর্গ = {x/(x + 4)}²
= x²/(x² + 8x + 16)

প্রশ্নানুসারে,
x² + 8x + 16 = x² + 40
বা, x = 3

∴ হর = 7
ভগ্নাংশটি = 3/7

দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:

1. যদি b2 - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।
2. যদি b² - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
3. যদি b² - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
4. যদি b² - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।

প্রশ্ন: একটি বই ও একটি কলমের মোট দাম 75 টাকা। বইয়ের দাম 5 টাকা কম ও কলমের দাম 2 টাকা বেশি হলে বইয়ের দাম কলমের দামের তিনগুণ হতো। কলমের দাম কত?

সমাধান:
মনে করি,
একটি বইয়ের দাম = x টাকা
একটি কলমের দাম = (75 - x) টাকা

প্রশ্নমতে,
x - 5 = 3 {(75 - x) + 2}
বা, x - 5 = 3 (77 - x )
বা, x - 5 = 231 - 3x
বা, x + 3x = 231 + 5  [পক্ষান্তর করে]
বা, 4x = 236
বা, x = 236/4
বা, x = 59
∴ x = 59 টাকা

∴ বইয়ের দাম 59 টাকা

∴ কলমের দাম = (75 - 59) টাকা 
= 16 টাকা

প্রশ্ন: x + 4y = 14 এবং 7x - 3y = 5 সমীকরণদ্বয়ের সমাধান নিচের কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়
x + 4y = 14 ...............(1)
7x - 3y = 5 ...............(2)

(1) নং সমীকরণকে 3 দ্বারা এবং (2) নং সমীকরণকে 4 দ্বারা গুণ করে পাই,
3x + 12y = 42 .................(3)
28x - 12y = 20 ...............(4)

(3) নং ও (4) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
3x + 12y + 28x - 12y = 42 + 20 
বা, 31x = 62
বা, x = 62/31
∴ x = 2

এখন, x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
2 + 4y = 14
বা, 4y = 14 - 2
বা, 4y = 12
বা, y = 12/4
y = 3

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, 3)

প্রশ্ন: 3x² + 5x - 2 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
3x² + 5x -2
= 3x² + 6x  - x  - 2
= 3x(x + 2) - 1(x + 2)
= (x + 2)(3x - 1)

প্রশ্ন: (1/|3x - 5|) > 2 এর সমাধান ‍নিচের কোনটি?

সমাধান:
1/|3x - 5| > 2
বা, |3x - 5| < 1/2
বা, - 1/2 < 3x - 5 < 1/2 
বা, - 1/2 + 5 < 3x - 5 + 5 < 1/2 + 5
বা, 9/2 < 3x < 11/2
বা, 3/2 < x < 11/6  [3 দ্বারা ভাগ করে]

∴ নির্ণেয় সমাধান 3/2 < x < 11/6

প্রশ্ন: 2a² - 5a + 6 + a³ বহুপদীর মুখ্যপদের সহগ কত?

সমাধান:
বহুপদীর যে পদের চলকের মাত্রা সবচেয়ে বেশি সেই পদটি মুখ্য পদ।
মুখ্য পদের সহগই হচ্ছে মুখ্য সহগ।
2a² - 5a + 6 + a³ বহুপদীর মুখ্য পদ a³, যার সহগ 1

∴ প্রদত্ত বহুপদীর মুখ্য সহগ = 1

প্রশ্ন: PQR একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। ∠P শীর্ষকোণ এবং ∠Q ও ∠R দুটি ভূমিকোণ। PQ বাহু = PR বাহু এবং ∠Q = 65° হলে ∠P এর মান কত ডিগ্রী?

সমাধান:
প্রদত্ত তথ্যানুসারে,
 
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহু সংলগ্ন কোণগুলো সমান এবং সমান সমান কোণের বিপরীত বাহুগুলো সমান।
এখানে,
∠Q = ∠R = 65°

∴ ∠P = {180° - (65° + 65°)} [যেকোনো ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°]
= 180° - 130°
= 50°

∴ ∠P = 50°

প্রশ্ন: চিত্র হতে b = কত?


সমাধান: 
প্রদত্ত চিত্র হতে পাই,
সম্পূরক কোণের ক্ষেত্রে,
3a° + 2a° = 180°
⇒ 5a° = 180°
⇒ a° = 180°/5
∴ a° = 36°

আবার,
বিপ্রতীপ কোণের ক্ষেত্রে,
2a° = b + 40°
⇒ (2 × 36°) = b + 40°
⇒ b + 40° = 72°
⇒ b = 72° - 40°
∴ b = 32°

প্রশ্ন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে MN একটি ব্যাস ভিন্ন জ্যা। OP, MN এর উপর লম্ব এবং MP = 3.5 সে.মি. হলে MN = কত সে.মি.?

সমাধান:

 
আমরা জানি,
কেন্দ্র থেকে জ্যা এর উপর অংকিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
MP = NP, MP = 3.5

∴ MN = MP + NP
= (3.5 + 3.5) সে.মি.
= 7 সে.মি.

∴ MN = 7 সে.মি.

প্রশ্ন: (x - 5) কোণের সম্পূরক কোণ (x - 15) হলে x/2 = কত?

সমাধান:
দু’টি কোণের সমষ্টি 180° হলে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
যেহেতু, (x - 5) কোণের সম্পূরক কোণ (x - 15)

∴ (x - 5) + (x - 15) = 180°
বা, 2x - 20° = 180°
বা, 2x = 180° + 20°
বা, x = 200°/2
∴ x = 100°

এখন, x/2 = 100°/2
∴  x/2 = 50°

প্রশ্ন: কোন গুণোত্তর অনুক্রমের তৃতীয় পদ 18 এবং ষষ্ঠ পদ 486 হলে প্রথম পদের মান নিচের কোনটি? 

সমাধান: 
গুণোত্তর অনুক্রমে প্রথম পদ, a
সাধারণ অনুপাত, r
এখানে,
তৃতীয় পদ, ar² = 18..................(1) এবং
ষষ্ঠ পদ, ar⁵ = 486 ....................(2)

 (2) ÷ (1) করে পাই,
ar⁵/ar² = 486/18
বা, r³ = 27
বা, r³ = 3³
বা, r = 3

r এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
ar² = 18
বা, a × 3² = 18
বা, a = 2

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + ..................  ধারারটির কোন পদ 192? 

সমাধান: 
ধারার ১ম পদ a = 3
সাধারণ অনুপাত r = 6/3 = 2

ধরি,
n তম পদ = 192
ar^{n -1}= 192
বা, 3 × 2^{n -1} = 192 
বা, 2^{n - 1} = 192/3
বা, 2^{n - 1} = 64 
বা, 2^{n - 1} = 2⁶
বা, n - 1 = 6
বা, n = 6 + 1
     n = 7

প্রশ্ন: কোনো অনুক্রমের n তম পদ {1 - (- 1)^{3n + 1}}/2 হলে 11তম পদ কত?

সমাধান: 
দেয়া আছে, 
অনুক্রমের n তম পদ {1 - (- 1)^{3n + 1}}/2
11তম পদ {1 - (- 1)^{3 ×11 + 1}}/2
                 = {1 - (- 1)³⁴}/2
                 = (1 - 1)/2
                 = 0/2 
                 = 0

প্রশ্ন: 1³ + 2³ + 3³+ .................+ 10³ = কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি 
1³ + 2³ + 3³ + .................+ 10³ = {n(n + 1)/2}²
1³ + 2³ + 3³+ .................+ 10³ = {10(10 + 1)/2}²
= (5 × 11)²
= (55)²
= 3025

প্রশ্ন: ৬০০ কি.মি. পথ অতিক্রম করতে একটি ধীর গতির ট্রেনের চেয়ে ৩ ঘন্টা সময় কম নেয়। যদি ধীর গতির ট্রেনের গতিবেগ দ্রুতগতির ট্রেনের চেয়ে ১০ কি.মি কম হয় তাহলে  দ্রুতগতির ট্রেনের গতিবেগ কত?

মনেকরি 
 দ্রুত গতির ট্রেনের গতিবেগ = x কি.মি./ঘণ্টা 
 ধীর গতির ট্রেনের গতিবেগ = x  - 10 কি.মি./ঘণ্টা 

প্রশ্নমতে 
{600/(x - 10)} - (600/x) = 3
600x - 600(x - 10)/x(x - 10) = 3
600x - 600x + 6000/(x² - 10x) = 3
6000 = 3x² - 30x
3x² - 30x - 6000 = 0
x² - 10x - 2000 = 0
x² - 50x + 40x - 2000 = 0
x(x - 50) + 40(x - 50) = 0
(x - 50)(x + 40) = 0

হয় 
x - 50 =0
x = 50 

অথবা 
x + 40 = 0
x = - 40 [গ্রহণ যোগ্য নয়]


দ্রুত গতির ট্রেনের গতিবেগ = 50 কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্ন: বৃত্তের অন্ত:লিখিত একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 48 বর্গ সে.মি. এবং দৈর্ঘ্য 8 সে.মি.হলে, বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
 
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 48 বর্গ সে.মি. 
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 8 সে.মি.
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = 48/8 = 6 সে.মি.
বৃত্তের ব্যাস = আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 
= √(8² + 6²)
= √(64 + 36)
= √100
= 10

প্রশ্ন: ৩৬ মি বাহু বিশিষ্ট একটি বর্গের ক্ষেত্রফলের ৪ গুণ ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩৬ মি.
একটি বর্গের ক্ষেত্রফল = ৩৬ ×  ৩৬ = ১২৯৬ বর্গমিটার 

অপর বর্গের ক্ষেত্রফল = ১২৯৬ × ৪ বর্গমিটার 
অপর বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = √(১২৯৬ × ৪) মিটার 
= ৩৬ × ২ 
= ৭২ মিটার 

প্রশ্ন: x + z = 2y, b² = ac হলে a^{y - z}. b^{z - x}.c^{x - y} = কত? 

সমাধান: 
x + z = 2y
x + z  = y + y
x - y = y - z

এখন
a^{y - z}. b^{z - x}.c^{x - y} 
= a^{x - y}. b^{z - x}.c^{x - y}
= (ac)^{x - y} . b^{z - x}
= (b²)^{x - y} b^{z - x}
= b^{2x - 2y + z - x}
= b^{x + z - 2y}
= b^{2y  - 2y}
= b⁰
= 1

প্রশ্ন: একজন লোক নদীতে সাঁতার কাটছে এবং নদীতে স্রোতের গতিবেগ 1.5কি.মি/ঘণ্টা । সে স্রোতের বিপরীতে একটি পথ যেতে যে সময় লাগে, স্রোতের অনুকূলে একই সময়ে সে দ্বিগুণ পথ যেতে পারে। তার সাঁতারের গতি কত ছিল? 

সমাধান:
লোকটির স্রোতের প্রতিকূলে গতিবেগ x কি.মি/ঘণ্টা
লোকটির স্রোতের অনুকূলে গতিবেগ 2x কি.মি/ঘণ্টা

স্রোতের গতিবেগ = (1/2)(2x - x) কি.মি/ঘণ্টা
= x/2 কি.মি/ঘণ্টা

প্রশ্নমতে 
 x/2 = 1.5
x = 2 × 1.5
x = 3 

স্রোতের প্রতিকূলে গতিবেগ 3 কি.মি/ঘণ্টা
স্রোতের অনুকূলে গতিবেগ 6 কি.মি/ঘণ্টা

লোকটির সাঁতারের গতি = (1/2)(3 + 6) কি.মি/ঘণ্টা
= 9/2কি.মি/ঘণ্টা
= 4.5 কি.মি/ঘণ্টা

প্রশ্ন: একটি পরীক্ষায় প্রথম দিনে মাত্র ২টি ব্যাকটেরিয়া ছিল। প্রতিদিন ৪টি করে ব্যাকটেরিয়া বাড়লে ৫০তম দিনে ব্যাকটেরিয়ার সংখ্যা কত হবে?  

সমাধান:
১ম দিন a = ২
প্রতিদিন ৪টি করে ব্যাকটেরিয়া বাড়ে 
অর্থাৎ সাধারণ অন্তর d = ৪

৫০তম দিনে ব্যাকটেরিয়ার সংখ্যা = a + (n - 1)d
= ২ + (৫০ - ১)৪
= ২ + ৪৯ × ৪
= ২ + ১৯৬ 
= ১৯৮টি

প্রশ্ন: ৪ সে.মি. বাহু বিশিষ্ট বর্গের ক্ষেত্রফল ও ৪ সে.মি. বাহু বিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে, 
বর্গের একবাহুর দৈর্ঘ্য ৪ সে.মি.
বর্গের ক্ষেত্রফল = ৪× ৪ বর্গ সে.মি. 
                         = ১৬ বর্গ সে.মি.
আবার,
সমবাহু ত্রিভুজের একবাহুর দৈর্ঘ্য a = ৪ সে.মি.
 সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) ×৪^২
=(√৩/৪) × ১৬
= ৪√৩

বর্গের ক্ষেত্রফল ও সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = ১৬ : ৪√৩
= ৪ : √৩

প্রশ্ন: log_x√2 = 1/6 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x√2 = 1/6 
x^1/6 = √2
(x^1/6)⁶ = (√2)⁶
x = (2^1/2)⁶
x = 2^{(1/2) × 6}
x = 2³
x = 8

প্রশ্ন: √5 = 2.236 এবং √3 = 1.732 হলে 1/(√5  + √3) এর মান কত? 

সমাধান: 
√5 = 2.236
√3 = 1.732

1/(√5  + √3) = (√5  - √3)/(√5  + √3)(√5  - √3)
= (√5  - √3)/(√5 )2 - (√3)2
=(√5  - √3)/(5 - 3) 
= (√5  - √3)/2
= (2.236 -  1.732)/2
= 0.504/2
= 0.252

প্রশ্ন: অর্ধবৃত্তাকার জানালার ব্যাস 91 সে.মি. হলে তার পরিসীমা কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
অর্ধবৃত্তের পরিসীমা = বৃত্তের অর্ধ পরিধি + ব্যাস
= πr + 2r
= (22/7) × (91/2) + 91
= 143 + 91  সে.মি.
= 234 সে.মি.

প্রশ্ন: ১৫, ১৭, ১৮, ১৯, ১৬, ১৪, ৮, ১৩, ১১, ২১ সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত? 

সমাধান: 
প্রদত্ত সংখ্যাগুলোকে মানের ঊর্ধক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই,
৮, ১১, ১৩, ১৪, ১৫, ১৬, ১৭, ১৮, ১৯, ২১
এখানে,
n  = ১০ 

মধ্যক = {(১০/২) তম পদ ও (১০/২) + ১ তম পদের যোগফল}/২
          = { ৫তম পদ ও ৬ তম পদের যোগফল}/২  
         =(১৫ + ১৬)/২
         = ৩১/২
         = ১৫.৫

প্রশ্ন: 60 জন লোকের মধ্যে 45 জন ইংরেজি বলতে পারে, 35 জন ইংরেজি ও বাংলা বলতে পারে এবং প্রত্যেকেই দুইটি ভাষার অন্তত একটি বলতে পারে। বাংলায় মোট কথা বলতে পারে কত জন?

সমাধান:
60 জন লোকের মধ্যে ইংরেজিতে কথা বলে 45 জন।
অতএব শুধু বাংলায় কথা বলে = 60 - 45 = 15।

আবার,
বাংলা ও ইংরেজি উভয় ভাষায় কথা বলে 35 জন।
অতএব বাংলায় মোট কথা বলে= 35 +15 = 50 জন।

প্রশ্ন: একটি থলেতে 2টি সাদা বল, 3টি সবুজ বল এবং 4টি লাল বল আছে। বাক্সটি থেকে 3টি বল কত উপায়ে নেয়া যাবে, যদি অন্তত একটি সবুজ বল থাকে?

সমাধান: 
সাদা বল = 2টি
সবুজ বল = 3টি 
লাল বল =  4টি 

3টি সবুজ বল থেকে 1টি এবং 6 টি ভিন্ন বল থেকে 2টি  নিয়ে উপায় = ³C₁ × ⁶C₂
3টি সবুজ বল থেকে 2টি এবং 6 টি ভিন্ন বল থেকে 1টি  নিয়ে উপায় =³C₂ × ⁶C₁
3টি সবুজ বল থেকে 3টি  = ³C₃

মোট উপায়  = (³C₁ × ⁶C₂) + (³C₂ × ⁶C₁) + (³C₃) 
                   = (45 + 18 + 1)
                   = 64

- কোনো সেট থেকে গঠিত উপসেটের মধ্যে যে উপসেটগুলোর উপাদান সংখ্যা প্রদত্ত সেটের উপাদান সংখ্যা অপেক্ষা কম এদেরকে প্রকৃত উপসেট বলে।
যেমন, A {3, 4, 5, 6} এবং B = {3,5}দুইটি সেট।
- B এর সব উপাদান A সেটে বিদ্যমান এবং B সেটের উপাদান সংখ্যা A সেটের উপাদান সংখ্যা থেকে কম।
- B, A এর একটি প্রকৃত উপসেট এবং B ⊂ A লিখে প্রকাশ করা হয়।
- ফাঁকা সেট বা Ø যেকোনো সেটের প্রকৃত উপসেট।
- যদি A সান্ত সেট হয় এবং B, A এর প্রকৃত উপসেট হয়, তবে B সান্ত সেট এবং n(B) < n(A) হবে।

প্রশ্ন: 'DIALOGUE' শব্দটি হতে প্রতিবারে তিনটি করে বর্ণ নিয়ে কতপ্রকারে সাজানো যাবে যেখানে L এবং G থাকবে না? 

সমাধান: 
'DIALOGUE' শব্দটিতে ৮টি বর্ণ। 
L এবং G থাকবে না তাহলে 6টি বর্ণ

প্রতিবারে 3টি করে বর্ণ নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = ⁶P₃ = 120

প্রশ্ন: ΔPQR একটি সমবাহু ত্রিভুজ। উহার PQ এবং PR বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয়ের সমষ্টি কত?   

সমাধান: 

ΔPQR এ 
∠P = ∠Q = ∠R = 60°
∠SQR = 120°
∠TRQ= 120°
∠SQR + ∠TRQ = 120° + 120° = 240°

প্রশ্ন: একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলো। মুদ্রার টেল ও ছক্কার 2 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান; 
একটি নিরপেক্ষ ছক্কা ও একটি মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করা হলে নমুনা ক্ষেত্র গুলো
{1H, 1T, 2H, 2T, 3H, 3T, 4H, 4T, 5H, 5T, 6H, 6T} = 12টি 

মুদ্রার টেল ও ছক্কার ২ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আসার অনুকূল ফলাফল ={2T, 4T, 6T} = 3টি 

নির্ণেয় সম্ভাবনা = 3/12 = 1/4