Math Master

এখানে d₂ = 5d₁
আমরা জানি,
a₁ = π/4×d₁²
এবং a₂ = π/4×d₂² = π/4×(5d₁)² = 25×π/4×d₁² = 25a₁

ধরি, প্রস্থ = x মি.
∴ দৈর্ঘ্য = (x + 2) মি.
প্রশ্নমতে,
2 (x + x + 2) = 28
বা, 2x + 2 = 14
বা, 2x = 12
∴ x = 6
∴ দৈর্ঘ্য = (6 + 2) মি. = 8 মি.

আমরা জানি,
ত্রিভুজের দুই বাহু দেওয়া থাকলে এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ দেওয়া থাকলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1/2×বাহুদ্বয়ের গুনফল×sinθ = 1/2(11×12×sin60) = 57.157 বর্গমি.

প্রশ্নমতে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1400 বর্গ মি.
বা, (b/4)×√(4a² - b²) = 1400
বা, (100/4)×√(4a² - 100²) = 1400
∴ a = 57.306 মি.

ধরি, অপর বাহুটি = x
∴ ১ম বাহু = x এর 5/6 = 5x/6
প্রশ্নমতে,
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
বা, 30² = x² + (5x/6)²
বা, 900 = x² + (25x²/36)
বা, 900 = 61x²/36
∴ x = 23.046 মি.
বা, অপর বাহুটি = x = 23.046 মি.
∴ ১ম বাহু = x এর 5/6 = 5x/6 = (5/6)× 23.046 মি. = 19.20 মি.

আমরা জানি,
(আয়তক্ষেত্রের কর্ণ)² = (দৈর্ঘ্য)² + (প্রস্থ)²
বা, 7.5² = (দৈর্ঘ্য)² + 4.5²
∴ দৈর্ঘ্য = 6 ft
∴ ক্ষেত্রফল = 6×4.5 = 27 ft²

আমরা জানি,
(বর্গক্ষেত্রের কর্ণ)² = (দৈর্ঘ্য)² + (প্রস্থ)² = a² + a² = 2a²
∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √2a

Given, length - width = 23……….(1)
ATQ, 2( length + width) = 206
Or, length + width = 103………(2)
Adding (1) and (2) we get,
2( length) = 126
∴ length = 63 m
From eqn..(1)
Width = 40 m
∴ Area = 63×40 = 2520 m²

ধরি, প্রস্থ = x
∴ দৈর্ঘ্য = 6x/5 = 1.2x
প্রশ্নমতে,
x × 1.2x = 400
বা, 1.2x² = 400
বা, x² = 400/1.2 = 333.33
∴ x = 18.26 m
সুতরাং প্রস্থ = 18.26 m এবং দৈর্ঘ্য = 1.2×18.26 m = 21.90 m
∴পরিসীমার ও কর্ণের দৈর্ঘ্য এর মধ্যে পার্থক্য = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) - √(দৈর্ঘ্য² + প্রস্থ²) = 2(21.90 + 18.26) - √(21.90² + 18.26²) = 80.32 - 28.52 = 51.80 m

∴ PR² = PQ² + QR² ⇒ 32² = 25² + QR²
∴ QR = √399
সুতরাং ক্ষেত্রফল = (1/2)×QR×PQ = (1/2)×√399×25 = 12.5√399 cm²

আমরা জানি, n সংখ্যক বাহু বিশিষ্ট সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রফল (যেখানে a=বাহুর দৈর্ঘ্য) =(na²/4)cot(180º/n) =(5×4²/4)×cot(180º/5) = 27.528 cm².

প্রশ্নমতে,
πr² = 24.64
বা, r = 2.80 m
∴ পরিধি = 2πr = 2π×2.80 = 17.60মি.

চাকাটি একবারে অতিক্রম করে তার পরিধির সমান দুরত্ব।
∴ পরিধি = 2πr = πD = π×4.5 = 14.14 মি.
∴ চাকাটি 360 মি. পথ অতিক্রম করতে ঘুরবে = 360/14.14 = 25.46 = 25 বার

আমরা জানি, ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 6a²
বা, 6a² = 96
∴ a = 4 মি.

ত্রিভুজের তিনটি বাহু কে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি = (180-60)°+(180-60)°+(180-60)° = 360°।

সঠিক উত্তরঃ 210m²
অপশন গুলোতে সঠিক উত্তর নেই। তাই প্রশ্নটি বাতিল করা হলো।
ব্যাখ্যাঃ ধরি, a = 20m, b = 21m এবং c = 29m
ত্রিভুজ আকৃতি মাঠের অর্ধপরিসীমা = (a+b+c)/2 = (20+21+29)/2 = 35m
সুতরাং ত্রিভুজ আকৃতি মাঠের ক্ষেত্রফল = √(s(s - a)(s - b)(s - c))
= √(35(35 - 20)(35 - 21)(35 - 29))
= 210 m²

∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2)× রম্বসের কর্ণ দুইটির গুনফল = (1/2)×16×12 = 96 cm².

প্রশ্নমতে,
πr² = a²
⇒ π×14² = a²
∴ a = 24.81 cm

আমরা জানি, বৃত্তের পরিধি = 2πr
বা, 44 = 2πr
∴ r = 7 cm
সুতরাং সিলিন্ডারটির আয়তন = πr²h = π×7²×1/49 = π cm².