Math Master

প্রশ্ন: ৩, ৬, ১২, ২৪, ........... ধারার ৮ম পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
৬/৩ = ২
১২/৬ = ২
∴ ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা যার,
প্রথম পদ a = ৩
সাধারণ অনুপাত r = ২

∴ ধারার ৮ম পদ = ar^৮-১
= ৩ × ২^৭
= ৩ × ১২৮
= ৩৮৪

প্রশ্ন: HARMONY শব্দের বর্ণগুলো কত উপায়ে সাজানো যাবে?

সমাধান:
HARMONY শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে ৭টি এবং সকল বর্ণ ভিন্ন।
∴ HARMONY শব্দটি সাজানো যাবে ৭! = ৫০৪০ উপায়ে

প্রশ্ন: ১০০ জন লোকের মাঝে ৭২ জন ইংরেজি এবং ৪৩ জন ফ্রেঞ্চ ভাষায় কথা বলতে পারে। কতজন লোক ইংরেজি ও ফ্রেঞ্চ উভয় ভাষায়ই কথা বলতে পারে?

সমাধান:
ধরি,
ইংরেজিতে কথা বলা লোকের সেট A
ফ্রেঞ্চ ভাষায় কথা বলা লোকের সেট B
ইংরেজি ও ফ্রেঞ্চ উভয় ভাষায়ই কথা বলা লোকের সেট A ∩ B

দেওয়া আছে,
n(A) = ৭২       
n(B) = ৪৩     
n(A ∪ B) = ১০০

∴ n(A ∩ B) = n(A) + n(B) - n(A ∪ B)
= ৭২ + ৪৩ - ১০০
= ১১৫ - ১০০
= ১৫

প্রশ্ন: একটি বিশ্রাম রুমে ৫ জন মহিলা এবং ৫ জন পুরুষ আছেন। দৈবভাবে ২ জন প্রার্থী নির্বাচন করলে ২ জনই মহিলা হবার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
৫ জন মহিলা থেকে ২ জন নির্বাচন করার উপায় = ^৫C_২ = ৫!/(৩! × ২!) = ১০
১০ জন লোক থেকে ২ জন নির্বাচন করার উপায় = ^১০C_২ = ১০!/(২! × ৮!) = ৪৫

∴ সম্ভাবনা = ১০/৪৫ = ২/৯

প্রশ্ন: ১ + ৮ + ২৭ + ৬৪ + ............... প্রথম ৮টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
১ + ৮ + ২৭ + ৬৪ + ...............
= ১^৩ + ২^৩ + ৩^৩ + ৪^৩ + ......

আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = [{n(n + ১)}/২]^২
= [{৮(৮ + ১)}/২]^২
= {(৮ × ৯)/২}^২
= ৩৬^২
= ১২৯৬

প্রশ্ন: ১০টি পরীক্ষার খাতা কীভাবে সাজানো যাবে যেন সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন প্রাপ্ত নম্বরের খাতা একত্রে থাকবে না?

সমাধান:
১০টি খাতা সাজানোর উপায় ১০!

সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন প্রাপ্ত নম্বরের খাতা একত্রে থাকলে এদের ১টি খাতা বিবেচনা করে মোট ৯টি খাতা সাজানো যাবে ৯! উপায়ে
এবং খাতা দুটি সাজানো যাবে ২! উপায়ে
∴ সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন প্রাপ্ত নম্বরের খাতা একত্রে থাকলে সাজানো যাবে ৯! × ২! উপায়ে

সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন প্রাপ্ত নম্বরের খাতা একত্রে থাকবে না = ১০! - ৯! × ২! উপায়ে
= ১০ × ৯! - ৯! × ২!
= ৯!(১০ - ২!)
= ৯!(১০ - ২)
= ৯! × ৮
= ৮ × ৯!

প্রশ্ন: দুটি ছক্কা নিক্ষেপ করা হলে যোগফল ১১ আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কা দুইবার নিক্ষেপ করলে মোট ঘটনা = ৬ × ৬ = ৩৬
১১ হওয়ার ঘটনা = {(৫, ৬), (৬, ৫) = ২টি

∴ যোগফল ১১ হওয়ার সম্ভাবনা = ২/৩৬ = ১/১৮

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার p তম পদ 27, q তম পদ 8 এবং s তম পদ 12 হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
একটি গুণোত্তর ধারার p তম পদ 27, q তম পদ 8 এবং s তম পদ 12
ধরি,
ধারার প্রথম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r

∴ ar^{p - 1} = 27 ...… (i)
ar^{q - 1} = 8  ...… (ii)
ar^{s - 1} = 12 ...… (iii)

(i) এবং (ii) হতে পাই, r^{p - q} = 27/8  ....… (iv)

(ii) এবং (iii) হতে পাই, r^{s - q} = 12/8 = 3/2  ...… (v)

(iv) এবং (v) হতে পাই,
(3/2)³ = r^{p - q} এবং (3/2) = r^{s - q}
⇒ r^{3(s - q)} = r^{p - q}
⇒ 3s - 3q = p - q
⇒ 3s = p + 2q
∴ 3s = 2q + p

প্রশ্ন: ৭ জন পুরুষ ও ৬ জন মহিলা থেকে ৫ সদস্য বিশিষ্ট কয়টি কমিটি গঠন করা যাবে যেখানে কমপক্ষে ৩ জন মহিলা থাকবে?

সমাধান:
পুরুষ         মহিলা
২               ৩
১                ৪
০               ৫

১ম ক্ষেত্রে,
^৭C_২ × ^৬C_৩ = ২১ × ২০ = ৪২০

২য় ক্ষেত্রে,
^৭C_১ × ^৬C_৪ = ৭ × ১৫ = ১০৫

৩য় ক্ষেত্রে,
^৬C_৫ = ৬

মোট উপায় = ৪২০ + ১০৫ + ৬ = ৫৩১

প্রশ্ন: যদি J = {2, 4, 6, 8, 10} এবং K = {3, 6, 9, 12} হয়. তাহলে J × K এর উপাদান সংখ্যা কত?

সমাধান:
J = {2, 4, 6, 8, 10} এবং K = {3, 6, 9, 12}

J × K = {2, 4, 6, 8, 10} × {3, 6, 9, 12}
J × K = {(2, 3), (2, 6), (2, 9), (2, 12), (4, 3), (4, 6), (4, 9), (4, 12), (6, 3), (6, 6), (6, 9), (6, 12), (8, 3), (8, 6), (8, 9), (8, 12), (10, 3), (10, 6), (10, 9), (10, 12)}.

∴ J × K এর উপাদান সংখ্যা ২০টি

প্রশ্ন: ২০২৪ সালের নভেম্বর মাসের তৃতীয় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট ৫ দিন। ঐ সপ্তাহে শনিবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
এক সপ্তাহ = ৭ দিন
বৃষ্টি হয়েছে = ৫ দিন

∴ যেকোনো একদিন বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = ৫/৭
অর্থাৎ, শনিবার বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = ৫/৭

∴ শনিবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা= ১ - (৫/৭)
= ২/৭

প্রশ্ন: ২০, ২৫, ৩০, ........., ১৪০ ধারাটিতে মোট কতটি পদ রয়েছে?

সমাধান:
এখানে,
২৫ - ২০ = ৫
৩০ - ২৫ = ৫
∴ ইহা একটি সমান্তর ধারা যার,
প্রথম পদ, a = ২০
সাধারণ অন্তর, d = ৫

ধরি,
ধারার n তম পদ ১৪০
a + (n - ১)d = ১৪০
বা, ২০ + (n - ১) × ৫ = ১৪০
বা, ২০ + ৫n - ৫ = ১৪০
বা, ৫n = ১২৫
∴ n = ২৫

∴ ধারাটিতে মোট ২৫টি পদ রয়েছে।

প্রশ্ন: যদি 5 × ⁿP₃ = 4 × ^{(n + 1)}P₃ হয়, তাহলে n এর মান কত?

সমাধান:
⇒ ⁿP₃ = n × (n - 1) × (n - 2)
⇒ ⁽ⁿ⁺¹⁾P₃ = (n + 1) × n × (n - 1)

এখন,
5 × n × (n - 1) × (n - 2) = 4 × (n + 1) × n × (n - 1)
⇒ 5(n - 2) = 4(n + 1)
⇒ 5n - 10 = 4n + 4
⇒ 5n - 4n = 4 + 10
⇒ n = 14

প্রশ্ন: যদি M = {x | x মৌলিক সংখ্যা এবং x < 20} এবং N = {x | x বিজোড় সংখ্যা এবং x < 10} হয়, তাহলে M ∩ N = কোনটি?

সমাধান:
M = {x | x মৌলিক সংখ্যা এবং x < 20}
∴ M = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}

N = {x | x বিজোড় সংখ্যা এবং x < 10}
∴ N = {1, 3, 5, 7, 9}

∴ M ∩ N = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} ∩ {1, 3, 5, 7, 9}
= {3, 5, 7}

প্রশ্ন: যদি P(C) = 5/13, P(D) = 7/13 এবং P(C ∩ D) = 3/13 হয়, তাহলে P(C|D) এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
আমরা জানি,
P(C|D) = P(C ∩ D)/P(D). (শর্তাধীন সম্ভাবনার সূত্রানুসারে)

P(C|D) = P(C ∩ D)/P(D)
= (3/13)/(7/13)
= 3/7

প্রশ্ন: কোন সমান্তর ধারার প্রথম পদ ও ৩য় পদ যথাক্রমে ৫ এবং ১৫। ধারাটির প্রথম ১৬টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারার ১ম পদ a = ৫
সাধারণ অন্তর = d

∴ ৩য় পদ = a + (৩ - ১)d = ১৫
বা, ৫ + ২d = ১৫
বা, ২d = ১০
∴ d = ৫

∴ ধারাটির প্রথম ১৬টি পদের সমষ্টি = (১৬/২){২ × ৫ + (১৬ - ১) × ৫}
= ৮ × (১০ + ৭৫)
= ৮ × ৮৫
= ৬৮০

প্রশ্ন: ৮ জন বাংলাদেশি, ৪ জন আমেরিকান ও ৪ জন ইংরেজ একটি সারিতে কত উপায়ে বসতে পারবে যেন একই জাতির মানুষ একসাথে বসবে?

সমাধান:
৩টি জাতি জাতিগতভাবে বসতে পারে ৩! উপায়ে।
৮ জন বাংলাদেশি নিজেদের মাঝে বসতে পারে ৮! উপায়ে
৪ জন আমেরিকান নিজেদের মাঝে বসতে পারে ৪! উপায়ে
৪ জন ইংরেজ নিজেদের মাঝে বসতে পারে ৪! উপায়ে

∴ মোট বসার উপায় ৩!৮!৪!৪!

প্রশ্ন: যদি S = {x | x স্বাভাবিক ও পূর্ণবর্গ সংখ্যা এবং x < 100} হয়, তাহলে S এর তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ নিচের কোনটি?

সমাধান:
1² = 1, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 16, 5² = 25, 6² = 36, 7² = 49, 8² = 64, 9² = 81
∴ S = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81}

প্রশ্ন: ১২টি মুক্তা দিয়ে মালা তৈরি করা যাবে কত উপায়ে?

সমাধান:
১২টি মুক্তা দিয়ে মালা তৈরি করা যাবে (১২ - ১)!/২ উপায়ে = ১১!/২ উপায়ে