প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

প্রশ্ন: "SYLLABUS" শব্দটিরর বর্ণগুলো কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
"SYLLABUS" শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে = 8টি
A এবং S আছে 2টি করে এবং বাকিগুলো ভিন্ন।

∴ মোট সাজানোর উপায় = 8!/(2! × 2!)
= 10080

প্রশ্ন: M = {x : x, 20 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং N = {x : x, 5 এর গুনিতক এবং x ≤ 20} হলে M - N = কত?

সমাধান:
এখানে, M = {x : x, 30 এর গুণনীয়কসমূহ}
20 এর গুণনীয়কসমূহ = 1, 2, 4, 5, 10, 20
∴ M = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

N = {x : x, 5 এর গুনিতক এবং x ≤ 20}
5 এর গুনিতকসমূহ = 5, 10, 15, 20, ....
∴ N = {5, 10, 15, 20}

∴ M - N = {1, 2, 4, 5, 10, 20} - {5, 10, 15, 20}
= {1, 2, 4}

প্রশ্ন: 2025 সালের মে মাসের ২য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট 5 দিন। ঐ সপ্তাহে সোমবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
এক সপ্তাহে আছে = 7 দিন
বৃষ্টি হয়েছে = 5 দিন

∴ যেকোনো একদিন বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = 5/7
তাহলে, সোমবার বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = 5/7

∴ সোমবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা= 1 - (5/7)
= (7 - 5)/7
= 2/7

প্রশ্ন: প্রত্যেক সংখ্যায় প্রত্যেক অংক কেবলমাত্র একবার ব্যবহার করে 1, 0, 8, 2, 4, 6 অংকগুলো দিয়ে কতগুলো অর্থপূর্ণ চার অংকের সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
চার অঙ্কবিশিষ্ট পূর্ণসংখ্যা = ⁶P₄ = 360
0 প্রথমে থাকলে গঠিত সংখ্যা অর্থপূর্ণ হয় না এরূপ সংখ্যা = ⁵P₃ = 60

∴ অর্থপূর্ণ চার অংকের সংখ্যা গঠন করা যাবে = 360 - 60 টি
= 300 টি

প্রশ্ন: A = {y : y পূর্ণবর্গ সংখ্যা এবং y ≤ 30} হলে, সেট A-এর উপাদান সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
y পূর্ণবর্গ সংখ্যা হলে,
পূর্ণবর্গ সংখ্যার সেট = {1, 4, 9, 16, 25, 36, .........}

y ≤ 30 হলে,
y এর মান 30 এর সমান বা ছোট সংখ্যার সেট = {1, 2, 3, ..., 30}

∴ A = {1, 4, 9, 16, 25, 36, .........} ∩ {1, 2, 3, ..., 30}
= {1, 4, 9, 16, 25}
∴ সেট A-এর উপাদান সংখ্যা 5 টি

প্রশ্ন: ১ থেকে ২২ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?

সমাধান:
১ থেকে ২২ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, ১৮, ২১

∴ ১ থেকে ২২ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক = ১২

প্রশ্ন: "PREVIOUS" শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
"PREVIOUS" শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে = 8টি, 
Vowel আছে = 4টি
Vowel চারটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ = 5টি
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!
Vowel চারটি সাজানো যায় = 4! = 24

∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 5! × 24
= 120 × 24
= 2880

প্রশ্ন: A সেটের প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা 63 হলে, A সেটের উপাদান সংখ্যা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
উপাদানের সংখ্যা n হলে প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ - 1

প্রশ্নমতে,
2ⁿ - 1 = 63
⇒ 2ⁿ = 63 + 1
⇒ 2ⁿ = 64
⇒ 2ⁿ = 2⁶
∴ n = 6

প্রশ্ন: 52টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে দৈবভাবে 1টি তাস টানা হলে তাসটি সাহেব বা বিবি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি তাসের প্যাকেটে মোট তাস = 52 টি
সাহেবের সংখ্যা = 4 টি
বিবির সংখ্যা = 4 টি

∴ তাসটি সাহেব বা বিবি হওয়ার সম্ভাবনা = (4 + 4)/52
= 2/13

∴ তাসটি সাহেব বা বিবি না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (2/13)
= (13 - 2)/13
= 11/13

প্রশ্ন: স্বরবর্ণগুলোকে কেবল জোড় স্থানে রেখে "BECOMES" শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যায়?

সমাধান:
এখানে, "BECOMES" শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে = 7টি
স্বরবর্ণ আছে (E, O, E) 3টি এবং যার মধ্যে 2টি E এবং 1টি O.
ব্যঞ্জনবর্ণ আছে = 4টি

স্বরবর্ণ 3টি জোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 3!/2! = 3
বাকি 4টি বর্ণ 4টি বিজোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = ⁴P₄ = 4! = 24

∴ স্বরবর্ণগুলোকে কেবল জোড় স্থানে রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা = 3 × 24 = 72

প্রশ্ন:  সেট  Q = {3, 6, 9, 12, 18} হলে, সেট গঠন পদ্ধতিতে এর প্রকাশ কোনটি?

সমাধান:
এখানে সেটের প্রত্যেকটি উপাদান পূর্ণসংখ্যা,
3 এর চেয়ে ছোটো নয় আবার 18 এর চেয়ে বড়ো নয় এবং 3 এর গুণিতক।

সুতরাং সেট গঠন পদ্ধতি হবে,
Q = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা, 3 এর গুণিতক, 3 ≤ x ≤ 18}

প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে তাদের যোগফল 8 হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কা দুইবার নিক্ষেপ করলে মোট ঘটনা = (6 × 6) = 36
8 হওয়ার ঘটনা = {(6, 2), (5, 3), (4, 4), (3, 5), (2, 6)} = 5 টি

∴ যোগফল 8 হওয়ার সম্ভাবনা = 5/36

প্রশ্ন: একটি ক্লাসের 12 জন শিক্ষার্থীর মধ্য থেকে প্রতিবার 4 জন নিয়ে কতটি কমিটি গঠন করা যায়, যেখানে 3 জন ছাত্রী কোন কমিটিতে থাকবেনা?

সমাধান:
3 জনকে সর্বদা বাদ দিয়ে 4 জনের কমিটি গঠনের উপায়,
= ^{(12 - 3)}C₄
= ⁹C₄
= 126

প্রশ্ন: X = {x ∈ Z : - 5 < x < 10} এবং Y = {x ∈ N: x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 16} হলে, X ∩ Y নির্ণয় করুন?

সমাধান:
শর্তানুযায়ী,
X = {x ∈ Z : - 5 < x < 10} = {- 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
এবং Y = {x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 16} = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}

∴ X ∩ Y = {- 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ∩ {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
= {2, 4, 6, 8}

প্রশ্ন: 9 টি বিন্দু ‍দিয়ে কতগুলো ত্রিভুজ গঠন করা যায়?

সমাধান:
তিনটি বিন্দু দিয়ে গঠিত হয় ত্রিভুজ।

∴ 9 টি বিন্দু ‍দিয়ে ত্রিভুজ গঠন করা যায় = ⁹C₃
= 84

প্রশ্ন: "ADVANCED" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা "FRESH" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
"ADVANCED" শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8টি যার মধ্যে, A আছে 2টি, এবং D আছে 2 টি।
∴ "ADVANCED" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 8!/(2! · 2!) = 10080

"FRESH" শব্দে মোট 5টি বর্ণ আছে এবং সবগুলো ভিন্ন ভিন্ন।
∴ শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 5! = 120

∴ "ADVANCED" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা "FRESH" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার 10080/120 = 84 গুণ

প্রশ্ন: P = {1, 2, 3, 4}, Q = {4, 5} এবং R = P ∩ Q হলে R × Q = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = {1, 2, 3, 4}, এবং Q = {4, 5}
এবং R = P ∩ Q = {1, 2, 3, 4} ∩ {4, 5} = {4}

∴ R × Q = {4} × {4, 5}
= {(4, 4), (4, 5)}

প্রশ্ন: একটি থলেতে 6 টি নীল মার্বেল, 14 টি সবুজ মার্বেল এবং 16 টি কালো মার্বেল আছে। থলে থেকে দৈবভাবে একটি মার্বেল নেওয়া হলে মার্বেলটি নীল হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট মার্বেল আছে = (6 + 14 + 16) টি = 36 টি
নীল মার্বেল আছে = 6 টি

∴ মার্বেলটি নীল হওয়ার সম্ভাবনা = 6/36
= 1/6

প্রশ্ন: 8 জন বালক ও 4 জন বালিকা থেকে 4 জন বালক ও 2 জন বালিকা বিশিষ্ট দল কত উপায়ে গঠন করা যাবে?

সমাধান:
৬ জন বালক থেকে ৫ জন বাচাই করা যায় = ⁸C₄ = 70 উপায়ে
৩ জন বালিকা থেকে ২ জন বাচাই করা যায় = ⁴C₂ = 6 উপায়ে

∴ দল গঠন করার মোট উপায় = 70 × 6 = 420 উপায়ে

প্রশ্ন: তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করা হলে কমপক্ষে 2 টি হেড পাওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করলে মোট নমুনা বিন্দু হবে = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} = 8 টি
2 টি হেড পাওয়ার অনুকূল ঘটনাগুলো = {HHH, HHT, HTH, THH} = 4 টি

∴ কমপক্ষে 2 টি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা = 4/8
= 1/2

প্রশ্ন: ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯, ১৯, ১২, ১৫, ১৪, ২০ সংখ্যা গুলোর প্রচুরক কোনটি?

সমাধান:
- কোনো উপাত্তের মাঝে একটি উপাত্ত সর্বোচ্চ সংখ্যকবার থাকলে তাকে প্রচুরক বলে।
- এখানে সবগুলো উপাত্ত একই সংখ্যকবার বিদ্যমান, তাই প্রচুরক নেই।

প্রশ্ন: একজন ছাত্রের কোন পরীক্ষায় 12টি প্রশ্ন হতে 6টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হয়। তাকে প্রথম 5টি প্রশ্ন হতে ঠিক 4টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হয়। কতভাবে সে প্রশ্নগুলোর উত্তর দিতে পারবে?

সমাধান:
5টি প্রশ্ন থেকে 3টি প্রশ্ন বাছাই করা যায় = ⁵C₄
7টি প্রশ্ন থেকে 3টি প্রশ্ন বাছাই করা যায় = ⁷C₂

∴ প্রশ্ন বাছাই করা যায় = ⁵C₄ × ⁷C₂
= (5 × 21) উপায়ে
= 105 উপায়ে

প্রশ্ন: "GERMANY" শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করা যায়, যেন প্রত্যেক বিন্যাসের প্রথমে একটি ব্যঞ্জনবর্ণ থাকে?

সমাধান:
"GERMANY" শব্দটিতে মোট 7টি বিভিন্ন বর্ণ আছে যাদের মধ্যে 2টি স্বরবর্ণ এবং 5টি ব্যঞ্জনবর্ণ।
শব্দের ১ম শূণ্যস্থানটি ব্যঞ্জনবর্ণ দিয়ে পূর্ণ করার উপায় = ⁵P₁ = 5

অবশিষ্ট ছয়টি শূণ্যস্থান পূর্ণ করা যায় 6! = 720 উপায়ে।

∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = (720 × 5)
= 3600

প্রশ্ন: ⁷C₅ + ⁷C₄ + ⁸C₄ = কত?

সমাধান:
⁷C₅ + ⁷C₄ + ⁸C₄
= ⁸C₅ + ⁸C₄ [যেহেতু ⁿC_r + ⁿC_{r - 1} = ^{n + 1}C_r]
= ⁹C₅
= 126