১.
Which is the formula for finding the value f(z) at the point z = a? (z = a বিন্দুতে f(z) এর মান নির্ণয়ের ফর্মূলা কোনটি?)
৪৯তম বিসিএস ⎯ গণিত [৫৫১]
মোট প্রশ্ন৩৯
সিলেবাস
Exam - 15
Topics:
1. Cauchy’ theorem and Chuchy’s integral formula, Taylor and Laurent. expansions.
2. Singularities, poles and residues.
3. Cauchy’s residue theorem, Evaluation of definite integral.
[Source: Class - 15 and Relevant Books]
৪৯তম বিসিএস ⎯ গণিত [৫৫১]
৪৯তম বিসিএস ⎯ গণিত [৫৫১] · তারিখ অনির্ধারিত · ৩৯ প্রশ্ন
২.
Which is the formula for finding the value fn(a) at the point z = a? (z = a বিন্দুতে fn(a) এর মান নির্ণয়ের ফর্মূলা?)
ব্যাখ্যা
৩.
Which theorem is known as the converse (বিপরীত) of Cauchy’s theorem?
ব্যাখ্যা
Morera’s theorem is known as the converse (বিপরীত) of Cauchy’s theorem.
৪.
If for all z in the entire complex plane, (i) f(z) is analytic and (ii) f(z) is bounded then f(z)? (যদি z এর সকল মানের জন্য সমগ্র জটিল তলে (i) f(z) বৈশ্লেষিক হয় এবং (ii) f(z) সীমায়িত হয়, তবে f(z)?)
ব্যাখ্যা
Liouville’s theorem: If for all z in the entire complex plane, (i) f(z) is analytic and (ii) f(z) is bounded then f(z) must be constant.
৫.
If f(Z) be analytic inside and on a simple closed curve C and is not identically equal to a constant. Then the maximum value of Ι f(z) Ι occurs on C is called-?. (যদি একটি সরল আবদ্ধ বক্ররেখা C এর অভ্যন্তরে ও উপরে সকল বিন্দুতে f(z) ফাংশনটি বৈশ্লেষিক এবং কোনো ধ্রুবকের সমান নয়। তাহলে f(z) এর সর্বেোচ্চ মান প্রদানকারী বিন্দুটি C এর উপরে অবস্থান করবে। উপপাদ্যটি কার?)
ব্যাখ্যা
Maximum Modulus theorem: If f(Z) be analytic inside and on a simple closed curve C and is not identically equal to a constant. Then the maximum value of Ι f(z) Ι occurs on C .
৬.
When the point z = a is inside of C, then the value of ? (যদি z = a বিন্দুটি C এর ভিতরে থাকে তবে এর মান কত?)
ব্যাখ্যা
(i) যদি z = a বিন্দুটি C এর ভিতরে থাকে তবে মান = 2πi
(ii) যদি z = a বিন্দুটি C এর বাহিরে থাকে তবে মান = 0
৭.
When the point z = a is outside of C, then the Value of ? (যদি z = a বিন্দুটি C এর বাহিরে থাকে তবে এর মান কত?)
ব্যাখ্যা
(i) যদি z = a বিন্দুটি C এর ভিতরে থাকে তবে মান = 2πi
(ii) যদি z = a বিন্দুটি C এর বাহিরে থাকে তবে মান = 0
৮.
Winding number is represented? (কোনটি দ্বারা ঘূর্ণন সংখ্যা প্রকাশ করা হয়?)
ব্যাখ্যা
জটিল তল C এর উপর γ একটি আবদ্ধ পথ এবং z ঐ তলের একটি বিন্দু যা γ পথের উপর অবস্থিত নয়। এক্ষেত্রে z এর চারদিকে γ যতবার আবর্তন করে সে সংখ্যাকে z এর সাপেক্ষে γ এর ঘূর্ণন সংখ্যা বলা হয়। ঘূর্ণন সংখ্যা যোগজ দ্বারা প্রদত্ত হয়।
৯.
What is the value of ? When |z| = 1
ব্যাখ্যা
z = 2
∴ |z| = |2| = 2 > 1
∴ z = 2, |z| = 1 বৃত্তের বাহিরে অবস্থিত। তাই
১০.
What is the value of ? When |z| = 3
ব্যাখ্যা
z = a = 2
∴ |z| = |2| = 2 < 3
∴ z = 2, |z| = 3 বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত। তাই
১১.
What is the value of ? When |z - 1| = 4
ব্যাখ্যা
z = a = πi
∴ |z| = |πi| = 3.1416 < 4
∴ z = πi , |z - 1| = 4 বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত। তাই
১২.
ব্যাখ্যা
|0| = 0; |4| = 4
এখানে z = 0, C এর ভিতরে অবস্থিত এবং z = 4 , C এর বাহিরে অবস্থিত।
১৩.
Which is Green’s theorem? (গ্রীণের উপপাদ্য কোনটি?)
ব্যাখ্যা
is called Green’s theorem.
১৪.
If f(z) and g(z) are analytic inside and on a simple closed curve C and if |g(z)| < |f(z)| on C. Then f(z) + g(z) and f(z) have the same number of zeros inside C’ is called- ?
(যদি f(z) ও g(z) একটি সাধারণ বদ্ধ বক্ররেখা C এর ভিতর ও উপর বৈশ্লেষিক হয় এবং C এর উপর যদি |g(z)| < |f(z)| হয়, তবে C’ এর ভিতর f(z) + g(z) ও f(z) এর একই সংখ্যক শূণ্য থাকবে, প্রদত্ত উপপাদ্যটি কার?)
(যদি f(z) ও g(z) একটি সাধারণ বদ্ধ বক্ররেখা C এর ভিতর ও উপর বৈশ্লেষিক হয় এবং C এর উপর যদি |g(z)| < |f(z)| হয়, তবে C’ এর ভিতর f(z) + g(z) ও f(z) এর একই সংখ্যক শূণ্য থাকবে, প্রদত্ত উপপাদ্যটি কার?)
ব্যাখ্যা
If f(z) and g(z) are analytic inside and on a simple closed curve C and if |g(z)| < |f(z)| on C. Then f(z) + g(z) and f(z) have the same number of zeros inside C’ is called Riuche,s theorem.
১৫.
What is the singularities (ব্যতিচারবিন্দু) of the function
ব্যাখ্যা
f(z) = 1/z(ez - 1)
⇒ z(ez - 1) = 0
⇒ z = 0 or, (ez - 1) = 0
⇒ ez = 1 = cos2nπ + i sin2nπ = ei2nπ
⇒ z = i2nπ
১৬.
What is the singularities (ব্যতিচারবিন্দু) of the function
ব্যাখ্যা
f(z) = (z8 + z4 + 2) / (z - 1)3 (3z + 2)2
⇒ (z - 1)3 (3z + 2)2 = 0
⇒ z = 1, 1, 1 or, z = - 2/3, - 2/3
So singularities 1, - 2/3
১৭.
Which is the polar form of Cauchy-Riemann partial equation?
ব্যাখ্যা
The polar form of Cauchy-Riemann partial equation is and
১৮.
What is meant by a Singular point?( ব্যাতিচার বিন্দু বলতে কী বোঝায়?)
ব্যাখ্যা
A singular point is a point where a function fails to be analytic.
১৯.
Which one is a removable singularity?
ব্যাখ্যা
At can be defined as 1, so it’s removal.
২০.
What is a simple pole?
ব্যাখ্যা
a simple pole means a pole of order 1
২১.
What is the singularity of
ব্যাখ্যা
Denominator has second power. So pole order 2
২২.
How can the order of a pole be determined? (পোল এর order কিভাবে নির্ধারণ করা হয়?)
ব্যাখ্যা
order of pole = highest negative power in Laurent series.
২৩.
Residue theorem is generally used to evaluate which?
ব্যাখ্যা
Residue theorem helps evaluate real Improper integrals by contur integration.
২৪.
What is the value of ? Where C denotes the square whose sides lie along the lines x = ± 2, y = ± 2 described in the positive sense
ব্যাখ্যা
Since C denotes the square whose sides lie along the lines x = ± 2, y = ± 2 described in the positive sense. So the Vertices of square (2, 2), (2, - 2), (- 2, 2), (- 2, - 2)
∴
⇒ z(z2 + 9) = 0
⇒ z = 0, ± 3i
∴ পোলগুলো = 0, ± 3i
এখানে শুধু 0 পোল বর্গের ভিতর অবস্থিত । তাই z = 0 এ অবশেষ
অতএর কসির অবশেষ উপপাদ্য দ্বারা পাই,
২৫.
Which is the right series of f(z) = 1/(z - 3); |z| < 3?
ব্যাখ্যা
২৬.
Which is the right series of f(z) = 1/(z - 3) ; |z| > 3 ?
ব্যাখ্যা
২৭.
Which is the right series of f(z) = - 3/(z + 2) ; 1 < |z| < 2 ?
ব্যাখ্যা
২৮.
The point at which a complex function is analytic is called?
ব্যাখ্যা
The point at which a complex function is analytic is called Regular point.
২৯.
The point at which a complex function is not analytic is called?
ব্যাখ্যা
The point at which a complex function is not analytic is called Singular point.
৩০.
Which of the equation is not analytic anywhere?
ব্যাখ্যা
|z|2 = x2 + y2
So the Cauchy-Riemann is failed. So it is not analytic anywhere.
৩১.
A Pole (পোল) of a function is?
ব্যাখ্যা
A Pole (পোল) of a function is a type of a Singular point.
৩২.
If f(z) is analytic everywhere, it is called?
ব্যাখ্যা
If f(z) is analytic everywhere, it is called Entire function
৩৩.
If f(z) = sinz/z , what is nature of point z = 0?
ব্যাখ্যা
৩৪.
If f(z) is analytic and f′(z) = 0 everywhere, then f(z) is ?
ব্যাখ্যা
If the derivative of an analytic function is zero everywhere, the function is constant.
৩৫.
If a singularity is essential, how many terms are in the principal part of its Laurent series?
ব্যাখ্যা
If a singularity is essential, infinite terms are in the principal part of its Laurent series
৩৬.
Residue of f(z) = 1/z at z = 0 is?
ব্যাখ্যা
For a simple pole z = 0 , residue
৩৭.
Residue of f(z) = 1/(z2 + 1) at z = i is?
ব্যাখ্যা
৩৮.
Residue of at z = 2 is?
ব্যাখ্যা
৩৯.
Residue of at z = 2 is ?