Math Master

(x/y + y/x)² = (x/y - y/x)² + 4.x/y.y/x
= (4√2)² + 4
= 32 + 4
= 36
∴ (x/y + y/x) = √36
= 6

a² + 1 = 3a
বা, a²/a + 1/a = 3
বা, a + 1/a = 3
(a - 1/a)² = (a + 1/a)² - 4.a.1/a
বা, (a - 1/a)² = 3² - 4
= 5
∴ a - 1/a = √5
a² + 1/a² = (a + 1/a)² - 2.a.1/a
∴ a² + 1/a² = 3² - 2
= 9 - 2
= 7
এখন,
a⁴ - 1/a⁴ = (a² + 1/a²)(a² - 1/a²)
= (a² + 1/a²)(a + 1/a)(a - 1/a)
= 7.3.√5
= 21√5

xy(x² + y²) = 1/8 × 4xy × 2(x² + y²)
= 1/8 × {(x + y)² - (x - y)²}{(x + y)² + (x - y)²}
= 1/8 × (4² - 2²)(4² + 2²)
= 1/8 × (16 - 4)(16 + 4)
= 1/8 × 12 × 20
= 30

a = 2 + √3
বা, 1/a = 1/(2 + √3)
= (2 - √3)/(2 + √3)(2 - √3)
= 2 - √3/4 - 3
= 2 - √3
a³ + 3a + 3/a + 1/a³ = a³ + 3.a².1/a + 3.a.1/a² + 1/a³
= (a + 1/a)³
= (2 + √3 + 2 - √3)³
= 4³
= 64

(b - c)/bc + (c - a)/ca + (a - b)/ab
= b/bc - c/bc + c/ca - a/ca + a/ab - b/ab
= 1/c - 1/b + 1/a - 1/c + 1/b - 1/a
= 0

1/(x - y) + 1(x + y) = (x + y + x - y)/(x + y)(x - y)
= 2x/(x² - y²)
∴ -2x/(x² - y²) যোগ করতে হবে

ধরি,
a বিয়োগ হবে।
∴ (5 - a)/(7 - a) = 5/3
বা, 15 - 3a = 35 - 5a
বা, -3a + 5a = 35 - 15
বা, 2a = 20
∴ a = 10

(a³ + b³)/(a + b) = {(a + b)(a² - ab + b²)}/(a + b)
= a² - ab + b²
(a³ - b³)/(a - b) = {(a - b)(a² + ab +b²)}/(a - b)
= a² + ab + b²
∴ a² + ab + b² )a² - ab + b²(1
                        a² + ab + b²
                                     -2ab

a² = 25
∴ a = ±5
আবার,
b² = 36
∴ b = ±6
∴ a > b
∴ a = ±5,
b = -6
∴ (a - b)² = (-5 + 6)²
= 1²
= 1

a + 1/a + 1 = 0
বা, a² + 1 + a = 0
∴ a² + a + 1 = 0

এখন, a⁶ - 1
= (a³ + 1)(a³ - 1)
= (a + 1)(a² - a + 1)(a - 1)(a² + a + 1)
= (a + 1)(a² - a + 1)(a - 1) × 0
= 0

x² + 4y² + 8x - 16y + 16 = x² + (-2y)² + 4² + 2.x.(-2y) + 2.x.4 + 2(-2y).4
= (x - 2y + 4)²
∴ -4xy যোগ করতে হবে।

a + b = -c
∴ a + b + c = 0
এখন,
a³ + b³ - 3abc = a³ + b³ + c³ - 3abc - c³
= (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) - c³
= 0 - c³
= -c³

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
বা, 5² = (a² + b² + c²) + 2.8
বা, 25 - 16 = a² + b² + c²
∴ a² + b² + c² = 9

ধরি,
ভগ্নাংশটি a/(a + 2)
∴ (a - 5)/(a + 2 - 5) + 1/4 = 1
বা, (a - 5)/(a - 3) = 1 - 1/4
(a - 5)/(a - 3) = 3/4
বা, 4a - 20 = 3a - 9
বা, a = -9 + 20
= 11
∴ ভগ্নাংশটি = a/a + 2 = 11/(11 + 2)
= 11/13

১ম রাশি = x - y
২য় রাশি = x² - y²
= (x + y)(x - y)
৩য় রাশি = x³ - y³
= (x - y)(x² + xy + y²)
∴ গ.সা.গু. = x - y

১ম রাশি = x³ + x²y
= x²(x + y)
২য় রাশি = x²y - xy²
= xy(x - y)
∴ ল.সা.গু. = x²y(x + y)(x - y)
= x²y(x² - y²)

ল.সা.গু. = a²b(a + b)
গ.সা.গু. = a + b
১ম সংখ্যা = a³ + a²b
= a²(a + b)
∴ ২য় সংখ্যা = ?
এখন,
১ম সংখ্যা × ২য় সংখ্যা = ল.সা.গু. × গ.সা.গু.
বা, ২য় সংখ্যা = (ল.সা.গু. × গ.সা.গু.)/১ম সংখ্যা
= {a²b(a + b) × (a + b)}/a²(a + b)
= b(a + b)

মনেকরি,
সংখ্যাদ্বয় 7a, 5a
∴ ল.সা.গু. = 35a
= 175
বা, a = 5
∴ 7a, 5a এর গ.সা.গু. a = 5

n টাকায় পাওয়া যায় m সংখ্যক নারকেল
∴ 1 টাকায় পাওয়া যায় m/n সংখ্যক নারকেল
∴ m টাকায় পাওয়া যায় (m × m)/n = m²/n সংখ্যক নারকেল

1/y - 1/x = 3
বা, (x - y)/xy = 3
∴ xy/(x - y) = 1/3