Math Master

দেয়া আছে,
দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৭ 
তাদের ল.সা.গু. ২১০

মনেকরি,
সংখ্যা দু'টি = ৫x, ৭x
৫x ও ৭x এর ল.সা গু = ৩৫x

প্রশ্নমতে,
               ৩৫x =২১০
                  x =২১০/৩৫
                ∴ x = ৬

∴ বড় সংখ্যাটি = ৭ × ৬ 
                        = ৪২

২৪, ৩৬ এবং ৪৮ এর ল. সা. গু = ১৪৪

∴ নির্ণেয় লঘিষ্ঠ সংখ্যা = ১৪৪ - ৫ = ১৩৯

২০ থেকে ৮০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৯ আছে এমন সংখ্যা তিনটি ।
যথাঃ ২৯  ৫৯ এবং ৭৯।

তাদের যোগফল = ২৯ + ৫৯ + ৭৯
                         =১৬৭

বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে (৩৬৭ - ৭) = ৩৬০ এবং (৪৬১ - ৫) = ৪৫৬ এর গসাগু।

∴ ৩৬০ এবং ৪৫৬ এর গসাগু = ২৪

নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি ২৪

যেকোনো দুইটি বেজোড় সংখ্যার যোগ করলে প্রাপ্ত যোগফল জোড় সংখ্যা হয়।
m + n = জোড় সংখ্যা 

এখানে, 
২০ - ১৫ = ৫
২৫ - ২০ = ৫
৩০ - ২৫ = ৫
৩৬ - ৩১ = ৫ 
৪৮ - ৪৩ = ৫ 
 
ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি  ২০, ২৫, ৩০, ৩৬ এবং ৪৮ এর ল.সা.গু  থেকে ৫ কম 
 ২০, ২৫, ৩০, ৩৬ এবং ৪৮ এর ল.সা.গু  = ৩৬০০

নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৩৬০০ - ৫ 
                                   = ৩৫৯৫

ধরি 
ছোট সংখ্যাটি ক
বড় সংখ্যাটি ক + ১ 

প্রশ্নমতে,
(ক+১)^২ - ক^২ = ১৫৯
বা, ক^২ + ২ক + ১ - ক^২ = ১৫৯
বা, ২ক = ১৫৯ - ১
বা, ২ক = ১৫৮
বা, ক = ৭৯

∴ বড় সংখ্যাটি = ক+১
                       =৭৯ + ১
                       = ৮০

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. × দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. = দুটি সংখ্যার গুণফল
⇒ গ.সা.গু. = দুটি সংখ্যার গুণফল/ ল.সা.গু.
∴ গ.সা.গু. = ১৩৪৪/৯৬
                 = ১৪

p/q আকারের কোনাে সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়, যখন p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q≠0।
যেমন = 3, 11/2 = 5.5, 5/3= 1.666... ইত্যাদি মূলদ সংখ্যা।
যে কোনাে মূলদ সংখ্যাকে দুইটি সহমৌলিক সংখ্যার অনুপাত হিসাবেও লেখা যায়।
সকল পূর্ণসংখ্যা ও ভগ্নাংশই মূলদ সংখ্যা।

সবচেয়ে বড় টুকরার দৈর্ঘ্য হবে ৬৭২ সে.মি. ও ৯৬০ সে.মি. এর গ.সা.গু 
৬৭২ ও ৯৬০ এর গ.সা.গু = ৯৬ 
সবচেয়ে বড় টুকরার দৈর্ঘ্য =৯৬ সে.মি.

পূর্ণসংখ্যা : শূন্যসহ সকল ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যাকে পূর্ণসংখ্যা বলা হয়।
অর্থাৎ ...,- 3, 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ... ইত্যাদি পূর্ণসংখ্যা।

ধনাত্মক সংখ্যা : শূন্য থেকে বড় সকল বাস্তব সংখ্যাকে ধনাত্মক সংখ্যা বলা হয়
 যেমন,  2, 1/2, 3/2, √2, 0.415, ইত্যাদি ধনাত্মক সংখ্যা।

ঋণাত্মক সংখ্যা : শূন্য থেকে ছােট সকল বাস্তব সংখ্যাকে ঋণাত্মক সংখ্যা বলা হয়।
যেমন, -2, -1/2, -3/2, -√2, - 0.415, ইত্যাদি ঋণাত্মক সংখ্যা। 

অঋণাত্মক সংখ্যা :
শূন্যসহ সকল ধনাত্মক সংখ্যাকে অঋণাত্মক সংখ্যা বলা হয়।
যেমন, 0, 3,1/2 , 0.612, .... .......ইত্যাদি অঋণাত্মক সংখ্যা।

মনেকরি, 
একটি সংখ্যা x 
অপর সংখ্যা y 

শর্তমতে,
x + y = 55 ............. (1)
x - y = 5 ............. (2)
[যেহেতু পার্থক্য তাদের যোগফলের 1/11 ভাগ]

(1)নং + (2)নং ⇒
x + y + x - y = 55 + 5 
2x = 60 
x = 30 

x এর মান (1)নং এ বসিয়ে পাই - 
30 + y = 55
y = 55 - 30 
y = 25

30 ও 25 এর  ল.সা.গু. = 150

নিয়ম-১ঃ
৪৮ = ২ × ২ × ২ × ২×৩ = ২^৪ × ৩^১
৪৮ সংখ্যাটির ভাজক = (৪ + ১) × (১ + ১) = ১০টি।

নিয়ম-২ঃ
৪৮ = ১ × ৪৮
      = ২ × ২৪
      = ৩ × ১৬
      = ৪ × ১২
      = ৬ × ৮

৪৮ সংখ্যাটির ভাজক = ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ১২, ১৬, ২৪, ৪৮
                                 = ১০ টি।

যে সংখ্যাকে p/q  আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়।
পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনাে স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা।
যেমন√2 = 1.414213..., √3 = 1.732 ..., √2 = 1.118..., ইত্যাদি অমূলদ সংখ্যা।
কোনাে অমূলদ সংখ্যাকে দুইটিপূর্ণ সংখ্যার অনুপাত হিসেবে প্রকাশ করা যায় না।

দৈর্ঘ্য = ৫.২৫ মিটার
        = (৫.২৫ × ১০০) সে.মি. 
        = ৫২৫ সে.মি. 
 প্রস্থ = ৩.৭৮ মিটার
        = (৩.৭৮× ১০০) সে.মি. 
        = ৩৭৮ সে. মি. 

৫২৫ ও ৩৭৮  এর গ.সা.গু  = ২১ 

ব্যবহৃত টাইলসের দৈর্ঘ্য = ২১ সে.মি.

আমরা জানি,
যে কোনাে চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলের সাথে 1 যােগ করলে যােগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে। 
a, b, c, d চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা।
a, b, c, d এর গুণফল = abcd 

abcd গুণফলের সাথে 1 যােগ করলে যােগফল  = abcd + 1
abcd + 1 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে। 

প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর লব ৮, ১২ , ৮ এর গ.সা.গু = ৪ 
প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর হর ৫, ১০ এর ল.সা.গু = ১০

নির্ণেয় গ.সা.গু = ভগ্নাংশগুলোর লবের গ.সা.গু/ভগ্নাংশগুলোর হরের ল.সা.গু 
                       = ৪/১০
                        = ২/৫

মনে করি, 
সংখ্যাটি x 

প্রশ্নমতে, 
(2x)² + 15 = 271
4x² + 15 = 271
4x² = 271 - 15 
4x² = 256
x² = 64
x² = 8²
x = 8