১৪তম - ২০তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: একটি গোলকের ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করলে, গোলকের আয়তন কত গুণ হবে?

সমাধান:
মূল গোলকের ব্যাসার্ধ r হলে আয়তন = (৪/৩) × πr^৩
পরিবর্তিত গোলকের ব্যাসার্ধ ২r হলে, আয়তন = (৪/৩) × π(২r)^৩
= (৪/৩) × ৮πr^৩
= ৮ × { (৪/৩) × πr^৩}
= ৮ × মূল গোলকের মূল গোলকের

∴ গোলকের আয়তন ৮ গুণ বৃদ্ধি পাবে

প্রশ্ন: একটি বইয়ের পৃষ্ঠা সংখ্যা ১৫০ এবং প্রতি পাতার পুরুত্ব ০.২ মি. মি.। বইটির দৈর্ঘ্য ২৪ সে. মি. ও প্রস্থ ১৬ সে. মি. হলে বইটির আয়তন কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বইয়ের ২ পৃষ্ঠা = ১ পাতা
∴ বইয়ের ১৫০ পৃষ্ঠা = ৭৫ পাতা

∴ ৭৫ পাতার পুরুত্ব = (৭৫ × ০.২) মি.মি. = ১৫ মি. মি. = ১.৫ সে. মি.

আমরা জানি,
বইটির আয়তন = (২৪ × ১৬ × ১.৫) ঘন সে. মি.
= ৫৭৬ ঘন সে. মি.

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার করে বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল ৮√৩ বর্গ মিটার বেড়ে যায়। সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৬৭৫ বর্গ সে. মি. যদি উচ্চতা ভূমির তিনগুণ হয়, তবে সামান্তরিকের ভূমি কত?

সমাধান:
সামান্তরিকের ভূমি 'ক' সে.মি.
সামান্তরিকের উচ্চতা '৩ক' সে.মি.

প্রশ্নমতে
⇒ ৩ক × ক = ৬৭৫
⇒ ৩ক^২ = ৬৭৫
⇒ ক^২ = ৬৭৫/৩
⇒ ক^২ = ২২৫ = ১৫^২
∴ ক = ১৫

সামান্তরিকের ভূমি = ১৫ সে. মি.

প্রশ্ন: ৬৪ মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

ABCD বর্গের পরিসীমা = ৬৪ মিটার
∴ ABCD বর্গের বাহু = ৬৪/৪ = ১৬ মিটার
এখন,
কর্ণ = ব্যাস = বাহু × √২ = ১৬√২
ব্যাসার্ধ = ১৬√২/২ = ৮√২

∴ বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = π(৮√২)^২
= ১২৮π বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মেঝের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের দ্বিগুণ । যদি মেঝেটি পাকা করতে প্রতি বর্গমিটার ২.৫০ টাকা হিসাবে ৩২০ টাকা খরচ হয়, তবে মেঝের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রস্থ = ক মিটার,
তাহলে দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার
∴ মেঝের ক্ষেত্রফল = (২ক × ক)
= ২ক^২ বর্গমিটার

∴ আয়তাকার মেঝের ক্ষেত্রফল = ৩২০/২.৫০ = ১২৮ বর্গমিটার

প্রশ্নমতে,
২ক^২ = ১২৮
⇒ ক^২ = ১২৮/২
⇒ ক^২ = ৬৪ = ৮^২
∴ ক = ৮

∴ আয়তাকার মেঝের দৈর্ঘ্য = ২ক
= (২ × ৮) মিটার
= ১৬ মিটার।

প্রশ্ন: একটি বর্গাকৃতি ক্ষেত্রের পরিসীমা ৪৮ মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গাকৃতি ক্ষেত্রের পরিসীমা ৪৮ মিটার
বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য = পরিসীমা/৪ = ৪৮/৪ = ১২ মিটার

∴ বর্গের ক্ষেত্রফল = বাহু^২ = ১২^২ = ১৪৪ বর্গ মিটার

প্রশ্ন: ১০ মিটার দৈর্ঘ্যের একটি ঘনকের মধ্যে ৫ মিটার দৈর্ঘ্যের কয়টি ঘনক জায়গা হবে?

সমাধান:
বড় ঘনকের আয়তন = ১০^৩ ঘন মিটার
= ১০০০ ঘন মিটার

ছোট ঘনকের আয়তন = ৫^৩ ঘন মিটার
= ১২৫ ঘন মিটার

∴ ঘনকের সংখ্যা = ১০০০/১২৫ = ৮ টি

∴ বড় ঘনকের মধ্যে ৮টি ছোট ঘনক স্থান নিতে পারে।

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ৪০ বর্গমিটার এবং সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব ৮ মিটার। একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ মিটার হলে, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × উচ্চতা
⇒ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল = (২ × ক্ষেত্রফল)/উচ্চতা
⇒ একটি বাহু + অপর বাহু = (২ × ৪০)/৮
⇒ ৬ + অপর বাহু = ১০
⇒ অপর বাহু = ১০ - ৬
∴ অপর বাহু = ৪ মিটার

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ১০ সে.মি. এবং ৭ সে.মি. হলে, রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ১০ সে.মি. এবং ৭ সে.মি.

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
(১/২) × (১০ × ৭) বর্গ সে.মি.
= ৩৫ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৪ গজ ১ ফুট ৫ ইঞ্চি। বৃত্তটির পরিধি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ গজ = ৩৬ ইঞ্চি
১ ফুট = ১২ ইঞ্চি

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = [(৪ × ৩৬) + ১২ + ৫] ইঞ্চি
= ১৪৪ + ১৭ = ১৬১ ইঞ্চি

আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = ২πr = ২ × (২২/৭) × ১৬১
= ১০১২ ইঞ্চি

প্রশ্ন: একটি গোলকের ব্যাস ১২ সে.মি. হলে, গোলকের আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গোলকের ব্যাস = ১২ সে.মি.
∴ ব্যসার্ধ, r = ১২/২ = ৬ সে.মি.

আমরা জানি,
গোলকের আয়তন = (৪/৩)πr^৩
= (৪/৩)π × (৬)^৩ ঘন সে.মি.
= ২৮৮π ঘন সে. মি.

∴ গোলকের আয়তন ২৮৮π ঘন সে. মি.

প্রশ্ন: বেলনের ভূমির ব্যাস ৬ মিটার, উচ্চতা ১৪ মিটার হলে, বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বেলনের ভূমির ব্যাস ৬ মিটার
∴ ভূমির ব্যাসার্ধ r = ৩ মিটার
বেলনের উচ্চতা h = ১৪ মিটার

আমরা জানি,
বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = ২πrh
= ২ × (২২/৭) × ৩ × ১৪ বর্গ মিটার
= ২৬৪ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি বিষমবাহু ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৭, ১২ ও ১৫ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বিষমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)}
যেখানে, s = (a + b + c)/২
= (৭ + ১২ + ১৫)/২
= ১৭

∴ ক্ষেত্রফল = √{১৭(১৭ - ৭)(১৭ - ১২)(১৭ - ১৫)}
= √(১৭ × ১০  × ৫ × ২)
= √(১৭ × ১০ × ১০)
= ১০√১৭ বর্গমিটার

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ১০√১৭ বর্গমিটার

প্রশ্ন: ঘনকের ধার ‍৬ একক হলে ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
ঘনকের এক ধারের দৈর্ঘ্য, a = ৬ একক

আমরা জানি,
ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = ৬a^২ বর্গ একক
= ৬ × ৬^২ বর্গ একক
= ৬ × ৩৬ বর্গ একক
= ২১৬ বর্গ একক

প্রশ্ন: একটি দেওয়ালের দৈর্ঘ্য ১৫ মি, উচ্চতা ৪ মি, পুরুত্ব ২০ সে. মি। একটি ইটের দৈর্ঘ্য ১০ সে. মি., প্রস্থ ৫ সে. মি., উচ্চতা ৫ সে. মি। দেওয়ালটি ইট দিয়ে তৈরি করতে প্রয়োজনীয় ইটের সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দেওয়ালের দৈর্ঘ্য = ১৫ মি. = ১৫০০ সে.মি.
উচ্চতা = ৪ মি. = ৪০০ সে.মি.
পুরুত্ব = ২০ সে. মি.

এখানে,
দেওয়ালের আয়তন = (১৫০০ × ৪০০ × ২০) = ১২০০০০০০ ঘন সে. মি.
আবার, ইটের আয়তন = (১০ × ৫ × ৫) সে.মি. = ২৫০ ঘন সে. মি.

∴ ইটের সংখ্যা = দেওয়ালের আয়তন / ইটের আয়তন
= ১২০০০০০০/২৫০
= ৪৮০০০

∴ দেওয়ালটি তৈরি করতে প্রয়োজন হবে ৪৮,০০০ টি ইট।