Math Master

Question: একটি আয়তাকার লৌহ ফলকের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 10, 8 ও 5.5 সে.মি.। এই ফলকটিকে গলিয়ে 1/2 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট কতগুলো গোলাকার গুলি প্রস্তুত করা যাবে?

Solution: 
আয়তাকার লৌহ ফলকের আয়তন = 10 × 8 × (11/2)
= 440 ঘনসেমি 

গোলাকার গুলির আয়তন = (4/3)π(1/2)³
= π/6 ঘনসেমি
= 11/21 ঘনসেমি 

গোলাকার গুলির সংখ্যা = 440/(11/21) = 840 টি

প্রশ্ন: একটি ট্রপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য ৫ মিটার ও ৭ মিটার। এর ক্ষেত্রফল ২৪ বর্গমিটার হলে, বাহু দুইটির মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি, 
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের লম্ব দূরত্ব = (২ × ক্ষেত্রফল)/সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের যোগফল
= (২ × ২৪)/(৫ + ৭) মিটার 
= ৪৮/১২ মিটার 
= ৪ মিটার 

∴ বাহু দুইটির মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব = ৪ মিটার। 

প্রশ্ন: 3 মি. বাহু বিশিষ্ট একটি ঘনক আকৃতির বক্সে 10 সেমি বাহু বিশিষ্ট কতটি ঘনক রাখা যাবে?

সমাধানঃ
ঘনক সংখ্যা = বড় ঘনকের আয়তন / ছোট ঘনকের আয়তন
= (300 × 300 × 300)  / (10 × 10 × 10)
= 27000

প্রশ্ন: একটি কোণকের ভূমির ব্যাস 14 সেমি এবং তীর্যক উচ্চতা 10 সেমি হলে কোণকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
কোণকের ভূমির ব্যাস = 14 cm
কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ r = 14/2 = 7 cm
কোণকের তীর্যক উচ্চতা l = 10 cm

কোণকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = πrl
= (22/7) × 7 × 10
= 220 বর্গসেমি

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 160 বর্গমি. । যদি এর দৈর্ঘ্য 3 মি কমানো এবং প্রস্থ 3 মি বাড়ানো হয় তবে তা একটি বর্গক্ষেত্রে পরিণত হয়, তবে বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
ধরি, বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x মিটার 

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x + 3 মিটার 
প্রস্থ x - 3 মিটার 
 
(x + 3) (x - 3) = 160 
⇒ x² - 9 = 160 
∴ x² = 160 + 9 = 169 

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 169 বর্গমিটার 

প্রশ্ন: 28 ফুট ব্যাসের একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রকে একই ক্ষেত্রফলের একটি বর্গক্ষেত্র করলে, বর্গক্ষেত্রের যে কোনো এক দিকের বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে? 

সমাধান: 
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসার্ধ = 28/2 ফুট = 14 ফুট
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = πr²
= π × 14 × 14
= (22/7) × (14 × 14)
= 616 বর্গফুট 
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 616 বর্গফুট 

∴ বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = √616 = 2√154 ফুট

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30° হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফর কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ = 30°
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য a = b = 10 সে.মি.

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2)absinθ
= (1/2) × 10 × 10 × sin30°
= (1/2) × 10 × 10 × (1/2)
= 25 বর্গসে.মি.

প্রশ্ন: অর্ধ গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 12π বর্গমিটার হলে, ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান: 
অর্ধ গোলকের ব্যাসার্ধ r হলে, পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 3πr²
3πr² = 12π
⇒ r² = 4
⇒ r = 2
সুতরাং ব্যাসার্ধ  2 মিটার

প্রশ্ন: একটি দেওয়ালের দৈর্ঘ্য ২ মি, উচ্চতা ৩ মি, পুরুত্ব ৩০ সে. মি.। একটি ইটের দৈর্ঘ্য ১০ সে. মি. প্রস্থ ৫ সে. মি. উচ্চতা ৩ সে. মি.। দেওয়ালটি ইট দিয়ে তৈরী করতে প্রয়োজনীয় ইটের সংখ্যা নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দেওয়ালের দৈর্ঘ্য = ২ মি.
= ২০০ সে.মি.
উচ্চতা = ৩ মি.
= ৩০০ সে.মি.
পুরুত্ব = ৩০ সে. মি.

এখানে,
দেওয়ালের আয়তন = (২০০ × ৩০০ × ৩০) সে. মি.
আবার,
ইটের আয়তন = (১০ × ৫ × ৩) সে. মি.

আমরা জানি,
ইটের সংখ্যা = দেওয়ালের আয়তন/ইটের আয়তন
= (২০০ × ৩০০ × ৩০)/(১০ × ৫ × ৩) 
= ১২০০০ টি

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘনবস্তুুর দৈর্ঘ্য ৭ মি., প্রস্থ ৫ মি. এবং উচ্চতা ১ মি. হলে বস্তুটি কত লিটার পানি দ্বারা পূর্ণ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য = ৭ মি.
= ৭০০ সে.মি.
প্রস্থ = ৫ মি.
= ৫০০ সে.মি.
উচ্চতা = ১ মি.
= ১০০ সে.মি.

আমরা জানি,
আয়তন = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা)
= (৭০০ × ৫০০ × ১০০) ঘন সে.মি.
= ৩৫০০০০০০ ঘন সে.মি.
= ৩৫০০০০০০/১০০০ লিটার  [যেহেতু, ১ লিটার = ১০০০ ঘন সে.মি.]
= ৩৫০০০ লিটার

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ২১ বর্গ সে.মি. হলে, রম্বসের কর্ণদ্বয়ের গুণফল কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল 

∴ কর্ণদ্বয়ের গুণফল = ২ × রম্বসের ক্ষেত্রফল
= (২ × ২১) বর্গ সে.মি. 
= ৪২ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ঘনকের আয়তন ১০০০ ঘনসে.মি. হলে ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a  একক হলে এর আয়তন a³ ঘনএকক

শর্তমতে,
a³ = ১০০০
∴ a = ১০ 

ঘনকটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য ১০ সে.মি.

ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে ১০√৩ সে.মি.

প্রশ্ন: ৪০ ফুট দীর্ঘ এবং ২৫ ফুট প্রস্থ বাগানের বাহিরের চতুর্দিকে ৫ ফুট প্রশস্ত একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত বর্গফুট?

সমাধান: 
বাগানের ক্ষেত্রফল = (৪০ × ২৫) বর্গ ফুট
= ১০০০ বর্গ ফুট
রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = {৪০ + (৫+৫)} {২৫ + (৫+৫)}
= ৫০ × ৩৫
= ১৭৫০ বর্গ ফুট

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = ১৭৫০ - ১০০০
= ৭৫০ বর্গফুট