Math Master

4x⁴ + 16
= 4(x⁴ + 4)
= 4{(x²)² + 2²}
= 4{(x² + 2)² - 2.x².2}
= 4{(x² + 2)² - (2x)²}
= 4[{(x² + 2) + 2x}{(x² +2) - 2x}]
= 4(x² + 2x + 2)(x² - 2x + 2)

x⁶ - 1
= (x³)² - 1²
= (x³ + 1)(x³ - 1)
= (x + 1)(x² - x + 1)(x - 1)(x² + x + 1)

a⁴ + a²b² + b⁴
= (a²)² + (b²)² + 2.a².b² - (ab)²
= (a² + b²)² - (ab)²
= (a² + b² + ab)(a² + b² - ab)

x² - 1 - y(y - 2)
= x² - 1 - y² + 2y
= x² - (y² - 2y + 1)
= x² - (y - 1)²
= (x + y - 1)(x - y + 1)

x² + 7x - 8
= x² + 8x - x - 8
= x(x + 8) - 1(x + 8)
= (x + 8)(x - 1)

- 4a² + 25a - 6
= - (4a² - 25a + 6)
= - (4a² - 24a - a + 6)
= - {4a(a - 6) - 1(a - 6)}
= - (a - 6)(4a - 1)

যেহেতু, x - 2, f(x) = x³ - x - p এর একটি উৎপাদক
∴ f(2) = 0
বা, 2³ - 2 - p = 0
বা, 6 - p = 0
∴ p = 6

এখানে,
f(x) = x³ - 2x² - x + 2 এর ক্ষেত্রে,
f(2) = 0
∴ (x - 2) উৎপাদক

x -1, f(x) = x³ - ax² + 11x - a এর একটি উৎপাদক
∴ f(1) = 0
বা, 1³ - a.1² + 11.1 - a = 0
বা, -2a + 12 = 0
∴ a = 6

x² - 2mx + (m + n)(m - n)
= x² - 2mx + m² - n²
= (x - m)² - n²
= (x - m + n)(x - m - n)

আবার,
x² - 2mx + (m + n)(m - n)
= x² - 2mx + m² - n²
= m² - 2mx + x² - n²
= (m - x)² - n²
= (m - x + n)(m - x - n)
= (-x + m + n)(m - x - n)

সুতরাং, অপশন খ) ও ঘ) দুটোই সম্ভব। তাই বাতিল করা হয়েছে।

যেহেতু, x - 3, f(x) = x³ + kx² - 6x - 9 এর একটি উৎপাদক -

∴ f(x) = x³ + k.3² - 6.3 - 9
বা, 27 + 9K - 18 - 9 = 0
বা, 9k = 0
∴ k = 0

1 - x² + 2ax -a²
= 1 - (x² - 2ax + a²)
= 1 - (x - a)²
= (1 + x -a)(1 - x + a)

4x² + 4xy - 2y - 1
= (2x)² - 1² + 2y(2x - 1)
= (2x + 1)(2x - 1) + 2y(2x - 1)
= (2x - 1)(2x + 2y + 1)

x - 8, f(x) = x² - ax - 48 এর একটি উৎপাদক হলে
f(8) = 0
বা, 8² - a.8 - 48 = 0
বা, 16 - a.8 = 0
বা, a.8 = 16
∴ a = 2

x² - 10x + 16
= x² - 2x.5 + 5² - 9
= (x - 5)² - 9
∴ x = 5 এর জন্য রাশির মান সর্বনিম্ন।
(কেননা, x = 5 হলে রাশিটির মান হয় -9)

x = -4 হলে x³ - 21x - 20 = 0 হবে।

a = 3 হলে, a³ - 4a² + 3a = 0 হবে।
∴ a = 3

a³ + a² - 2
= (a³ - 1) + (a² - 1)
= (a - 1)(a² + a + 1) + (a+1)(a - 1)
= (a - 1)(a² + a + 1 + a + 1)
= (a - 1)(a² + 2a + 2)
= (a - 1)(a² + 2a + 2)
∴ a = 1 হলে,
a³ + a² - 2 = 0
∴ a = 1

3x - 5, f(x) = ax² - x - 15 এর একটি উৎপাদক
∴ f(5/3) = 0
বা, a.(25/9) - 5/3 - 135 = 0
বা, 25a - 15 - 135 = 0
বা, 25a - 150 = 0
বা, 25a = 150
∴ a = 6