সহকারী থানা শিক্ষা অফিসার (ATEO)

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রের আলোকে tanA = কত?

সমাধান:
tanA = লম্ব/ভূমি = 11/60

প্রশ্ন: ২ হেক্টর = কত একর?

সমাধান:
১ হেক্টর = ২.৪৭ একর (প্রায়)
∴ ২ হেক্টর = (২ × ২.৪৭) একর 
= ৪.৯৪ একর (প্রায়)

• হেক্টর সম্পর্কিত গুরুত্বপূর্ণ কিছু পরিমাপ:
১ হেক্টর = ১০০ এয়র
১ হেক্টর = ১০,০০০ বর্গমিটার
১ বর্গ ইঞ্চি = ৬.৪৫ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সমবৃত্তভূমিক কোণকের উচ্চতা ১২ সে.মি. এবং ভূমির ব্যাসার্ধ ৫ সে.মি. হলে, কোণকটির আয়তন প্রায় কত ঘন সে.মি.?

সমাধান:
ধরি,
কোণকের ব্যাসার্ধ, r = ৫ সে.মি.
কোণকের উচ্চতা, h = ১২ সে.মি. 

আমরা জানি,
কোণকের আয়তন = (১/৩)πr^২h.
= (১/৩) × (২২/৭) × ৫^২ × ১২
= ৩১৪.২৮ ঘন সে.মি.

প্রশ্ন: যদি sin⁡α = 5/13 এবং  (π/2) < α < π হয়, তাহলে cotα এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
(π/2) < α < π
∴ α, ২য় চতুর্ভাগে অবস্থিত। তাই cosα < 0 হবে,

cosα = - √(1 - sin²α​)
= - √{1 - (5/13)²}
= - √(1 - 25/169)
= - √(144/169)
= - (12/13)

cotα = cosα/sinα
= - (12/13)/(5/13)
= - (12/5)

প্রশ্ন: cot⁡(π + x) = ?

সমাধান:
cot⁡(π + x)
এখানে (π + x) তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত তাই cot⁡ এর মান ধনাত্মক হবে। 
∴ cot(x) হবে কারণ কোণ হিসেবে ⁡(π + x) থাকলে ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের পরিবর্তন হয় না।

প্রশ্ন: বেলনের ভূমির ব্যাস ৪ মিটার, উচ্চতা ২১ মিটার হলে, বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
বেলনের ভূমির ব্যাস ৪ মিটার
∴ ভূমির ব্যাসার্ধ r = ২ মিটার
বেলনের উচ্চতা h = ২১ মিটার 

আমরা জানি,
বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = ২πrh 
= ২ × (২২/৭) × ২ × ২১ বর্গ মিটার
= ২৬৪ বর্গমিটার

প্রশ্ন: sin(- 585°) এর মান কত?

সমাধান:
sin(- 585°)
= - sin(585°)
= - sin(360° + 225°)
= - sin(2π + 225°)
= - sin225°
= - sin(180° + 45°)
= - sin(π + 45°)
= sin45°
= 1/√2

প্রশ্ন- একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 16 বর্গ সেমি হলে, ঐ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান- 
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = √16 = 4 সেমি
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = 4√2 সেমি

বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য  = কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য
∴ কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (4√2)²   বর্গ সেমি
=  32 বর্গ সেমি

প্রশ্ন: cos{(8π)/3} = কত?

সমাধান:
cos{(8π)/3}
= cos(3π - π/3​)
= cos(π - π/3​)
= - cos(π/3​)
= - cos60°
= - 1/2

প্রশ্ন: কোন ঘনকের একটি পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য ৮√২ সে.মি. হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
ঘনকের ধার, a
ঘনকটির পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √২ক
এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য = √৩ক

প্রশ্নানুসারে,
√২ক = ৮√২
∴ ক = ৮

কর্ণের দৈর্ঘ্য = √৩ × ৮ = ৮√৩ সে.মি.

প্রশ্ন: cos⁴x - sin⁴x = কত?

সমাধান:
cos⁴x - sin⁴x
= (cos²x)² - (sin²x)²
= (cos⁡²x + sin⁡²x)(cos⁡²x - sin⁡²x)
= 1 . (cos⁡²x - sin⁡²x)
= cos²x - sin²x
= cos⁡²x - (1 - cos⁡²x)
= 2cos^⁡2x - 1
= - 1 + 2cos⁡²x

প্রশ্ন: θ = 30° এবং a = 2 হলে, c এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
cos⁡30° = a/c
⇒ c = a/cos⁡30° = 2/(√3/2) = 4/√3 = (4√3)/3

প্রশ্ন: যদি sin⁡θ = 2/√13​ এবং cos⁡θ = 3/√13 হয়​, তাহলে tan⁡θ এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
tan⁡θ
= sinθ/cosθ
= (2/√13)/(3/√13)
= 2/3

প্রশ্ন: একটি নিরেট সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ ১৪ মিটার এবং উচ্চতা ৩.৫ মিটার। সিলিন্ডারটি যে ধাতুর তৈরি সেই ধাতুর মূল্য প্রতি ঘন মিটারে ৫০ টাকা হলে সিলিন্ডারে ব্যবহৃত মোট ধাতুর জন্য খরচ কত হবে?

সমাধান:
সিলিন্ডারের আয়তন
= πr^২h
= (২২/৭) × (১৪ × ১৪) × ৩.৫ ঘন মিটার
= ২১৫৬ ঘন মিটার

∴ ধাতুর জন্য খরচ:
= (২১৫৬ × ৫০) টাকা
= ১০৭৮০০ টাকা

প্রশ্ন:

সমাধান:
আমরা জানি,

সুতরাং,

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার বাগানের চারপাশ ঘিরে ৩ মি. প্রস্থ বিশিষ্ট রাস্তা আছে। রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল ২৫৬ বর্গ মিটার হলে রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
বর্গাকার বাগানের একবাহুর দৈর্ঘ্য x মিটার
৩ মিটার রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = (x + ৩ + ৩) = (x + ৬) মিটার

প্রশ্নমতে,
(x + ৬)^২ = ২৫৬
⇒ (x + ৬)^২ = (১৬)^২
⇒ x + ৬ = ১৬
⇒ x = ১৬ - ৬
∴ x = ১০ 

রাস্তাসহ বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = ২৫৬ বর্গমিটার
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (২৫৬ - ১০০) বর্গমিটার
= ১৫৬ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: ১ মিটার বাহু বিশিষ্ট একটি ঘনক আকৃতির বক্সে ১০ সে.মি. বাহু বিশিষ্ট কতটি ঘনক রাখা যাবে?

সমাধান:
১ মিটার = ১০০ সে.মি. বাহু বিশিষ্ট ঘনক আকৃতির বক্সের আয়তন = (১০০)^৩ ঘন সে.মি.
= ১০০০০০০ ঘন সে.মি.

১০ সে.মি. বাহু বিশিষ্ট ঘনকের আয়তন = (১০)^৩ ঘন সে.মি.
= ১০০০ ঘন সে.মি.

∴ বক্সে ঘনক রাখা যাবে = বড় ঘনকের আয়তন / ছোট ঘনকের আয়তন
= ১০০০০০০/১০০০
= ১০০০ টি

প্রশ্ন: 18 মিটার উঁচু একটি গাছ h উচ্চতায় এমনভাবে ভেঙে গেল যে, ভাঙ্গা অংশটি মাটির সাথে 30 ডিগ্রী কোণে মিলিত হলো। গাছটি কত উঁচুতে ভেঙেছিল?

সমাধান:

sin30° = AC/BC
⇒ 1/2 = h/(18 - h)
⇒ 2h = 18 - h
⇒ 3h = 18 
∴ h = 6
∴ গাছটি 6 মিটার উঁচুতে ভেঙেছিল।

প্রশ্ন: ৫ মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি কাঁচের গোলককে গলিয়ে ১ মিটার ব্যাসার্ধের কতগুলো গোলক বানানো যাবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
বড় গোলকের ব্যাসার্ধ, R = ৫ মিটার
ছোট গোলকের ব্যাসার্ধ, r = ১ মিটার

গোলক বানানো যাবে = বড় গোলকের আয়তন/ ছোট গোলকের আয়তন
= {(৪/৩)πR^৩}/{(৪/৩)πr^৩}
= R^৩/r^৩
= ৫^৩/১^৩
= ১২৫
∴ ১২৫টি গোলক বানানো যাবে।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 4 সে.মি. এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাস 4 সে.মি.
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 2 সে.মি.
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 60°

আমরা জানি,
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (πr²θ)/360°
= (π × 2² × 60°)/360°
= (2π)/3

∴ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (2π)/3 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: cos 60°. cos 30° + sin 60°. sin 30° = কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
cos(A - B) = cosA. cosB + sinA . sinB

এখন,
cos 60°. cos 30° + sin 60°. sin 30°
= cos(60° - 30°)
= cos 30°
= √3/2

প্রশ্ন: একটি কোণকের উচ্চতা ১২ সে.মি. এবং আয়তন ১০০π ঘন সে.মি. হলে, হেলানো তলের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
h = 12 cm
v = 100π cm³

ধরি,
ব্যাসার্ধ = r

v = (1/3)πr²h
⇒ r² = 3v/(πh)
⇒ r² = (3 × 100π)/(π × 12)
⇒ r² = 25
∴ r = 5

হেলনো তলের দৈর্ঘ্য = √{(12)² + (5)²}
= √(144 + 25)
= √169
= 13 cm

প্রশ্ন: যদি a.sin45° = b.cosec30° হয়, তাহলে a⁴/b⁴ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a.sin45° = b.cosec30°
⇒ a/b = cosec30°/sin45°
⇒ a/b = 2/(1/√2)
⇒ a/b = 2√2
⇒ a⁴/b⁴ = (2√2)⁴
⇒ a⁴/b⁴ = 64
⇒ a⁴/b⁴ = 4³

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকার প্রিজমের ভূমির বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 6, 8 ও 10 সে.মি. এবং উচ্চতা 8 সে.মি.। ইহার আয়তন কত?

সমাধান:
প্রিজমের ভূমির বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 6, 8 ও 10 সে.মি.
যেহেতু 6² + 8² = 10²,
ইহার ভূমি একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ক্ষেত্রফল = (1/2) × 6 × 8 = 24 বর্গ সে.মি.

সুতরাং, প্রিজমটির আয়তন = 24 × 8 = 192 ঘন সে.মি.