Math Master

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
অতিভুজ^২ = ভূমি^২ + লম্ব^২
এখানে, অপশন খ) এর ক্ষেত্রে,
১৫^২ = ১২^২ + ৯^২ যা উপরোল্লিখিত শর্ত পূরণ করে।

বর্গটির কর্ণের দৈর্ঘ্য = ১০ সে.মি
∴ এর এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ১০/√২
∴ বর্গের ক্ষেত্রফল = (১০/√২)^২ = ১০০/২ = ৫০ বর্গসে.মি।

AB খুটির পাদবিন্দু B হতে মইয়ের পাদবিন্দু C এর দূরত্ব BC = 9 ফুট।
মইয়ের দৈর্ঘ্য AC = 41 ফুট।
∴ খুটির দৈর্ঘ্য AB = √(AC² - BC²) [পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে]
∴ AB = √(41² - 9²) = 40
∴ বৈদ্যুতিক খুটির দৈর্ঘ্য = 40 ফুট

ধরি,
ভূমি = x মি.
সুতরাং, অতিভুজ = x + 2 মি.
এখানে, লম্ব = 4 মি.

∴ সূত্রানুসারে,
(x + 2)² = x² + 4²
⇒ x² + 4x + 4 = x² + 16
⇒ 4x = 12
⇒ x = 3
∴ অতিভুজ = 3 + 2 = 5 মি.

বাঁশের দৈর্ঘ্য AB = 18 মি.; AC = 8 মি.
BC = CD = 10 মি.
যেহেতু, C বিন্দুতে বাঁশটি ভেঙ্গে যায় এবং এর B শীর্ষবিন্দুটি ভূমিতে ঠেকে D বিন্দুটিতে মিলিত হয়,
সেহেতু, ACD একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি হয়।
ΔACD - এ
AD² = CD² - AC²
AD² = 10² - 8² = 6²
∴ AD = 6

মইয়ের উচ্চতা AB = 9 মি.
স্লিপারের দৈর্ঘ্য BC = 15 মি.
দৌড়ে যাওয়া দূরত্ব AC = ?
চিত্রানুসারে,
AC = √(BC² - AB²)
     = √(15² - 9²)
     = √144
     = 12

উত্তর - পূর্ব দিকে OA = 130 কি.মি [O জাহাজের অবস্থান]
দক্ষিণ দিকে AB = 120 কি.মি
∴ পূূর্বদিকে জাহাজ থেকে স্পিডবোটের দূরত্ব OB =?
চিত্রানুসারে,
OB = √(OA² - AB²)
     = √(130² - 120²)
     = √2500
     = 50 কি.মি

ব্যাস 2r হলে, পরিধি = 2Πr
আবার, বৃত্তের ব্যাস 20r হলে, পরিধি হবে 20Πr
∴ 20Πr/2Πr = 10
অর্থ্যাৎ, 10 গুণ বৃদ্ধি পেয়েছে।

বৃত্তের সমীকরণের বৈশিষ্ঠ্যঃ
১. x  ও y - এর দ্বিঘাত সমীকরণ।
২. x²  এর সহগ = y² এর সহগ
৩. xy সম্বলিত পদ অনুপস্থিত।
প্রশ্নের অপশন ক) বৃত্তের সমীকরণের সবগুলো শর্ত পুরণ করে।
তাই অপশন ক) সঠিক উত্তর।

এখানে,
ব্যাসার্ধ (r) = 9
∴ ক্ষেত্রফল = Πr² = 81Π

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত দুটি কোণের সমষ্টি = 180°
∴ একটি কোণ A হলে, অপরটি = 180° - A

বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হলে,
এর বৃহত্তম জ্যা বা ব্যাস = 2r
ব্যাস ও ব্যাসার্ধের অনুপাত = 2r : r = 2:1

বৃত্তের স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
∴ কোনটি 90°।

|x + iy + 7| = 5 [এখানে, i = complex number ]
⇒ |(x + 7) + iy| = 5
⇒ √{(x + 7)²+ y²} = 5²
⇒ (x + 7)² + y² = 5²
এখানে, কেন্দ্র (-7, 0) ও 5 হচ্ছে বৃত্তের ব্যাসার্ধ।

ব্যাসার্ধদ্বয়ের অনুপাত = 4 : 6
                          = 2 : 3
ধরি, ব্যাসার্ধদ্বয় যথাক্রমে, 2r ও 3r.
∴ ক্ষেত্রফল যথাক্রমে, π(2r)² এবং π(3r)²
                         = 4πr² এবং 9πr²

∴ ক্ষেত্রফলের অনুপাত = 4πr² : 9πr²
                             = 4:9

সুষম ষড়ভূজের মোট কোণের পরিমাণ = 180°× (n - 2)
                                               = 180°× (6 - 2)
                                               = 720°

বহুভূজের একপ্রান্ত বা শীর্ষ হতে অঙ্কিত ত্রিভুজ সংখ্যা = (n - 2)
এখানে সপ্তভূজ হওয়ায়, n = 7
∴ অঙ্কিত ত্রিভুজ সংখ্যা হবে = 7 - 2 = 5