Math Master

1/(p - 3) + 1/(p - 4) = 1/(p - 2) + 1/(p - 5)
⇒ {(p - 4) + (p - 3)}/(p - 3)(p - 4) = {(p - 5) + (p - 2)}/(p - 2)(p - 5)
⇒ (2p - 7)/(p - 3)(p - 4) = (2p - 7)/(p - 2)(p - 5)
⇒ (2p - 7)/(p² - 7p + 12) - (2p - 7)/(p² - 7p + 10) = 0
⇒ (2p - 7){1/(p2 - 7p + 12) -1/(p2 - 7p + 10)} = 0
∴ 2p - 7 = 0 কিন্তু 1/(p2 - 7p + 12) -1/(p2 - 7p + 10) = 0 গ্রহণযোগ্য নয়। 
অতএব, p = 7/2

মনে করি, লব ক
সুতরাং হর ক + ১
প্রশ্নানুসারে,
(ক - ২)/ক + ১ + ২) = ১/৬
⇒ (ক - ২)/(ক + ৩) = ১/৬
⇒ ৬ক - ১২ = ক + ৩
⇒ ৫ক = ১৫
⇒ ক = ৩
অতএব, ভগ্নাংশটি = ৩/(৩ + ১) = ৩/৪

ধরি, কেবিনের যাত্রী সংখ্যা x জন
প্রশ্নমতে, 30(47 - x) + 60x = 1680
বা, 1410 - 30x + 60x = 1680
বা, 30x = 270
বা, x = 9

মনে করি,
(x + a)/(x - a) = y
∴ y² - 5y + 6 = 0 
⇒ (y - 2)(y - 3) = 0
⇒ y = 2, 3

y = 2 হলে, 
(x + a)/(x - a) = 2
⇒ x = 3a

y = 3 হলে,
(x + a)/(x - a) = 3
⇒ x = 2a
নির্ণেয় সমাধান:  x = 2a, 3a

x² - x - 12 = 0 
⇒ x² - 4x + 3x - 12 = 0
⇒ x(x - 4) + 3(x - 4) = 0
⇒ (x - 4)(x + 3) = 0
⇒ x = - 3, 4

x² - (a + b)x + ab = 0
⇒ (x - a)(x - b) = 0
⇒ x = a, b
সমাধান সেট : {a, b}

দুইটি বীজগাণিতিক রাশি x ও  y এর গুণফল xy = 0 হলে, x = 0 বা y = 0 অথবা x = 0 এবং y = 0

মনে করি,
শাহিক 240 টাকায় y টি কলম কিনেছিল।
অতএব, প্রতিটি কলমের দাম 240/y টাকা

সে যদি 240 টাকায় (y + 1) টি কলম পেতো তবে প্রতিটি কলমের দাম পড়তো 240/(y + 1) টাকা 

প্রশ্নানুসারে,
240/y - 240/(y + 1) = 1
⇒ (240y + 240 - 240y)/y(y + 1) = 1
⇒ y² + y = 240
⇒ y² + 16y - 15y - 240 = 0
⇒ y(y + 16)-15(y + 16) = 0
⇒ (y + 16)(y - 15) = 0
⇒ y = 15, y + 16 ≠ 0
∴ সে 15 টি কলম কিনেছিল।

a > b হলে, যে কোনো c এর জন্য ac > bc এবং a/c > b/c যখন c < 0 সত্য নয়।
a > b হলে, যে কোনো c এর জন্য ac < bc এবং a/c < b/c যখন c < 0 এই তথ্যটি সঠিক। 

a > b এবং c < 0 হলে, ac < bc এবং a/c < b/c

4x + 4 > 16 
⇒ 4x > 16 - 4
⇒ 4x > 12
⇒ x > 3
নির্ণেয় সমাধান সেট = { x ∈ R : x > 3 }

a ধনাত্মক হলে,
a(x + b) < c
⇒ x + b < c/a
⇒ x < c/a - b

a ঋনাত্মক হলে, 
a(x + b) > c
⇒ x + b > c/a
⇒ x > c/a - b

নির্ণেয় সমাধানঃ (১) x < c/a - b যদি a > 0 হয়, (২) x > c/a - b যদি a < 0 হয়

।2x - 5। < 8
⇒ - 8 < 2x - 5 < 8
⇒ - 8 + 5 < 2x < 8 + 5
⇒ - 3 < 2x < 13
⇒ - 3/2 < 2x/2 < 13/2
⇒ - 3/2 < x < 13/2

সমাধান: ax² + bx + c < 0
[x - {- b + √( b² - 4ac)}/2a][x - {- b - √( b² - 4ac)}/2a] < 0 --------------- (1)
অসমতা (1) সত্য হবে যদি ax² + bx + c এর উৎপাদক দুইটির যেকোনো একটি ঋণাত্মক ও অপরটি ধনাত্মক হয়।
[x - {- b + √( b² - 4ac)}/2a] > 0 এবং [x - { - b - √( b² - 4ac) } / 2a] < 0
বা, x > { - b + √( b² - 4ac) } / 2a এবং x < { - b - √( b² - 4ac) } / 2a
আবার, সমীকরণ (1) সত্য হবে যদি [x - {- b + √( b² - 4ac)}/2a] < 0 এবং [x - {- b - √( b² - 4ac)}/2a] > 0 হয়।
[x - {- b + √( b² - 4ac)}/2a] < 0 এবং [x - {- b - √( b² - 4ac)}/2a] > 0
বা, x < { - b + √( b² - 4ac) } / 2a এবং x > { - b - √( b² - 4ac) } / 2a

5x - x² - 6 > 0
বা, - x² + 5x - 6 > 0
বা, - ( x² - 5x + 6) > 0
বা, x² - 5x + 6 < 0
∴ (x - 2)(x - 3) < 0
5x - x² - 6 > 0 সত্য হবে যদি x - 2 < 0 এবং x - 3 > 0 হয়।
এখন, x - 2 < 0 এবং x - 3 > 0
অর্থাৎ,  x < 2 এবং x > 3
2 এর চেয়ে ছোট এবং 3 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।
আবার, 5x - x² - 6 > 0 সত্য হবে যদি x - 2 > 0 এবং x - 3 < 0 হয়।
এখন,  x - 2 > 0 এবং x - 3 < 0
অর্থাৎ x > 2 এবং x < 3
x এর মান 2 এর চেয়ে বড় এবং 3 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.  
সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ 2 < x < 3

-12x - 2x² > - 14
বা, - 6x - x² >  - 7
বা, x² + 6x - 7 < 0
বা, (x+7)(x-1) < 0
(x+7)(x-1) < 0 সত্য হবে যদি x + 7 > 0 এবং  x - 1 < 0 হয়।
x + 7 > 0 হলে, x > -7 এবং x - 1 < 0 হলে, x < 1
(x+7)(x-1) < 0 সত্য হবে যদি - 7 < x < 1 হয়।
-12x - 2x² > - 14  এর সমাধানঃ - 7 < x < 1

x² - 9 < 0
⇒ (x - 3)(x + 3) < 0
(x - 3)(x + 3) < 0 সত্য হবে যদি x - 3 < 0 বা x < 3 হয় এবং x + 3 > 0 বা x > - 3 হয়
অর্থাৎ (x - 3)(x + 3) < 0 সত্য হবে যদি - 3 < x < 3 হয়।

x ও y এর মান জানা না থাকায় অপশনের কোনটিই সঠিক উত্তর নয়।
x² + y² > 0 থাকলে এটি সঠিক উত্তর হত।
কারণ ধনাত্মক বা ঋণাত্মক সংখ্যা যাই হোক না কেন এদের বর্গ সর্বদা ধনাত্মক হয়।
এক বা একাধিক সংখ্যার বর্গের যোগফল সব সময় ধনাত্মক হয় কিন্তু বিয়োগফল ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হয়।