Math Master

লাইভ পরীক্ষায় মোট সঞ্চয় ভুল ছিল। তাই, উত্তর দেয়া হয়নি।
ধরি,
তিনি n মাসে ৩৪৫০০ টাকা সঞ্চয় করেন
১১০০+ ১২০০+ ১৩০০-----------
প্রশ্নানুসারে,
n/2 {2a +(n-1)d} = 27000
বা, n/2{2x1100 +(n-1) x 100 = 27000
বা, n(2200 + 100n – 100) = 27000x2
বা, 100n² + 2100n – 54000 = 0
বা, n²+21n-540 = 0
বা, n²+36n-15n-690 = 0
বা, (n+36)(n-15) = 0
n = 15 বা, n = -36
মাস কখনো ঋনাত্মক হতে পারে না।
সময় ১৫ মাস

{( শেষ পদ + ১ম পদ)/২} x {(শেষ পদ-১ম পদ)/পদের অন্তর}+১
= (৭৭+১)/২ x ((৭৭-১)/২) +১
= ৩৯ x ৩৯
= ১৫২১

অনুক্রমটি হলো ১+৫+৯+১৩+ ………………
প্রথম পদ a = ১
সাধারন অনুপাত d = (৫-১) = ৪
১৫ তম পদ = a+(n-1)d
= 1+(15-1)4
= 1+56
= 57

ধারাটির p-তম পদ = a+(p-1)d
ধারাটির q-তম পদ = a+(q-1)d
ধারাটির (p+q)-তম পদ = a+(p+q-1)d
প্রশ্নমতে,
a+(p-1)d = q ……………(1)
a+(q-1)d = p …………….(2)
1 নং থেকে 2নং সমীকরন বিয়োগ করে পাই,
a+(p-1)d- a-(q-1)d = (p+q)
d(p-1-q+1) = (p+q)
d = -1
সুতরাং, (p+q)-তম পদ = a+(p+q-1)d = a+(p-1)d+qd = q+qd = q-q = 0

১ম পদ a = ৫
সাধারন অন্তর d = ৮ - ৫ = ৩
মনেকরি, r তম পদ = ৩০২
a_+(r-1)d = 302
বা, 5+(r-1)3 = 302
বা, 5+3r-3 = 302
বা, r = 300/3
বা, r = 100
100-তম পদ = 302

{n(n+1)/2}²
= {20(20+1)/2}²
= 44100

{( শেষ পদ + ১ম পদ)/২} x {(শেষ পদ-১ম পদ)/পদের অন্তর}+১
= (-২৩+৩৩)/২ x ।((-২৩-৩৩)/৪)। +১
= ৫ x ১৫
= ৭৫

১ম ৫টি সংখ্যার গড় = ৫৬০/৫ = ১১২
তাহলে সংখ্যা ৫টি = ১১০, ১১১, ১১২, ১১৩, ১১৪
শেষ ৫ টি সংখ্যা হল = ১১৫, ১১৬, ১১৭, ১১৮, ১১৯
শেষ ৫ টির যোগফল = ১১৭ x ৫ = ৫৮৫

১ম পদ a = ২
সাধারন অনুপাত r = ৪/২ = ২
১০ তম পদ = ar^n-1
= 2 x 2^10-1
= 2 x 2⁹
= 2 x 512 = 1024

১ম পদ a = ১
সাধারন অনুপাত r = (১/২)/১ = ১/২ < ১
পদ সংখ্যা = ৮
ধারাটির প্রথম ৮টি পদের সমষ্টি = ‍a(1-rⁿ)/(1-r)
= 1(1-(1/2)⁸)/(1-1/2)
= (1-1/256)/(1/2)
= 255/128

a, b, c ও d সমান্তর ধারার চারটি ক্রমিক পদ হলে
a = a
b = a+1
c = a+2
d = a+3
এই মান গুলো প্রত্যেকটি অপশানে বসিয়ে দেখা যায়
c = (b+d)/2 এটা সত্য
= (a+1+a+3)/2
= (2a+4)/2
= 2(a+2)/2
= (a+2)
= c

ধারাটি একটি গুনোত্তর ধারা
১ম পদ a = ২
সাধারন অনুপাত r = -২/২ = -১ < ১
(2n+2) পদের সমষ্টি = a(1-rⁿ)/(1-r)
= 2(1-(-1)⁽²ⁿ⁺²⁾)/(1-(-1))
= 0/2
= 0

১২ তম পদ = ‍a+(12-1)d = 77
a+11d = 77
প্রথম ২৩টি পদের সমষ্টি S = n/2{2a+(n-1)d}
= 23/2{2a+(23-1)d}
= 23/2{2a+22d}
= 23(a+11d)
= 23 x 77
= 1771

log3+log9+log27+…………………
= log3+log3²+log3³+…………………
= log3+2log3+3log3+……………
প্রথম পদ = log3
সাধারন অন্তর = (2log3 - log3) = log3

১ম পদ a = ১
সাধারন অনুপাত r = (১/৩)/১ = ১/৩ < ১
পদ সংখ্যা = ৫
ধারাটির প্রথম ৫টি পদের সমষ্টি = ‍a(1-rⁿ)/(1-r)
= 1(1-(1/3)⁵)/(1-1/3)
= (1-1/243)/(2/3)
= 121/81

পদ সংখ্যা = (শেষ সংখ্যা - ১ম সংখ্যা) / সাধারণ অন্তর + ১
= (১২৫ - ৫)/৫ + ১
= ২৫
সমষ্টি = (শেষ সংখ্যা + ১ম সংখ্যা) / 2 × পদসংখ্যা
= (১২৫ + ৫)/২ X ২৫
= ৬৫ X ২৫
= ১৬২৫

ধরি, S = ৭+৭৭+৭৭৭+……………
S/7 = 1+11+111+………
9S/7 = 9+99+999+…………
= (10-1)+(100-1)+(1000-1)+……………
= (10+10²+10³+………+10ⁿ) – (1+1+1+………+n)
= 10(1+10+10²…………10ⁿ) – n
= 10{(10ⁿ-1)/(10-1)} – n
= {10(10ⁿ-1)/9}-n
S = 7/9 [{10(10ⁿ-1)/9} - n]
S = 70(10n-1)/81 – 7n/9

Shot Cut Rule:
a+aa+aaa+ …………… n সংখ্যক পদের যোগফল
S = (a/9){(10/9)(10ⁿ-1) - n}

{( শেষ পদ + ১ম পদ)/২} x {(শেষ পদ-১ম পদ)/পদের অন্তর}+১
= (৯০+১)/২ x ((৯০-১)/১) +১
= ৪৫.৫ x ৯০
= ৪০৯৫