৪৯তম বিসিএস ⎯ গণিত [৫৫১]

Morera’s theorem is known as the converse (বিপরীত) of Cauchy’s theorem.

Liouville’s theorem: If for all z in the entire complex plane, (i) f(z) is analytic and (ii) f(z) is bounded then f(z) must be constant.

Maximum Modulus theorem: If f(Z) be analytic inside and on a simple closed curve C and is not identically equal to a constant. Then the maximum value of Ι f(z) Ι occurs on C .

(i) যদি z = a বিন্দুটি C এর ভিতরে থাকে তবে মান = 2πi                    

(ii) যদি z = a বিন্দুটি C এর বাহিরে থাকে তবে মান = 0

(i) যদি z = a বিন্দুটি C এর ভিতরে থাকে তবে মান = 2πi                    

(ii) যদি z = a বিন্দুটি C এর বাহিরে থাকে তবে মান = 0 

জটিল তল C এর উপর γ একটি আবদ্ধ পথ এবং z ঐ তলের একটি বিন্দু যা γ পথের উপর অবস্থিত নয়। এক্ষেত্রে z এর চারদিকে γ যতবার আবর্তন করে সে সংখ্যাকে z এর সাপেক্ষে γ এর ঘূর্ণন সংখ্যা বলা হয়। ঘূর্ণন সংখ্যা যোগজ দ্বারা প্রদত্ত হয়।

z = 2  
∴ |z| = |2| = 2 > 1

∴ z = 2, |z| = 1 বৃত্তের বাহিরে অবস্থিত। তাই

z = a = 2  
∴ |z| = |2| = 2 < 3

∴ z = 2, |z| = 3 বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত। তাই
 

z = a = πi
∴ |z| = |πi| = 3.1416 < 4

∴ z = πi , |z - 1| = 4 বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত। তাই

|0| = 0; |4| = 4
এখানে z = 0, C এর ভিতরে অবস্থিত এবং z = 4 , C এর বাহিরে অবস্থিত।

is called Green’s theorem. 

If f(z) and g(z) are analytic inside and on a simple closed curve C and if |g(z)| < |f(z)| on C. Then f(z) + g(z) and f(z) have the same number of zeros inside C’ is called Riuche,s theorem.

f(z) = 1/z(e^z - 1)
⇒ z(e^z - 1) = 0
⇒ z = 0 or, (e^z - 1) = 0
⇒ e^z = 1 = cos2nπ + i sin2nπ = e^i2nπ
⇒ z = i2nπ

f(z) = (z⁸ + z⁴ + 2) / (z - 1)³ (3z + 2)²
⇒ (z - 1)³ (3z + 2)² = 0
⇒ z = 1, 1, 1  or, z = - 2/3, - 2/3

So singularities 1, - 2/3

The polar form of Cauchy-Riemann partial equation is   and  
 

A singular point is a point where a function fails to be analytic.

At can be defined as 1, so it’s removal.

a simple pole means a pole of order 1

Denominator has second power. So pole order 2

order of pole = highest negative power in Laurent series.

Residue theorem helps evaluate real Improper integrals by contur integration.

Since C denotes the square whose sides lie along the lines x = ± 2, y = ± 2 described in the positive sense. So the Vertices  of square (2, 2), (2, - 2), (- 2, 2), (- 2, - 2)

∴  
⇒ z(z² + 9) = 0
⇒ z = 0, ± 3i
∴ পোলগুলো = 0, ± 3i

এখানে শুধু 0 পোল বর্গের ভিতর অবস্থিত ।  তাই z = 0 এ অবশেষ
 অতএর কসির অবশেষ উপপাদ্য দ্বারা পাই,

The point at which a complex function is analytic is called Regular point.

The point at which a complex function is not analytic is called Singular point.

|z|² = x² + y²
So the Cauchy-Riemann is failed. So it is not analytic anywhere.

A Pole (পোল) of a function is a type of a Singular point.

If f(z) is analytic everywhere, it is called Entire function

If the derivative of an analytic function is zero everywhere, the function is constant.

If a singularity is essential, infinite terms are in the principal part of its Laurent series

For a simple pole z = 0 , residue