১৪০ দিনে ৫১তম বিসিএস প্রস্তুতি

প্রশ্ন : একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অন্তর 1 মিটার এবং তাদের মধ্যে লম্ব দূরত্ব 3 মিটার। ট্রাপিজিয়ামক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 33 বর্গ মিটার হলে, ক্ষুদ্রতম বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 25 মি. এবং প্রস্থ 7 মি. হলে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রে ∠PQR = 57°, ∠LRN = 90° এবং PQ ।। MR হলে, ∠MRL এর মান কত?

প্রশ্ন : একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য √২০ সেমি হলে, বর্গক্ষেত্রটির  ক্ষেত্রফল কত সেমি?
সমাধান : 
আমরা জানি,

প্রশ্ন : একটি বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 150 বর্গ সে. মি. এবং আয়তন 225 ঘন সে. মি.। বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ কত? 

সমাধান : 
মনেকরি,
বেলনটির উচ্চতা h এবং ভূমির ব্যাসার্ধ r 

প্রশ্নমতে,
2πrh = 150 ...........  (1)
πr²h = 225 ............ (2)

(2)নং কে  (1) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,
πr²h/2πrh = 225/150
r/2 =3/2 
r= 3

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 10 মি. হলে ভূমির দৈর্ঘ্য কত একক? 

সমাধান: 
সমকোণ সংলগ্ন প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = a মি.
এখন,
a² + a² = 10²
2a² = 100
a² = 50
a = √50

সুতরাং, ত্রিভুজটির ভূমির দৈর্ঘ্য =  √50 মি.

প্রশ্ন : যদি কোনো সমতলে দুইটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু ও একটি সাধারণ রশ্মি থাকে এবং কোণদ্বয় উক্ত সাধারণ রশ্মির বিপরীত পার্শ্বে অবস্থান করে তবে ঐ কোণদ্বয়কে সন্নিহিত কোণ বলে।

প্রশ্ন : একটি আয়তাকার মেঝের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের তিনগুণ, যদি মেঝেটি পাকা করতে প্রতি বর্গমিটার 2 টাকা হিসেবে 144 টাকা খরচ হয়, তবে মেঝের দৈর্ঘ্য কত মিটার ?
সমাধান : 
মেঝের প্রস্থ x মিটার হলে দৈর্ঘ্য 3x মিটার।
তাহলে মেঝের ক্ষেত্রফল 3x² বর্গমিটার
আবার, প্রতি বর্গমিটার 2 টাকা হিসেবে 144 টাকা খরচ হলে মেঝের ক্ষেত্রফল = 144/2 বর্গমটার = 72 বর্গমিটার।
এখন,
3x² = 72
⇒ x² = 24
∴ x = 2√6

প্রশ্ন :  বৃত্তে অন্তর্লিখিত একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য 2 সে.মি. হলে, বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?

প্রশ্ন : একটি সরলরেখার কয়টি প্রান্ত বিন্দু রয়েছে?

প্রশ্ন : ৬ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা -

প্রশ্ন : অর্ধবৃত্তস্থ কোণের মান এক সরলকোণের -

সমাধান : 

প্রশ্ন: একটি কোণের মান তার সম্পূরক কোণের এক-তৃতীয়াংশ । কোণটি কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
দুটি কোণের যোগফল 180° হলে তাকে বলে সম্পূরক কোণ। 
ধরি,
একটি কোণ x 
সম্পূরক কোণ =  180° - x

প্রশ্নমতে,
    x = (180° - x)/3
বা, 3x = 180° - x
বা, 3x + x = 180°
বা, 4x = 180°
বা, x = 180°/4
x = 45°

সমতলস্থ একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার সর্বাধিক দুইটি সাধারণ বিন্দু বা
ছেদবিন্দু থাকতে পারে ।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্ম কোণদ্বয়ের পার্থক্য 12° হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত? 

সমাধান: 
ধরি,
ক্ষুদ্রতম কোণ x এবং
অপর ক্ষুদ্রতম কোণ x + 8°

এখন
x + x +12° + 90° = 180°
⇒ 2x = 180° - 102°
⇒ x = 78°/2
∴ x = 39°

ক্ষুদ্রতম কোণ 39°

প্রশ্ন : একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে ৬ সে.মি., ৩ সে. মি. ২ সে.মি. হলে আয়তাকার  ঘনবস্তুটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত? 
সমাধান : 
মনেকরি,
আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, a = ৬ সে.মি., প্রস্থ, b = ৩ সে.মি. এবং উচ্চতা, c = ২ সে.মি.।

সুতরাং, আয়তাকার  ঘনবস্তুটির কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(a² + b² + c²) 
                                                       = √(6² + 3² + 2²)
                                                       = √(36 + 9 + 4)
                                                        = √49
                                                         = 7

- সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরষ্পর অসমান।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় যদি পরস্পর সমান হয় তবে সামান্তরিকটি আয়তক্ষেত্র হবে।
- সামান্তরিকের একটি কোণ সমকোণ হলে, তা আয়ত।

প্রশ্ন : একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহু ও ভূমির অনুপাত 5 : 6, পরিসীমা 16 মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান : 
সমান সমান বাহু : ভূমি = 5:6
বা, 5x + 5x + 6x = 16
বা, 16x = 16
বা, x = 1

গোলকের ব্যাসার্ধ r হলে, গোলকের ক্ষেত্রফল হবে 4πr²
কিন্তু অর্ধগোলকের ক্ষেত্রফল = অর্ধগোলকের ক্ষেত্রফল + বৃত্তের ক্ষেত্রফল
তাই, যেহেতু r ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের Base এর উপর অর্ধগোলক রয়েছে তাই এর সাথে বৃত্তের ক্ষেত্রফল যোগ করতে হবে
= 4πr²/2 + πr²
= 2πr² + πr²
= 3πr²

প্রশ্ন : O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে x কোণের অর্ধেক কত?

প্রশ্ন : ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের  ∠DAB + ∠DCB = ?

প্রশ্ন : একটি রম্বসের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 20 সেমি, একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 32 সেমি হলে, রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত?