নতুনদের বিসিএস প্রস্তুতি - ২০০ দিনে পুরো সিলেবাস

প্রশ্ন: {x ∈ N এবং x² - 16 = 0} সেটটির তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশিত রূপ কোনটি?

সমাধান:
x² - 16 = 0
⇒ x² = 16
⇒ x = √16
∴ x = ± 4

কিন্তু x স্বাভাবিক সংখ্যা তাই ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়।
∴ x = 4

প্রশ্ন: A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, C = {2, 3, 5}, D = {1, 3, 5, 7} হলে,
(A ∩ B) ∪ (C ∩ D) নিচের কোনটির সমান হবে?

সমাধান:
A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, C = {2, 3, 5}, D = {1, 3, 5, 7}

A ∩ B = {1, 2, 3} ∪ {2, 3, 4}
= {2, 3}

C ∩ D = {2, 3, 5} ∪ {1, 3, 5, 7}
= {3, 5}

∴ (A ∩ B) ∪ (C ∩ D)
= {2, 3} ∪ {3, 5}
= {2, 3, 5}
= C

প্রশ্ন: 1, 3, 4, 5, 6 অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে 4 অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
যেহেতু, অঙ্কের সংখ্যা 5টি।

4 অঙ্কবিশিষ্ট  সংখ্যা গঠন করা যাবে,
= ⁵P₄
= (5!)/(5 - 4)!
= 5!/1!
= 5!
= 120

∴ মোট 4 -অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যাবে 120 টি।

প্রশ্ন: P = {2, 4, 12, 20, 33} হলে এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
P সেটের উপাদান = 5 টি
P এর প্রকৃত উপসেট = 2⁵ = 32 টি
∴ প্রকৃত উপসেট = 32 - 1 = 31 টি

প্রশ্ন: 12টি বাহুবিশিষ্ট একটি সমতল ক্ষেত্রের কৌণিক বিন্দুগুলোর সংযোগ রেখা দ্বারা কতগুলো ত্রিভুজ গঠন করা যাবে?

সমাধান:
যেকোনো 3টি বিন্দু বেছে নিয়ে আমরা একটি ত্রিভুজ তৈরি করতে পারি।
অর্থাৎ,
আমাদের 12টি বিন্দুর মধ্য থেকে 3টি বিন্দু নির্বাচন করতে হবে।

∴ ত্রিভুজের সংখ্যা = ¹²C₃
= 12!​/3!(12−3)!
= 12!/(3! × 9!)
= (12 × 11 × 10 ​× 9!)/(3 × 2 ×9! )
= 220

অতএব, মোট ত্রিভুজ গঠন করা যাবে 220 টি।

প্রশ্ন: যদি X = {1, 2} এবং Y = {1, 2, 3} হলে, (X × Y) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
X = {1, 2}
এবং Y = {1, 2, 3}

 X × Y = {1, 2} × {1, 2, 3}
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)}

প্রশ্ন: একটি দাবা প্রতিযোগিতায় 8 জন প্রতিযোগী একে অপরের সাথে 1 বার করে খেলবে। প্রতিযোগিতায় মোট কতটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে?

সমাধান:
প্রতিযোগিতায় প্রত্যেক খেলোয়াড় অন্য প্রতিটি খেলোয়াড়ের সাথে একবার করে খেলবে।

∴ খেলার সংখ্যা হবে,
= ⁸C₂
= (8 × 7)/2
= 28

∴ মোট খেলার সংখ্যা 28 টি।

প্রশ্ন: যদি n(A) = 20, n(B) = 17 এবং n(A ∪ B) = 30 হয়, n(A ∩ B) তাহলে এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
⇒ 30 = 20 + 37 - n(A ∩ B)
⇒ n(A ∩ B) = 37 - 30 = 7

∴ n(A ∩ B) = 7

প্রশ্ন: "COMMITTEE" শব্দটির সব বর্ণ নিয়ে কতটি ভিন্ন ভিন্ন শব্দ গঠন করা যাবে?

সমাধান:
COMMITTEE শব্দে ৯ টি বর্ণ আছে।
যেখানে, M বর্ণটি ২ বার, T বর্ণটি ২ বার এবং E বর্ণটি ২ বার করে আছে।

∴ সবগুলো নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = ৯!/(২!২!২!) 
= (৯ × ৮ × ৭ × ৬ × ৫ × ৪ × ৩ × ২)/৮
= ৪৫৩৬০

প্রশ্ন: {x ∈ N : x < 22 এবং x, 4 এর গুণিতক} সেট গুলোর তালিকা পদ্ধতি কোনটি?

সমাধান:
x এর মান 22 অপেক্ষা ছোট এবং 4 এর গুণিতক।
3 এর গুণিতক সমূহ:
1 × 4 = 4
2 × 4 = 8
3 × 4 = 12
4 × 4 = 16
5 × 4 = 20

∴ নির্ণেয় সেট = {4, 8, 12, 16, 20}

প্রশ্ন: 10টি পুস্তক থেকে 4টি কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে 2টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমাবেশ = ^{n - m}C_{r - m}  [যেখানে, মোট পুস্তক = n, প্রতিবার নিতে হবে = r, সর্বদা বাদ বা বর্জন থাকবে = m]
= ^{10 - 2}C_{4 - 2}
= ⁸C₂
= 8!/2!(8 - 2)!
= 28

∴ মোট 28 প্রকারে 4টি পুস্তক বাছাই করা যাবে ।

প্রশ্ন: একটি পরীক্ষায় 34% গণিতে এবং 42% ইংরাজিতে ফেল করে। যদি 20% উভয় বিষয়ে ফেল করে তবে, শতকরা কত জন উভয় বিষয়ে পাশ করেছে?

সমাধান:
ভেনচিত্র থেকে পাই,

{100 - (14 + 20 + 22)}% = (100 - 56)% = 44%

প্রশ্ন: স্বরবর্ণগুলোকে কেবল বিজোড় স্থানে রেখে "EDUCATION" শব্দকে কতভাবে সাজানো যায়?

সমাধান:
এখানে মোট বর্ণ আছে 9টি
স্বরবর্ণ আছে (A, E, I, O, U ) 5টি এবং সবগুলো বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন।

স্বরবর্ণ 5টি বিজোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 5! =120
বাকি 4টি বর্ণ 4টি জোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 4! = 24

∴ স্বরবর্ণগুলোকে কেবল বিজোড় স্থানে রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা = 120 × 24 = 2880

প্রশ্ন: ১৬ সদস্যবিশিষ্ট একটি দল থেকে একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক কত উপায়ে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান:
১৬ জন থেকে ১ জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ^১৬C_১ = ১৬ উপায়ে

১ জন অধিনায়ক হলে সদস্য বাকি থাকে (১৬ - ১) = ১৫ জন

১৫ জন থেকে ১ জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ^১৫C_১ = ১৫ উপায়ে

∴ একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ১৬ × ১৫ = ২৪০ উপায়ে

প্রশ্ন: দুইটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হলো। দুইটি মুদ্রাতেই হেড অথবা দুইটি মুদ্রাতেই টেল আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দুইটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হলে যে ঘটনাগুলো ঘটে সেগুলো হলো {HH, HT, TH, TT}
এখানে,
মোট ঘটনা = 4
অনুকূল ঘটনা = {HH, TT} = 2 

∴ দুইটি মুদ্রাতেই হেড অথবা দুইটি মুদ্রাতেই টেল আসার সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনা/মোট ঘটনা
= 2/4
= 1/2

প্রশ্ন: নিচের কোনটি বাস্তব সংখ্যার সেট বুঝায়?

সমাধান:
বাস্তব সংখ্যা: সকল মূলদ সংখ্যা এবং অমূলদ সংখ্যাকে বাস্তব সংখ্যা বলা হয়।
যেমন: -1, -2, -3,.....1, 2, 3, .....1/2, 2/3, 3/4,.......√2, √3, √5,......., 1.23, 1.333,...... ইত্যাদি।
বাস্তব সংখ্যার সেট R = {x : - ∞ < x < ∞}

{x : - Z < x < + Z} এই সেট দ্বারা শুধুমাত্র পূর্ণ সংখ্যার সেট বুঝায়।

প্রশ্ন:"ADMISSION" শব্দটির A ও D কে দুই প্রান্তে রেখে কত প্রকারে সাজানো যেতে পারে?

সমাধান:
A ও D কে বাদ দিয়ে বাকি 7 টি অক্ষর নিয়ে বিন্যাস করা যায়,
= 7!/(2!2!)   ; [যেখানে s = 2টা এবং i = 2টা]

আবার,
A ও D এর মধ্যে কে প্রথমে আর কে শেষে থাকবে তা উল্লেখ না থাকায় প্রথমে A ও আসতে পারে আবার D ও আসতে পারে।
তাই 2 দ্বারা গুণ করতে হয়।
এখন, A ও D নিজেদের মধ্যে বিন্যাস = 2!

∴ সাজানো সংখ্যা = {7!/(2!2!)} × 2!
= 7!/2!
= (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2)/2
= 2520

প্রশ্ন: A ও B একটি কাজ করতে পারার সম্ভাব্যতা যথাক্রমে ১/৩ ও ১/৫। তারা একত্রে কাজটি করার চেষ্টা করলে কাজটি করতে পারার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
A  কাজটি করতে না পারার সম্ভাব্যতা= ১ - (১/৩) = ২/৩
B  কাজটি করতে না পারার সম্ভাব্যতা= ১ - (১/৫)= ৪/৫

A ও B একত্রে কাজটি করতে না পারার সম্ভাব্যতা= (২/৩) × (৪/৫)
= ৮/১৫

∴ A ও B একত্রে কাজটি করতে পারার সম্ভাব্যতা= ১ - (৮/১৫)
= ৭/১৫

প্রশ্ন: 3 জন পুরুষ ও 4 জন মহিলাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যায় যেখানে 3 জন পুরুষ সর্বদা একত্রে থাকবে?

সমাধান:
মোট পুরুষ ও মহিলা = (3 + 4) = 7 জন
তিনজন পুরুষ একত্রে থাকলে মোট সংখ্যা = (1 + 4) জন
= 5 জন
∴ 5 জনকে সাজানো যায় = 5!
∴ 3 জন পুরুষকে সাজানো যায় = 3!

সুতরাং, একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 5! × 3!
= (5 × 4 × 3 × 2 × 1) × (3 × 2 × 1)
= 120 × 6
= 720

প্রশ্ন: 60 এর মৌলিক উৎপাদক সমূহের সেট কোনটি?

সমাধান:
মৌলিক সংখ্যা: যে সংখ্যাকে ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায়না তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে।

60 এর উৎপাদক সমূহ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
∴ 60 এর মৌলিক উৎপাদক সমূহের সেট = {2, 3,5}

অতএব, 60 এর মৌলিক উৎপাদক সমূহ হলো {2, 3,5}

প্রশ্ন: একটি বাক্সে সবুজ বল 20 টি, হলুদ বল 15 টি এবং নীল বল 10 টি আছে। দৈবভাবে একটি বল নিলে বলটি হলুদ না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
হলুদ বল আছে = 15 টি
মোট বল = 20 + 15 + 10 = 45

∴ বলটি হলুদ হওয়ার সম্ভাবনা = 15/45 = 1/3
∴ বলটি হলুদ না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (1/3)
= 2/3

∴ হলুদ না হওয়ার সম্ভাবনা 2/3

প্রশ্ন: একটি ছক্কা দুইবার নিক্ষেপ করা হলো। উপরের পিঠে একই সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কা দুইবার নিক্ষেপ করা হলো।
∴ মোট সম্ভাব্য ঘটনা সংখ্যা = 6 × 6 = 36

উভয় নিক্ষেপে যদি একই সংখ্যা আসে, তবে সম্ভাব্য জোড়াগুলো হবে,
(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)

এখানে,
মোট  অনুকূল ঘটনা 6টি।

∴ P(উভয় নিক্ষেপে একই সংখ্যা আসার সম্ভাবনা) =  অনুকূল ঘটনা সংখ্যা​/মোট ঘটনা সংখ্যা
= 6/36
= 1/6

প্রশ্ন: একটি প্রফেসর পদের জন্য 3 জন প্রার্থী এবং 5 জন লোকের ভোটে একজন নির্বাচিত হলে, কত উপায়ে ভোট দেওয়া যেতে পারে?

সমাধান:
প্রার্থী সংখ্যা = 3 জন
ভোটদাতা সংখ্যা = 5 জন

∴ মোট ভোট দেওয়ার উপায় = (প্রার্থী)^{ভোটার}
= 3⁵
= 243

এতএব, 243 উপায়ে ভোট দেওয়া যেতে পারে।

প্রশ্ন: 200 জন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যানে গড় নম্বর 65। এদের মধ্যে 120 জন ছাত্রীর গড় নম্বর 68 হলে, ছাত্রদের গড় নম্বর কত?

সমাধান:
200 জন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যানে গড় নম্বর = 65
∴ 200 জন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যানে মোট নম্বর = (65 × 200)
= 13000

আবার,
120 জন ছাত্রীর গড় নম্বর = 68
∴ 120 জন ছাত্রীর মোট নম্বর = (68 × 120)
= 8160

এখন,
ছাত্রের সংখ্যা = (200 - 120) = 80 জন।

∴ ছাত্রের মোট নম্বর = (13000 - 8160)
= 4840

∴ ছাত্রদের গড় নম্বর = 4840/80
= 60.5

প্রশ্ন: ⁿC₈ = ⁿC₁₂ হলে, ²²C_n =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ⁿC₈ = ⁿC₁₂

আমরা জানি,
ⁿC_r = ⁿC_s হলে, n = r + s
∴ n = r + s = 8 + 12 = 20

∴ ²²C_n
= ²²C₂₀
= 231

প্রশ্ন: ২, ৯, ৫, ৪, ৬, ১০, ৩,১২ সংখ্যাগুলোর প্রচুরক নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া সংখ্যাগুলোর হলো, ২, ৯, ৫, ৪, ৬, ১০, ৩, ১২।

প্রচুরক: যে সংখ্যাটি সবচেয়ে বেশি বার আসে।

এখানে,
প্রতিটি সংখ্যা একবার করে এসেছে, তাই এই সেটে কোনো সংখ্যার পুনরাবৃত্তি নেই।
অর্থাৎ, প্রচুরক নেই।

প্রশ্ন: একজন মহিলার 5 জন আত্নীয় আছে। তিনি ইচ্ছেমত এক বা একাধিক আত্নীয়কে কতভাবে নিমন্ত্রন করতে পারেন?  

সমাধান:
নিবার্চন সংখ্যা = ⁵C₁ + ⁵C₂ + ⁵C₃ + ⁵C₄ + ⁵C₅
= 5 + 10 + 10 + 5 + 1
= 31

শর্টকাটঃ
এক বা একাধিক আত্নীয়কে নিমন্ত্রন করতে পারেন = 2ⁿ - 1

প্রশ্ন: ১ থেকে ২৫ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?

সমাধান:
১ থেকে ২৩ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, ১৮, ২১, ২৪
এই সংখ্যা গুলির মোট সংখ্যা = ৮ টি।

মধ্যক হল সংখ্যাগুলির মধ্যে মাঝের মান। যেহেতু এখানে মোট সংখ্যার সংখ্যা ৮, এটি একটি জোড় সংখ্যা । এর ফলে, মধ্যক হবে মধ্যের দুইটি সংখ্যার গড়।
মাঝের দুটি সংখ্যা হলো ৪র্থ ও ৫ম তম পদ।

∴ ৪র্থ ও ৫ম তম পদ যথাক্রমে, ১২ ও ১৫

∴ মধ্যক = (১২ + ১৫)/২
= ২৭/২
= ১৩.৫

অতএব, ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলির মধ্যক ১৩.৫।

প্রশ্ন: টেলিফোন ডায়েল এ 0 থেকে 9 পর্যন্ত লেখা আছে। যদি কুমিল্লা শহরের টেলিফোনগুলো 6 অংক বিশিষ্ট হয়, তবে ঐ শহরে কত টেলিফোন সংযোগ দেয়া যাবে?

সমাধান:
প্রতিটি অংক 0 থেকে 9 এর মধ্যে যেকোনো একটি হতে পারে, অর্থাৎ প্রতিটি অংকের জন্য 10টি উপায় রয়েছে।
∴ টেলিফোন করার উপায় = (10)^{ডিজিট}  = 10⁶

প্রশ্ন: ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত উপাত্তকে ১০ টি শ্রেণিতে ভাগ করলে ৮ নম্বর শ্রেণিটি নিচের কোনটি?

সমাধান:
শ্রেণি আকারে লিখে পাই,
১ - ১০
১১ - ২০
২১ - ৩০
৩১ - ৪০
৪১ - ৫০
৫১ - ৬০
৬১ - ৭০
৭১ - ৮০
৮১ - ৯০
৯১ - ১০০

সুতরাং, ৮ নম্বর শ্রেণিটি হবে ৭১ থেকে ৮০ পর্যন্ত।

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে প্রত্যেক ছাত্র অন্য প্রত্যেক ছাত্রের সাথে একটি করে প্রজেক্ট করবে। মোট প্রজেক্টের সংখ্যা 120 টি হলে ক্লাসে মোট কতজন ছাত্র আছে?

সমাধান:
ধরি, ক্লাসে মোট ছাত্র সংখ্যা = n
∴ মোট প্রজেক্টের সংখ্যা ⁿC₂ = 120
⇒ n!/2!(n - 2)! = 120
⇒ {n(n - 1)(n - 2)!}/2(n - 2)! = 120
⇒ (n² - n)/2 = 120
⇒ n² - n = 240
⇒ n² - n - 240 = 0
⇒ n² - 16n + 15n - 240 = 0
⇒ n(n - 16) + 15(n - 16) = 0
⇒ (n - 16)(n + 15) = 0
হয়,
∴ n - 16 = 0
n = 16
অথবা
n + 15 = 0
∴ n = - 15 [গ্রহণযোগ্য নয়]

সুতরাং ক্লাসে মোট 16 জন ছাত্র আছে।

প্রশ্ন: আবহাওয়া অফিসের রিপোর্ট অনুযায়ী ২০১৮ সালের ফেব্রুয়ারি মাসের ৩য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট ৬ দিন। ঐ সপ্তাহের সোমবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
২০১৮ সালের ফেব্রুয়ারি মাসের ৩য় সপ্তাহে মোট ৭ দিন।
যার মধ্যে বৃষ্টি হয়েছিল ৬ দিন।

সোমবার বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = ৬/৭
সোমবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা = (১ - ৬/৭)
=(৭ - ৬)/৭
= ১/৭

∴ ২০১৮ সালের ফেব্রুয়ারি মাসের ৩য় সপ্তাহের সোমবারে বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা ১/৭ ।

প্রশ্ন: 20 বাহুবিশিষ্ট বহুভূজের কতটি কর্ণ আছে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাহুর সংখ্যা, n = 20

∴ কর্ণের সংখ্যা = ⁿC₂ - n
= ²⁰C₂ - n
= {20!/2!(20 - 2)!} - 20
= {20!/(2! × 18!} - 20
= 190 - 20
= 170

প্রশ্ন: ⁸P_r = 1680 হলে r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⁸P_r = 1680
⇒ 8!/(8 - r)! = 1680
⇒ (8 - r)! × 1680 = 8!
⇒ (8 - r)! = 8!/1680
⇒ (8 - r)! = (8 × 7 × 6 × 5 × 4!)/(8 × 7 × 6 × 5)
⇒ (8 - r)! = 4!
⇒ 8 - r = 4
⇒ r = 8 - 4
∴ r = 4

প্রশ্ন: ২৫, ১৭, ৩২, ২১, ২৮, ১৫, ২০, ২৫, ১৮, ৩০ উপাত্তগুলোর গড় কত?

সমাধান:
উপাত্তগুলোর সমষ্টি = ২৫ + ১৭ + ৩২ + ২১ + ২৮ + ১৫ + ২০ + ২৫ + ১৮ + ৩০ = ২৩১
এবং উপাত্তের সংখ্যা = ১০

আমরা জানি,
গড় = উপাত্তগুলোর সমষ্টি​/উপাত্তের সংখ্যা 
= ২৩১/১০
= ২৩.১

প্রশ্ন: যদি P(B) = 0 হয়, তাহলে B ঘটনাটি কী ঘটনা?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা = ঘটনাটির অনুকূল ফলাফল/সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল

কোনো ঘটনা ঘটার সর্বোচ্চ মান ১ এবং সর্বনিম্ন মান ০।
অর্থাৎ কোনো ঘটনা যখন অবশ্যই ঘটবে তার মান ১
এবং যখন অবশ্যই ঘটবেনা অর্থাৎ অসম্ভব ঘটনা তার মান ০।

∴ B ঘটনাটি একটি অসম্ভব ঘটনা।

প্রশ্ন: 25টি বিন্দু দিয়ে কতটি সরলরেখা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
যেকোনো দুটি বিন্দু দিয়ে একটি সরলরেখা তৈরি করা সম্ভব। 25টি বিন্দু থেকে দুটি করে বিন্দু নির্বাচন করে সরলরেখা গঠন করা যাবে।
তাই মোট সরলরেখার সংখ্যা হবে,
= ²⁵C₂
= 25!/2!(25 - 2)!
= (25 × 24 × 23!)/2!23!
= (25 × 24)/2
= 25 × 12
= 300

∴ 25টি বিন্দু দিয়ে 300টি সরলরেখা গঠন করা যাবে।

প্রশ্ন: একজন লোকের ঢাকা থেকে সিলেটে বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা ৩/৪ এবং সিলেট থেকে চট্রগ্রাম ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা ৫/৭। সিলেটে বাসে এবং চট্রগ্রামে ট্রেনে না যাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
সিলেটে বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা = ৩/৪
চট্রগ্রামে ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা = ৫/৭

∴ চট্রগ্রামে ট্রেনে না যাওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (৫/৭)
= ২/৭

∴ সিলেটে বাসে এবং চট্রগ্রামে ট্রেনে না যাওয়ার সম্ভাবনা = (৩/৪) × (২/৭)
= ৬/২৮
= ৩/১৪

প্রশ্ন: "BANGLADESH" শব্দটি থেকে প্রতিবারে 5টি করে বর্ণ নিয়ে কতভাবে বাছাই করা যায়?

সমাধান:
BANGLADESH শব্দটিতে মোট বর্ণ সংখ্যা = 10 টি
পুনরাবৃত্তি আছে, A 2 বার।
এখন,
সবগুলো ভিন্ন ভিন্ন হলে মোট 9 এর মধ্যে 5টি নিয়ে পাই,
∴ ⁹C₅
= 9!/5!(9 - 5)!
= 9!/5!4!
= (9 × 8 × 7 × 6 × 5!)/(4 × 3 × 2)5!
= 126

আবার,
দুইটি একই (A, A) এদের মধ্যে থেকে 2টি এবং বাকি 8টির মধ্যে থেকে 3টি মিলে মোট 5টি নিয়ে বাছাই সংখ্যা,
²C₂ × ⁸C₃
= 1 × 56
= 56

∴ মোট বাছাই সংখ্যা = 126 + 56 = 182

প্রশ্ন: একট ছক্কা নিপেক্ষ করলে ৪ উঠার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কায় ৬টি মুখ আছে।
সুতরাং, মোট সম্ভাব্য ঘটনা সংখ্যা = ৬

আবার,
৪ উঠার ঘটনা মাত্র ১টি (কারণ শুধুমাত্র একটি মুখে ৪ লেখা থাকে)।
অতএব, অনুকূল ঘটনা সংখ্যা = ১

∴ P(৪ উঠার সম্ভাবনা) = অনুকূল ঘটনা সংখ্যা​/মোট ঘটনা সংখ্যা
= ১/৬

প্রশ্ন: আগামীকাল 11: 00 AM-এ ঢাকার আকাশে চাঁদ দেখা যাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
11: 00 AM-এ ঢাকায় দিন থাকে।
দিনের বেলা চাঁদ দেখা যাওয়া সম্ভব নয়। অর্থাৎ, যেকোনো দিন 11: 00 AM-এ ঢাকার আকাশে চাঁদ দেখা যাওয়ার সম্ভাবনা শূন্য।