৪৫ দিনে ৫০তম বিসিএস প্রস্তুতি [বিষয়ভিত্তিক] - Archived

প্রশ্ন: নিম্নের সেটটি তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করুন:
A = {x : x একটি স্বাভাবিক সংখ্যা এবং x² - 9x + 20 = 0} 

সমাধান: 
x² - 9x + 20 = 0
⇒ x² - 4x - 5x + 20 = 0
⇒ x(x - 4) - 5(x - 4) = 0
⇒ (x - 4)(x - 5)
∴ x = 4, 5
যেহেতু x একটি স্বাভাবিক সংখ্যা, এবং 4 ও 5 উভয়ই স্বাভাবিক সংখ্যা, তাই,

∴ নির্ণেয় সেট = {4, 5}

প্রশ্ন: একটি পূর্ণ তাসের প্যাকেট থেকে দৈবভাবে একটি তাস তোলা হলো। তাসটি কালো অথবা রানী হওয়ার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান:
ধরি,
তাসটি কালো হবার সম্ভাবনা, P(B) = 26/52 
তাসটি রানী হবার সম্ভাবনা, P(Q) = 4/52 
∴ তাসটি কালো অথবা রানী হবার সম্ভাবনা, P(B ∩ Q) = 2/52 

∴ তাসটি কালো অথবা রানী হবার সম্ভাবনা, P(B ∪ Q) = P(B) + P(Q) - P(B ∩ Q) 
= (26/52) + (4/52) - (2/52)
= (26 + 4 - 2)/52
= 28/52
= 7/13

প্রশ্ন: 'MONKEY' শব্দটির অক্ষরগুলোকে কতভাবে সাজানো যেতে পারে, যদি সব স্বরবর্ণ (O, E) একসাথে থাকে? 

সমাধান: 
MONKEY শব্দটির মোট অক্ষর আছে = 6 টি (M, O, N, K, E, Y)
স্বরবর্ণ আছে = 2 টি (O, E)
ব্যঞ্জনবর্ণ আছে = 4 টি (M, N, K, Y) 

এখন, 
স্বরবর্ণগুলোকে সাজানো যাবে = 2!
= 2 ভাবে। 

আবার, 
স্বরবর্ণ (O, E)গুলোকে একত্রে ধরলে অক্ষর হয় = OE, M, N, K, Y
এই 5টি বর্ণকে সাজানো যাবে = 5!
= 120 ভাবে 

∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট বিন্যাস = (120 × 2)
= 240

প্রশ্ন: ৪ + ৭ + ১০ + .............. + ৭৩ ধারাটির পদসংখ্যা কত? 

সমাধান: 
এখানে, 
ধারাটির প্রথম পদ = ৪
ধারাটির শেষ পদ = ৭৩
ধারাটির সাধারন অন্তর = ৭ - ৪ = ৩ 

∴ পদসংখ্যা = {(শেষ পদ - প্রথম পদ)/সাধারন অন্তর} + ১ 
= {(৭৩ - ৪)/৩} + ১ 
= {(৬৯)/৩} + ১ 
= ২৩ + ১ 
= ২৪

∴ ধারাটিতে মোট ২৪টি পদ আছে।

প্রশ্ন: sinθ এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
sinθ  এর মান সর্বদা -1 থেকে +1 এর মধ্যে থাকে।

প্রশ্ন: A = {p, q, r, s, t, u} হলে, এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
এখানে,
A সেটের মোট উপাদান = 6
A সেটের সর্বমোট উপসেট = 2⁶ = 64

∴ প্রকৃত উপসেট = 64 - 1
= 63

প্রশ্ন: যদি ⁹P_r​ = 3024 হয়, তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ ⁹P_r​ = 3024
⇒ 9!/(9 - r)! = 3024
⇒ (9 - r)! = 9!/3024
⇒ (9 - r)! = (9 × 8 × 7 × 6 × 5!)/(6 × 7 × 8 × 9)
⇒ (9 - r)! = 5!
⇒ 9 - r = 5
⇒ r = 9 - 5
∴ r = 4

প্রশ্ন: একটি মুদ্রা পরপর ৪ বার নিক্ষেপ করা হলো। এই পরীক্ষায় ঠিক দুইবার হেড (H) এবং দুইবার টেইল (T) আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
তিন বার নিক্ষেপ করা হলে নমুনা ক্ষেত্র হবে = {H H H H, H H H T, H H T H, H H T T, H T H H, H T H T, H T T H, H T T T, T H H H, T H H T,
T H T H, T H T T, T T H H, T T H T, T T T H, T T T T} 
∴ মোট সম্ভাব্য ফলাফল = ১৬ টি 

এখানে, 
দুইবার হেড এবং দুইবার টেইল আসে এমন ঘটনা = (H H T T, H T H T, H T T H, T H H T, T H T H, T T H H} 
∴ মোট অনুকূল ফলাফল = ৬ টি 

∴ দুইবার হেড(H) এবং দুইবার টেইল(T) আসার সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফল​/মোট সম্ভাব্য ফলাফল 
= ৬/১৬ = ৩/৮

প্রশ্ন: 5 জন পুরুষ ও 5 জন মহিলা হতে কতভাবে 4 সদস্য বিশিষ্ট কমিটি গঠন করা যাবে যেখানে ন্যূনতম পক্ষে 2 জন পুরুষ ও 2 জন মহিলা থাকবে?

সমাধান:
5 জন পুরুষ হতে ন্যূনতম পক্ষে 2 জন পুরুষ বেছে নেয়ার উপায় = ⁵C₂ = 10
5 জন মহিলা হতে ন্যূনতম পক্ষে 2জন মহিলা বেছে নেয়ার উপায় = ⁵C₂ = 10

∴ 4 সদস্য বিশিষ্ট কমিটি গঠন করার মোট উপায় = 10 × 10 = 100

প্রশ্ন: 1 + 3 + 5 +⋯+ (2n - 1) =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ = 1
শেষ পদ = 2n - 1
সাধারণ অন্তর = 3 - 1 = 2

∴ পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(2n - 1 - 1)/2} + 1
= (2n - 2 + 2)/2
= 2n/2 = n

∴ নির্ণয়ে সমষ্টি = {(শেষ পদ + ১ম পদ)/২} × পদ সংখ্যা
= {(2n - 1 + 1)/2} × n
= n × n = n²

প্রশ্ন: 2 + 6 + 18 + ............ গুণোত্তর ধারাটির কত তম পদ 1458 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 6/2 = 3

ধরি,
n তম পদ = 1458
⇒ ar^{n - 1} = 1458
⇒ 2 × 3^{n - 1} = 1458
⇒ 3^{n - 1} = 1458/2 = 729
⇒ 3^{n - 1} = 3⁶
⇒ n - 1 = 6
∴ n = 6 + 1 = 7
∴ ধারাটির 7 তম পদ 1458 হবে।

প্রশ্ন: যদি secθ - tanθ = 5 হয়, তবে secθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
secθ - tanθ = 5 ...... (1)

আমরা জানি,
sec²θ - tan²θ = 1
⇒ (secθ + tanθ)(secθ - tanθ) = 1
⇒ secθ + tanθ = 1/(secθ - tanθ)
⇒ secθ + tanθ = 1/5 ...... (2) [কারণ (1) হতে]

সমীকরণ (1) + (2) করে পাই,
⇒ secθ - tanθ + secθ + tanθ = 5 + (1/5)
⇒ 2secθ = 26/5
⇒ secθ = 26/10
∴ secθ = 13/5

প্রশ্ন: ৬০ জন লোকের মধ্যে ৩৬ জন ইংরেজি, ২৮ জন ইংরেজ ও বাংলা উভয়ই এবং প্রত্যেকেই দুইটি ভাষার অন্তঃত একটি ভাষায় কথা বলতে পারেন। বাংলায় কত জন কথা বলতে পারেন?

সমাধান: 
ইংরেজিতে কথা বলতে পারে n(E) = ৩৬ জন
উভয় ভাষায় কথা বলতে পারেন n(E ∩ B) = ২৮ জন 
বাংলায় কথা বলতে পারে n(B) = ?  জন
প্রত্যেকেই দুইটি ভাষার অন্তঃত একটি ভাষায় কথা বলতে পারেন n(E ∪ B) = ৬০ জন

আমরা জানি
n(E ∪ B) = n(E) + n(B) - n(E ∩ B)
৬০ = ৩৬ + n(B) - ২৮
৬০ = n(B) - ৮
n(B) = ৬০ - ৮
n(B) = ৫২ 

অপশনে সঠিক উত্তর না থাকায় বাতিল করা হলো।

প্রশ্ন: 15 টি ফলের মধ্যে 5 টি ফল কত প্রকারে বাছাই করা যায়, যাতে নির্দিষ্ট দুইটি ফল সর্বদা বাদ থাকে?

সমাধান:
নির্দিষ্ট দুইটি ফল সর্বদা বাদ থাকে, অতএব (15 - 2) বা 13 টি থেকে 5 টি বাছাই করতে হবে।

∴ বাছাই করার উপায় = ¹³C₅
= 13!/{(13 - 5)! × 5!}
= 13!/(8! × 5!)
= (13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8!​)/{(5 × 4 × 3 × 2 × 1)8!}
= 1287

∴ নির্দিষ্ট দুটি ফল বাদ দিয়ে ৫টি ফল বাছাই করার উপায় 1287​.

প্রশ্ন: একটি পাত্রে মধ্যে লাল, নীল এবং সাদা বলের অনুপাত ৩ : ৪ : ৫। দৈবভাবে পাত্র থেকে একটি বল বাছাই করলে তা নীল বল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
লাল, নীল এবং সাদা বলের অনুপাত যথাক্রমে = ৩ : ৪ : ৫
∴ লাল, নীল এবং সাদা বলের অনুপাতগুলোর যোগফল = (৩ + ৪ + ৫)
= ১২

বলটি নীল হওয়ার সম্ভাব্যতা = ৪/১২ = ১/৩
∴ বলটি নীল না হওয়ার সম্ভাব্যতা = ১ - (১/৩)
= (৩ - ১)/৩
= ২/৩

প্রশ্ন: ৩ দ্বারা বিভাজ্য প্রথম ১০ টি সংখ্যার মধ্যক কত?

সমাধান:
৩ দ্বারা বিভাজ্য প্রথম ১০টি সংখ্যা: ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, ১৮, ২১, ২৪, ২৭, ৩০
এখানে, n = ১০

∴ মধ্যক = {(১০/২) তম পদ ও (১০/২) + ১ তম পদের যোগফল}/২
= {৫ তম পদ ও ৬ তম পদের যোগফল}/২
=(১৫ + ১৮)/২
= ৩৩/২
= ১৬.৫

প্রশ্ন: ১ + (১/২) + (১/৪) + (১/৮) + ............ ধারাটির প্রথম ছয়টি পদের যোগফল কত?
 
সমাধান:
প্রথম পদ, a = ১
সাধারণ অনুপাত, r = ১/২  ;[r < ১]
পদসংখ্যা, n = ৬

আমরা জানি,
প্রথম n টি পদের যোগফল, S_n = a(1 - rⁿ)/(1 - r)
প্রথম ছয়টি পদের যোগফল, S_৬ = ১{১ - (১/২)^৬}/{১ - (১/২)}
= {১ - (১/৬৪)}/(১/২)
= (৬৩/৬৪)/(১/২)
= ৬৩/৩২

প্রশ্ন: যদি 7sin²θ + 3cos²θ = 4 হয়, তবে cotθ এর মান কত?

সমাধান:
7sin²θ + 3cos²θ = 4
⇒ 7sin²θ + 3(1- sin²θ) = 4
⇒ 7sin²θ + 3 - 3sin²θ = 4
⇒ 4sin²θ = 1
⇒ sin²θ = 1/4
⇒ sinθ =1/2
⇒ sinθ = sin30^∘
⇒ θ = 30^∘

∴ cotθ = cot30° = √3

প্রশ্ন: যদি n(A ∪ B) = 65, n(A) = 33 এবং n(B) = 58 হয়, তাহলে n(A ∩ B) এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
⇒ 65 = 33 + 58 - n(A ∩ B)
⇒ 65 = 91 - n(A ∩ B)
⇒ n(A ∩ B) = 91 - 65
∴ n(A ∩ B) = 26

প্রশ্ন: ৩৬ এবং ৪৯ এর গুণোত্তর গড় কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক সংখ্যার গুণোত্তর গড় 
 
সুতরাং, ৩৬ এবং ৪৯ এর গুণোত্তর গড় = ( ৩৬ × ৪৯ )^১/২  
= (১৭৬৪)^১/২
= (৪২^২)^১/২
= ৪২

প্রশ্ন: ১ থেকে ২০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যা নির্বাচনের সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
১ থেকে ২০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা = ২০
আবার,
১ থেকে ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৮ টি
যথা- ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯

∴ নির্ণেয় সম্ভাব্যতা = মৌলিক সংখ্যা/সর্বমোট সংখ্যা
= ৮/২০
= ২/৫

প্রশ্ন: ১২ জন বালকের সাহায্যে মোট কত রকম ভাবে বাস্কেটবল টিম বানানো যাবে?

সমাধান:
বাস্কেটবল টিমে খেলোয়ার থাকে ৫ জন।

১২ জন থেকে ৫ জনের টিম সাজানো যাবে = 
^১২C_৫
= ১২!/৫!(১২ - ৫)!
= (১২ × ১১ × ১০ × ৯ × ৮ × ৭!)/(৫ × ৪ × ৩ × ২) × ৭!
= ৭৯২ টি

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + ........... + 40² = ?

সমাধান:
1² + 2² + 3² + 4² + ...... + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6
∴ 1² + 2² + 3² + ........ + 40² = 40(40 + 1)(2 × 40 + 1)/6
= (40 × 41 × 81)/6
= 22140

প্রশ্ন: ২৭, - ৯, ৩, - ১ ......... অনুক্রমের পরবর্তী সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = ২৭
সাধারণ অনুপাত, r= ১/- ৩

আমরা জানি,
n তম পদ = ar^{n - 1}
অনুক্রমের পরবর্তী পদ(পঞ্চম পদ) = ২৭(১/- ৩)^{৫ - ১}
= ২৭/৮১
= ১/৩

প্রশ্ন: যদি A = {a, b, c, d}, B = {b, d, e, f} এবং C = {c, d, f, g} হয়, তবে (A ∩ B) ∪ (B - C) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {a, b, c, d}
B = {b, d, e, f}
এবং C = {c, d, f, g}

এখন,
A ∩ B = {a, b, c, d} ∩ {b, d, e, f}
= {b, d}
এবং
B - C = {b, d, e, f} - {c, d, f, g}
= {b, e}

∴ (A ∩ B) ∪ (B - C)
= {b, d} ∪ {b, e}
= {b, d, e}

প্রশ্ন: 25, 28, 35, 72, 55, 58, 87, 58, 86, 95 উপাত্তগুলোর গড় কত?

সমাধান:
উপাত্তের সংখ্যা ১০টি এবং
উপাত্তগুলোর সমষ্টি = 
25 + 28 + 35 + 72 + 55 + 58 + 87 + 58 + 86 + 95 = 599

আমরা জানি,
গড় = উপাত্তগুলোর সমষ্টি/উপাত্তগুলোর সংখ্যা
= 599/10
= 59.9

প্রশ্ন: একটি বক্সে ৮টি সাদা ও ১২টি কালো বল আছে। ২টি বল তোলা হলে একই রংয়ের হওয়ার সম্ভবনা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সাদা বল = ৮টি
কালো বল = ১২টি
∴ মোট বল = (৮ + ১২) টি
= ২০ টি

এখন,
২টি সাদা বল হওয়ার সম্ভাবনা = (৮/২০) × (৭/১৯)
= ১৪/৯৫
আবার,
২টি কালো বল হওয়ার সম্ভাবনা = (১২/২০) × (১১/১৯)
= ৩৩/৯৫

∴ একই রংয়ের হওয়ার মোট সম্ভাবনা = (১৪/৯৫) + (৩৩/৯৫)
= (১৪ + ৩৩)/৯৫
=  ৪৭/৯৫

প্রশ্ন: ২৫ + ২১ + ১৭ + .............. - ২৩ = কত? 

সমাধান: 
এখানে, 
ধারাটির প্রথম পদ = ২৫
ধারাটির শেষ পদ = - ২৩
ধারাটির সাধারন অন্তর = ২১ - ২৫ = - ৪

∴ পদসংখ্যা = {(শেষ পদ - প্রথম পদ)/সাধারন অন্তর} + ১ 
= {(- ২৩ - ২৫)/- ৪} + ১ 
= {(- ৪৮)/- ৪} + ১ 
= ১২ + ১ 
= ১৩

∴ নির্ণয়ে সমষ্টি = {{(শেষ পদ + প্রথম পদ)/২} × পদসংখ্যা
= {(- ২৩ + ২৫)/২} × ১৩
= (২/২) × ১৩
= ১৩

প্রশ্ন: tan(θ + 15°) = 6/√12 হলে sin2θ = কত?

সমাধান:
tan(θ + 15°) = 6/√12
⇒ tan(θ + 15°) = (2 × 3)/(2√3)
⇒ tan(θ + 15°) = (√3 × √3)/√3 = √3
⇒ tan(θ + 15°) = tan60°
⇒ θ + 15° = 60°
⇒ θ = 60° - 15° = 45°
∴ θ = 45°

এখন,
sin²θ = (sin45°)²
= (1/√2)²
= 1/2

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : x ≤ 32 এবং x, 4 এর গুণিতক} হলে, A সেটের তালিকা পদ্ধতি কোনটি?

সমাধান:
x এর মান 32 অপেক্ষা ছোট বা সমান এবং 4 এর গুণিতক।
4 এর গুণিতক সমূহ:
1 × 4 = 4
2 × 4 = 8
3 × 4 = 12
4 × 4 = 16
5 × 4 = 20
6 × 4 = 24
7 × 4 = 28
8 × 4 = 32

∴ নির্ণেয় সেট = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32}

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 3 < x ≤ 12} এবং B = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 13} হলে, A\B = কত?

সমাধান:
A = {x ∈ N : 3 < x ≤ 12}
এখানে x হলো স্বাভাবিক সংখ্যা, এবং x এর মান 3-এর চেয়ে বড় ও 12-এর সমান বা ছোট হতে পারে।
A = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

B = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 13}
অর্থাৎ, 13-এর চেয়ে ছোট বা সমান সকল বিজোড় সংখ্যার সেট ।
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}

∴ A\B = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} - {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}
= {4, 6, 8, 10, 12}

প্রশ্ন: log2 + log4 + log8 + …………. ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারা log2 + log4 + log8 + ………….
= log2 + log22 + log23 + .......
= log2 + 2log2 + 3log2 + ..........
= (1 + 2 + 3 + ............) log2

∴ প্রদত্ত ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।

∴ সাধারণ অন্তর, d = 2log2 - log2 = log2

প্রশ্ন: যদি rsinθ = 2, rcosθ = √2 হয়, তবে √2cotθ + 5 =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
rsinθ = 2 ......... (1)
rcosθ = √2 .............. (2)

(2) ÷ (1) হতে পাই
rcosθ/rsinθ = √2/2
বা, cotθ = 1/√2
বা, √2cotθ = 1

এখন, প্রদত্ত রাশি,
√2cotθ + 5
= 1 + 5 = 6