ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

প্রশ্ন: 'ARMOUR' শব্দের বর্ণগুলোর বিন্যাস সংখ্যা কত?

সমাধান:
'ARMOUR' শব্দটিতে মোট বর্ণ সংখ্যা = 6 টি।
এর মধ্যে R আছে 2 টি এবং বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন।

∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 6!/2!
= 360

প্রশ্ন: একটি অনুষ্ঠানে কিছু লোক উপস্থিত ছিল। তারা কেবল একজন মাত্র একজনের সাথে একবার করমর্দন করতে পারবে। যদি করমর্দনের সংখ্যা 55 হয়, তাহলে ঐ অনুষ্ঠানে কতজন লোক ছিল?

সমাধান:
ধরি,
ঐ অনুষ্ঠানে n সংখ্যক লোক উপস্থিত ছিল।

প্রশ্নমতে,
ⁿC₂ = 55
⇒ n(n - 1)/2 = 55
⇒ n(n - 1) = 110
⇒ n² - n - 110 = 0
⇒ n² - 11n + 10n - 110 = 0
⇒ n(n - 11) + 10(n - 11) = 0
⇒ (n + 10)(n - 11) = 0

n = 11 [-10 ঋণাত্মক তাই গ্রহণযোগ্য নয়]
∴ ঐ অনুষ্ঠানে 11 জন লোক ছিল।

প্রশ্ন: NUMBERS শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা AMERICA শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
'AMERICA' শব্দটিতে মোট ৭টি বর্ণ আছে যাদের ২ টি E
'AMERICA' শব্দটির বর্ণগুলোর বিন্যাস সংখ্যা = ৭!/২!
= ২৫২০

'NUMBERS' শব্দটিতে মোট ৭টি বর্ণ আছে যাদের প্রত্যেকটি ভিন্ন ভিন্ন।
'NUMBERS' শব্দটির বর্ণগুলোর বিন্যাস সংখ্যাযাস৭!
= ৫০৪০
= ২ × ২৫২০

অতএব, NUMBERS শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা AMERICA শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার দ্বিগুণ।

প্রশ্ন: ⁵C₄ + ⁵C₃ + ⁶C₃ = কত?

সমাধান:
⁵C₄ + ⁵C₃ + ⁶C₃
= ⁶C₄ + ⁶C₃  [যেহেতু ⁿC_r + ⁿC_{r - 1} = ^{n + 1}C_r]
= ⁷C₄
= 35

প্রশ্ন: ORANGE শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে সবকয়টি বর্ণকে সাজানোর উপায়-

সমাধান:
ORANGE শব্দটির মধ্যে মোট বর্ণ 6টি; এর মধ্যে 3টি স্বরবর্ণ।
স্বরবর্ণগুলো একত্রে ১টি ধরলে মোট বর্ণ হয় 4 টি।
4 টি বর্ণ সাজানোর উপায় = 4!

আবার স্বরবর্ণ তিনটিকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় 3! উপায়ে
∴ স্বরবর্ণগুলো একত্রে রেখে সবগুলো বর্ণ সাজানোর উপায় = 4! × 3!
= 144

প্রশ্ন: 16 টি বিন্দু ‍দিয়ে কতগুলো চতুর্ভূজ গঠন করা যায়?

সমাধান:
চারটি বিন্দু দিয়ে গঠিত হয় চতুর্ভূজ।

∴ 16 টি বিন্দু ‍দিয়ে চতুর্ভূজ গঠন করা যায় = ¹⁶C₄
= 1820

প্রশ্ন: 'FLOWERS' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতকগুলো বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করা যায়, যেন প্রত্যেক বিন্যাসের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকে?

সমাধান:
'FLOWERS' শব্দটিতে মোট বর্ণ 7টি। তন্মধ্যে 2টি স্বরবর্ণ (O, E) ও 5টি ব্যাঞ্জনবর্ণ।

O, E স্বরবর্ণ থেকে প্রথম স্থান পূরণের উপায় = ²P₁ = 2
অবশিষ্ট 6টি বর্ণ দ্বারা 6টি স্থান পূরণের উপায় = 6! = 720
∴ নির্ণেয় বিন্যাস = 2 × 720 = 1440

প্রশ্ন: 5 টি পোস্ট বাক্সে 7 টি চিঠি কতভাবে ফেলা যায়?

সমাধান:
পোস্ট বাক্সের সংখ্যা n = 5 টি
চিঠির সংখ্যা r =7 টি

চিঠি ফেলা যায় = (পোস্ট বক্স)^চিঠি
= n^r
= 5⁷

প্রশ্ন: 'BACKDROP' শব্দটি হতে প্রতিবারে তিনটি করে অক্ষর নিয়ে কতভাবে বিন্যস্ত করা যাবে যেখানে C, R থাকবে না?

সমাধান:
BACKDROP শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8টি।
যেহেতু, C, R থাকবেনা তাই মোট বর্ণ হবে = 6 টি

∴ প্রতিবারে 3টি করে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = ⁶P₃
= 120

প্রশ্ন: BANANA শব্দটিকে কত ভাবে সাজানো যাবে যাতে A গুলো একসাথে থাকবে না?

সমাধান:
BANANA শব্দে মোট অক্ষর 6টি, যেখানে A আছে 3টি এবং N আছে 2টি।
BANANA কে সাজানো যাবে = 6!/3!2! = 60 ভাবে

A গুলোকে একসাথে একটি অক্ষর হিসাবে বিবেচনা করলে বাকী অক্ষর হবে 4টি: B, N, N এবং AAA।

সাজানোর সংখ্যা হবে = 4!/2! = 12 ভাবে

∴A গুলো একসাথে না রেখে সাজানোর সংখ্যা = 60 - 12 = 48

প্রশ্ন: 3 × ⁿP₄ = ⁿP₅ হলে n এর মান কত?

সমাধান: 
3 × ⁿP₄ = ⁿP₅
⇒ 3 × n!/(n - 4)! = n!/(n - 5)!
⇒ 3 × n!/{(n - 4) × (n - 5)!} = n!/(n - 5)!
⇒ 3/(n - 4)  = 1
⇒ n - 4 = 3
∴ n = 7

প্রশ্ন: সাত বাহুবিশিষ্ট বহুভুজে কতটি কর্ণ আছে?

সমাধান:
n বাহুবিশিষ্ট বহুভুজে কর্ণ আছে = ⁿC₂ - n

সাত বাহুবিশিষ্ট বহুভুজে কর্ণ আছে = ⁷C₂ - 7
= 21 - 7
= 14

প্রশ্ন: প্রত্যেক সংখ্যায় প্রত্যেক অংক কেবলমাত্র একবার ব্যবহার করে ০, ১, ২, ৩, ৪, ৫ ও ৬ অংকগুলো দিয়ে কতগুলো অর্থপূর্ণ চার অংকের সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
চার অঙ্কবিশিষ্ট পূর্ণসংখ্যা = ⁷P₄ = 840
0 প্রথমে থাকলে গঠিত সংখ্যা অর্থপূর্ণ হয় না এরূপ সংখ্যা = ⁶P₃ = 120

∴ অর্থপূর্ণ চার অংকের সংখ্যা গঠন করা যাবে = 840 - 120 টি
= 720 টি

প্রশ্ন: 12 টি বইয়ের মধ্যে 3 টি বই কতভাবে বাছাই করা যায়, যাতে নির্দিষ্ট 3 টি বই সর্বদা বাদ থাকে?

সমাধান:  
নির্দিষ্ট দুইটি বই সর্বদা বাদ থাকে, অতএব (12 - 3) বা 9 টি থেকে 3 টি বাছাই করতে হবে।

∴ বাছাই করার উপায় = ⁹C₃
= 84 ভাবে

প্রশ্ন: ৫ জন বালক ও ৪ জন বালিকার একটি দল থেকে দুইজন বালক ও দুইজন বালিকা নিয়ে কত প্রকারে একটি দল গঠন করা যাবে?

সমাধান:
৫ জন বালক ও ৪ জন বালিকার একটি দল থেকে দুইজন বালক ও দুইজন বালিকা নিয়ে কমিটি গঠনের উপায়,
= ^৫C_২ × ^৪C_২
= ১০ × ৬
= ৬০ উপায়ে

প্রশ্ন: ৪ জন বালক এবং ৪ জন বালিকা গোলটেবিলে খেতে বসলে তারা কত উপায়ে বসতে পারে যেন দুই বালক-বালিকা পাশাপাশি না বসে?

সমাধান:
একজন বালককে স্থির রেখে বাকী তিনজনকে বিন্যাস করা যায় = ৩!
চারজন বালিকাকে বিন্যাস করা যায় = ৪!

∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = ৩! × ৪!
=  ৬ × ২৪
= ১৪৪

প্রশ্ন: স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে 'POLAND' শব্দটিকে কতভাবে বিন্যস্ত করা যায়?

সমাধান:
“POLAND" শব্দটিতে মোট বর্ণ 6টি যেখানে সবগুলো বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন এবং স্বরবর্ণ 2টি।
6টি বর্ণকে সাজানো যায় = 6! = 720

স্বরবর্ণ দুটিকে একটি ধরে মোট ভিন্ন বর্ণ 5টি
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!
স্বরবর্ণ দুটিকে সাজানো যায় = 2!

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে বিন্যাস = 5! × 2!
= 120 × 2
= 240

∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে বিন্যাস = 720 - 240
= 480

প্রশ্ন: পাহাড়পুর থেকে কালিয়াপুর যেতে ৪ টি পৃথক পথ আছে এবং কালিয়াপুর থেকে রাজগঞ্জ যেতে ৫ টি পৃথক পথ আছে। সামি কত প্রকারে পাহাড়পুর থেকে কালিয়াপুর হয়ে রাজগঞ্জ যেতে পারবে?

সমাধান:
সামি পাহাড়পুর থেকে কালিয়াপুর হয়ে রাজগঞ্জ যেতে পারবে = ৪ × ৫ উপায়ে
= ২০ উপায়ে

প্রশ্ন: এক জন ছাত্রের কোন পরীক্ষায় 12টি প্রশ্ন হতে 7টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হয়। তাকে প্রথম 5টি প্রশ্ন হতে ঠিক 3টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হয়। কতভাবে সে প্রশ্নগুলোর উত্তর দিতে পারবে? 

সমাধান:
5টি প্রশ্ন থেকে 3টি প্রশ্ন বাছাই করা যায় = ⁵C₃
∴7টি প্রশ্ন থেকে 4টি প্রশ্ন বাছাই করা যায় = ⁷C₄
∴প্রশ্ন বাছাই করা যায়  = ⁵C₃ × ⁷C₄
= 10 × 35 উপায়ে
= 350 উপায়ে

প্রশ্ন: চাকুরির নিয়োগ পরীক্ষায় 2টি খালি পদের জন্য 10 জন প্রার্থী আছেন। খালি পদের সংখ্যা বেশি নয় এরুপ যে কোনো সংখ্যক প্রার্থীকে নির্বাচিত করা যেতে পারে। কত প্রকারে প্রার্থী নির্বাচন করা যায়?

সমাধান:
2 টি খালি পদের জন্য প্রার্থী সংখ্যা 10 জন
1 জনকে নির্বাচনের উপায় = ¹⁰C₁ = 10
2 জনকে নির্বাচনের উপায় = ¹⁰C₂ = 45

∴ নির্বাচনের মোট উপায় = 10 + 45
= 55

প্রশ্ন: 11 সদস্য বিশিষ্ট একটি ক্রিকেট দল হতে একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে? 

সমাধান:
11 জন থেকে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ¹¹C₁ = 11 উপায়ে
11 জন থেকে 1 জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ¹⁰C₁ = 10 উপায়ে

∴ বাছাই সংখ্যা = 11 × 10 = 110

প্রশ্ন: 8 জনের একটি গোল টেবিল বৈঠকে সদস্যগণ কতভাবে বসতে পারে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে নিয়ে বৈঠক করা যায় = (n - 1)!

∴ 7 জনকে নিয়ে বৈঠক করা যায় = (8 - 1)!
= 7!
= 5040

প্রশ্ন: যদি ⁵P_r = 60 এবং ⁵C_r = 10 হয় তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ⁿP_r = n!/(n - r)!
এবং ⁿC_r = n!/(n - r)!r!
ⁿC_r = {n!/(n - r)!} × (1/r!)
⇒ ⁿC_r = ⁿP_r × (1/r!)
⇒ ⁵C_r = ⁵P_r × (1/r!)
⇒ ⁵P_r = ⁵C_r × r!
⇒ 60 = 10 × r!
⇒ r! = 6
⇒ r! = 3!
∴ r = 3

প্রশ্ন: তানভীরের 4 জন বন্ধু আছে। সে এক বা একাধিক বন্ধুকে কত উপায়ে প্রীতিভোজে নিমন্ত্রণ করতে পারে?

সমাধান: 
1 জনকে নিমন্ত্রণ করতে চাইলে তিনি ⁴C₁ উপায়ে করতে পারেন। 
2 জনকে নিমন্ত্রণ করতে চাইলে তিনি ⁴C₂ উপায়ে করতে পারেন। 
3 জনকে নিমন্ত্রণ করতে চাইলে তিনি ⁴C₃ উপায়ে করতে পারেন। 
4 জনকে নিমন্ত্রণ করতে চাইলে তিনি ⁴C₄ উপায়ে করতে পারেন। 
 
∴ মোট উপায় সংখ্যা = ⁴C₁ + ⁴C₂+ ⁴C₃ + ⁴C₄
= 4 + 6 + 4 + 1
= 15

প্রশ্ন: প্রত্যেক সংখ্যায় প্রত্যেক অংক কেবলমাত্র একবার ব্যবহার করে 0, 1, 2, 3, 4, 5 ও 6 অংকগুলো দিয়ে কতগুলো অর্থপূর্ণ চার অংকের সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
চার অঙ্কবিশিষ্ট পূর্ণসংখ্যা = ⁷P₄ = 840
0 প্রথমে থাকলে গঠিত সংখ্যা অর্থপূর্ণ হয় না এরূপ সংখ্যা = ⁶P₃ = 120

∴ অর্থপূর্ণ চার অংকের সংখ্যা গঠন করা যাবে = 840 - 120 টি
= 720 টি