Math Master

প্রশ্ন: ⁿC₉ = ⁿC₅ হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
ⁿC₉ = ⁿC₅
⇒ ⁿC₉ = ⁿC_{n - 5}  [ⁿC_r = ⁿC_{n - r} সূত্র প্রয়োগ]
⇒ 9 = n - 5
⇒ n = 9 + 5
∴ n = 14

প্রশ্ন: একটি ক্লাবের 12 জন সদস্যের মধ্য থেকে প্রতিবার 4 জন নিয়ে কতটি কমিটি গঠন করা যায়, যেখানে 3 জন সদস্য কোনো কমিটিতে থাকবে না?

সমাধান:
3 জন সদস্যকে বাদ দিয়ে বাকি 9 জন সদস্যের মধ্য থেকে 4 জন নির্বাচন করতে হবে।

∴ 4 জনের কমিটি গঠনের উপায়,
= ⁹C₄
= 9!/{4! × (9 - 4)!}
= 9!/(4! × 5!)
= (9 × 8 × 7 × 6)/(4 × 3 × 2 × 1)
= 126

প্রশ্ন: 'MISSISSIPPI' শব্দটির বর্ণ নিয়ে কতগুলো বিন্যাস করা যাবে, যাদের প্রথম অক্ষর হবে 'M'?

সমাধান:
'MISSISSIPPI' শব্দটিতে মোট ১১টি বর্ণ রয়েছে।

এখন,
'M' প্রথম স্থানে স্থির, তাই বাকি ১০টি স্থানে বাকি বর্ণগুলো বিন্যাস করতে হবে - I, I, I, I, S, S, S, S, P, P।
এখানে I চারটি, S চারটি, P দুটি রয়েছে।

∴ বাকি ১০টি বর্ণের বিন্যাস সংখ্যা =

অতএব, 'M' দিয়ে শুরু হওয়া 'MISSISSIPPI' শব্দের বিন্যাসের সংখ্যা = 3150.

প্রশ্ন: 18 টি বিন্দু দিয়ে কতটি ত্রিভুজ গঠন করা যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি ত্রিভুজ গঠন করতে ৩ টি বিন্দু প্রয়োজন হয়।
তাহলে,
18 টি বিন্দু দিয়ে গঠিত ত্রিভুজের সংখ্যা,
= ¹⁸C₃
= 18!/{3! × (18 - 3)!}
= 18!/(3! × 15!)
= (18 × 17 × 16 × 15!)/(3 × 2 × 1 × 15!)
= (18 × 17 × 16)/(3 × 2 × 1)
= (18 × 17 × 16)/6
= 4896/6
= 816

প্রশ্ন: "AUTHOR" শব্দটিতে কেবল স্বরবর্ণগুলোকে বিজোড় স্থানে রেখে শব্দটি কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
এখানে
মোট বর্ণ আছে 6টি
স্বরবর্ণ অর্থাৎ Vowel আছে (A, O, U) 3টি
ব্যঞ্জনবর্ণ অর্থাৎ Consonant আছে (T, H, R) 3টি

স্বরবর্ণ 3টি বিজোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 3! = 6
বাকি 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ 3টি জোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 3! = 6

∴ স্বরবর্ণগুলোকে কেবল বিজোড় স্থানে রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা = 6 × 6
= 36

অতএব, AUTHOR শব্দটিকে স্বরবর্ণগুলোকে কেবল বিজোড় স্থানে রেখে মোট 36 উপায়ে সাজানো যাবে।

প্রশ্ন: যদি ⁿC₇ = ⁿC₅ হয়, তাহলে ⁿC₂ এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
যদি ⁿC_a = ⁿC_b হয়, তাহলে হয় a = b অথবা a + b = n হবে।

এখানে,
ⁿC₇ = ⁿC₅
⇒ 7 + 5 = n
⇒ n = 12

∴ ⁿC₂ = ¹²C₂
= 12!/2!(12 - 2)!
= (12 × 11 × 10!)/(2 × 1 × 10!)
= 66

প্রশ্ন: 7 জন শিক্ষক ও 5 জন শিক্ষার্থীর মধ্য হতে কতভাবে 4 সদস্য বিশিষ্ট কমিটি গঠন করা যাবে যেখানে ন্যূনতম পক্ষে 2 জন শিক্ষক ও 2 জন শিক্ষার্থী থাকবে?

সমাধান:
7 জন শিক্ষক থেকে 2 জন বাছাইয়ের উপায় = ⁷C₂
= 7!/(2! × 5!)
= (7 × 6)/(2 × 1)
= 21

5 জন শিক্ষার্থী থেকে 2 জন বাছাইয়ের উপায় = ⁵C₂
= 5!/(2! × 3!)
= (5 × 4)/(2 × 1)
= 10

∴ মোট কমিটি গঠনের উপায় = 21 × 10 = 210

প্রশ্ন: ৬টি ভিন্ন বর্ণের পুঁতি দিয়ে কত উপায়ে একটি তসবী তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
তসবী, মালা ইত্যাদি গঠন করলে বিন্যাস সংখ্যা হয় = (n - 1)!/2

এখানে, n = 6

∴ তসবী গঠনের উপায় = (6 - 1)!/2
= 5!/2
= (5 × 4 × 3 × 2 × 1)/2
= 120/2
= 60

প্রশ্ন: 2, 3, 5, 7, 8, 9 অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে 4 অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
যেহেতু, অঙ্কের সংখ্যা 6টি।
4 অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যাবে = ⁶P₄
= 6!/(6 - 4)!
= 6!/2!
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(2 × 1)
= 6 × 5 × 4 × 3
= 360

∴ মোট 4 -অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যাবে 360 টি।

প্রশ্ন: ৮ জন খেলোয়াড়কে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যেতে পারে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে বসানোর উপায় = (n - 1)!
∴ ৮ জন খেলোয়াড়কে বসানোর উপায় = (৮ - ১)! = ৭!
= ৫০৪০

প্রশ্ন: যদি ⁷P_r = 210 হয়, তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
⁷P_r = 210
⇒ 7!/(7 - r)! = 210
∴ 5040/(7 - r)! = 210
⇒ (7 - r)! = 5040/210 
⇒ (7 - r)! = 24
⇒ (7 - r)! = 4!
⇒ 7 - r = 4
⇒ r = 7 - 4
∴ r = 3

প্রশ্ন: "BALANCE" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা "BALLOON" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
BALANCE শব্দটির বর্ণ সংখ্যা = 7
A দুইবার আছে, বাকিগুলো একবার করে।

∴ মোট বিন্যাস = 7!/2!
= 5040/2
= 2520

BALLOON শব্দটির বর্ণ সংখ্যা = 7
L দুইবার, O দুইবার, বাকিগুলো একবার করে।

∴ মোট বিন্যাস = 7!/(2! × 2!)
= 5040/4 = 1260

∴ অনুপাত = 2520/1260
= 2

অতএব, "BALANCE" শব্দটির বর্ণগুলোর বিন্যাস সংখ্যা "BALLOON" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার 2 গুণ।

প্রশ্ন: LETTER শব্দটির অক্ষরগুলো কত প্রকারে সাজানো যায়, যখন T গুলো একত্রে থাকবে না?

সমাধান:
LETTER শব্দে মোট অক্ষর = 6টি।

এখানে E এবং T  উভয়ই ২ বার করে এসেছে।

∴ মোট বিন্যাস = 6!/(2! × 2!)
= 720 / 4
= 180

এখন,
দুটি T একত্রে থাকলে অক্ষরগুলো হয়:
TT, L, E, E, R (মোট ৫টি একক, যেখানে E দুইবার আছে)।
∴  বিন্যাস = 5!/2!
= 120 / 2
= 60

∴ T একত্রে না থাকার বিন্যাস সংখ্যা = 180 - 60
= 120

প্রশ্ন: 30 জন ছাত্রের একটি শ্রেণি থেকে একজন সভাপতি এবং একজন সাধারণ সম্পাদক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান:
প্রথমে 30 জন ছাত্র থেকে 1 জন সভাপতি নির্বাচন করা যায়,
= ³⁰C₁ 
= 30

সভাপতি নির্বাচনের পর বাকি থাকে ২৯ জন।

∴ 29 জন থেকে 1 জন সাধারণ সম্পাদক নির্বাচন করা যায়,
= ²⁹C₁
= 29

∴ মোট বাছাই সংখ্যা = 30 × 29 = 870

প্রশ্ন: একটি শিক্ষার্থী ৬টি বিষয়ের পরীক্ষায় অংশ নিচ্ছে। সেই শিক্ষার্থী কত উপায়ে পরীক্ষায় ফেল করতে পারে?

সমাধান:
পরীক্ষার্থী পরীক্ষায় 1, 2, 3, 4, 5, 6 এর মধ্যে যেকোনো সংখ্যক বিষয়ে ফেল করতে পারে।

∴ মোট ফেল করার উপায়,
= ⁶C₁ + ⁶C₂ + ⁶C₃ + ⁶C₄ + ⁶C₅ + ⁶C₆
= (6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1)
= 63

প্রশ্ন: 6টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 4টি স্বরবর্ণ থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 2টি স্বরবর্ণ নিয়ে মোট কতটি শব্দ তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
6টি ব্যঞ্জনবর্ণ থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ বাছাই করার উপায়,
= ⁶C₃ = 20

4টি স্বরবর্ণ থেকে 2টি স্বরবর্ণ বাছাই করার উপায়,
= ⁴C₂ = 6

∴ মোট বর্ণ বাছাইয়ের উপায় = 20 × 6 = 120

এখন,
প্রতিটি শব্দে বর্ণ থাকবে 5টি, এদের সাজানোর উপায়,
= 5! = 120

সুতরাং, মোট শব্দ সংখ্যা = 120 × 120
= 14,400

প্রশ্ন: একটি পরীক্ষায় ক বিভাগ ও খ বিভাগে ৬টি করে মোট ১২টি প্রশ্ন আছে। একজন পরীক্ষার্থী মোট ৭টি প্রশ্নের উত্তর দেবে, তবে কোনো বিভাগ থেকে সর্বোচ্চ ৫টি প্রশ্ন নিতে পারবে। কতভাবে সে প্রশ্নগুলো বাছাই করতে পারে?

সমাধান:
মোট ৭টি প্রশ্ন বাছাই করতে হবে, তবে কোনো বিভাগ থেকে ৫টির বেশি নেওয়া যাবে না। তাহলে, সম্ভাব্য উপায়গুলো হলো-

১) ক বিভাগ থেকে 2টি, খ বিভাগ থেকে 5টি
২) ক বিভাগ থেকে 3টি, খ বিভাগ থেকে 4টি
৩) ক বিভাগ থেকে 4টি, খ বিভাগ থেকে 3টি
৪) ক বিভাগ থেকে 5টি, খ বিভাগ থেকে 2টি

প্রতিটি ক্ষেত্রে বাছাইয়ের উপায়:
(১) ⁶C₂ × ⁶C₅ = 15 × 6 = 90
(২) ⁶C₃ × ⁶C₄ = 20 × 15 = 300
(৩) ⁶C₄ × ⁶C₃ = 15 × 20 = 300
(৪) ⁶C₅ × ⁶C₂ = 6 × 15 = 90

∴ মোট উপায় = 90 + 300 + 300 + 90 = 780

প্রশ্ন: 18 বাহুবিশিষ্ট একটি বহুভুজের কতটি কর্ণ আছে?

সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র:
কর্ণের সংখ্যা = ⁿC₂ - n

এখানে, বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n = 18

∴ কর্ণের সংখ্যা = ¹⁸C₂ - 18
= {18!/2! × (18 - 2)!} - 18
= {18!/(2! × 16!)} - 18
= {(18 × 17 × 16!)/(2 × 1 × 16!)} - 18
= {(18 × 17)/2} − 18
= 153 - 18
= 135

প্রশ্ন: BEAUTIFUL শব্দটির বর্ণগুলির মধ্যে স্বরবর্ণের অবস্থান পরিবর্তন না করে বর্ণগুলিকে মোট কত রকমে সাজানো যেতে পারে?

সমাধান:
BEAUTIFUL শব্দে মোট 9টি বর্ণ আছে। 
স্বরবর্ণ: E, A, U, I, U মোট 5টি, যার মধ্যে U আছে 2 বার।

যেহেতু স্বরবর্ণের অবস্থান পরিবর্তন করা যাবে না, তাই কেবল ব্যঞ্জনবর্ণগুলিকে (B, T, F, L) সাজানো যাবে।

ব্যঞ্জনবর্ণ = 4টি এবং সব ভিন্ন।
∴ সাজানোর সংখ্যা = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24