১৪তম - ২০তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: m ঋণাত্মক(m < 0) এবং x < y হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান: 
x < y
mx > my [উভয়পক্ষকে m দ্বারা গুণ করে পাই]

প্রশ্ন: (2x - 1)(x + 3) = 2x(x + 1) হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
(2x - 1)(x + 3) = 2x(x + 1)
বা, 2x² - x + 6x - 3 = 2x² + 2x
বা, 2x² - 2x² + 5x - 2x = 3
বা, 3x = 3
বা, x = 3/3
∴ x = 1

প্রশ্ন: (x + y, -1) = (5, x - y) হলে (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
x + y = 5 .......... (1)
x - y = - 1 ........... (2)

(1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
x + y + x - y = 5 - 1
বা, 2x = 4
∴ x = 2

(1) নং এ x এর মান বসাই,
y = 5 - 2
∴ y = 3

∴(x, y) = (2, 3)

প্রশ্ন: (5x/6) + 3 = (x/3) + 10 হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
(5x/6) + 3 = (x/3) + 10
বা, (5x + 18)/6 = (x + 30)/3
বা, 5x + 18 = 2x + 60
বা, 5x - 2x = 60 - 18
বা, 3x = 42
∴ x = 14

প্রশ্ন: - x + 3 > - 5 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান: 
- x + 3 > - 5
বা, - x + 3 - 3 > - 5 - 3
বা, - x > - 8
∴ x < 8

প্রশ্ন: 6x² - 7x - 4 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ে প্রকৃতি কেমন?

সমাধান:
6x² - 7x - 4 = 0 সমীকরণটির নিশ্চায়ক নির্ণয় করে পাই।

নিশ্চায়ক = (- 7)² -  4 × 6 × (- 4)
= 49 + 96
= 145 > 0

যেহেতু নিশ্চায়ক ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা। তাই মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।

দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b² - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
2. যদি b² - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
3. যদি b² - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
4.  যদি b² - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোন সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি ৭। অঙ্ক দুইটি স্থান পরিবর্তন করলে যে সংখ্যাটি পাওয়া যায়, উহা প্রদত্ত সংখ্যা হতে ২৭ কম। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি,
দশক স্থানীয় অঙ্ক = ক
একক স্থানীয় অঙ্ক = খ
∴ সংখ্যাটি = ১০ক + খ
এবং ক + খ = ৭.....(i)

প্রশ্নমতে,
১০ক + খ - ১০খ - ক = ২৭
বা, ৯ক - ৯খ = ২৭
বা, ৯(ক - খ) = ২৭
∴ ক - খ = ৩.......(ii)

(i), (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
ক + খ + ক - খ = ৭ + ৩
বা, ২ক = ১০
বা, ক = ৫

ক এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
৫ + খ = ৭
খ = ৭ - ৫
খ = ২

∴ সংখ্যাটি = (১০ × ৫) + ২
= ৫০ + ২
= ৫২

প্রশ্ন: Ιx - 3Ι < 2 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 3x + 1 < n হবে?

সমাধান: 
Ιx - 3Ι < 2
বা, - 2 < x - 3 < 2
বা, - 2 + 3 < x - 3 + 3 < 2 + 3
বা, 1 < x < 5
বা, 3 < 3x < 15
বা, 3 + 1 < 3x + 1 < 15 + 1
∴ 4 < 3x + 1 < 16

∴ m = 4 এবং n = 16 হলে, m < 3x + 1 < n হবে।

প্রশ্ন: 2a² - 3a + c = 0 সমীকরণের একটি মূল যদি - 3 হয়, তাহলে  c এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
একটি মূল = - 3 
অর্থাৎ, a = - 3

এখন,
2a² - 3a + c = 0
বা, 2(- 3)² - 3 × (- 3) + c = 0
বা, 18 + 9 + c = 0
বা, 27 + c = 0
∴ c = - 27

প্রশ্ন: x > y, y < z, z > x হলে নিচের কোন সম্পর্কটি সঠিক?

সমাধান: 
যেহেতু 
y < z এবং z > x
অর্থাৎ z এর মান x ও y থেকে বড়।

x > y
অর্থাৎ x এর মান y থেকে বড়।

তাই,
z > x > y

প্রশ্ন: 3x - 2 = 2x - 1 হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
3x - 2 = 2x - 1
বা, 3x - 2x = - 1 + 2
∴ x = 1

প্রশ্ন: যদি 2x² + px + 2 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হয় এবং p>0 হয় তাহলে p এর মান কত?

সমাধান:
যেহেতু সমীকরণের মূলদ্বয় সমান তাই,
দ্বীঘাত সমীকরণের নিশ্চায়ক b² = 4ac হবে।
∴ p² = 4 × 2 × 2
∴ p = 4

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার তিনগুণের সাথে ৩ যোগ করলে যোগফল সংখ্যাটি অপেক্ষা ৯ বেশি হবে। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
৩ক + ৩ = ক + ৯
বা, ৩ক - ক = ৯ - ৩
বা, ২ক = ৬
∴ ক = ৩

প্রশ্ন: 5x + 3 ≤ 2x - 9 হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
5x + 3 ≤ 2x - 9
বা, 5x + 3 - 2x ≤ 2x - 9 - 2x
বা, 3x + 3 ≤ - 9
বা, 3x + 3 - 3 ≤ - 9 - 3
বা, 3x ≤ - 12
∴ x ≤ - 4

প্রশ্ন: x + y = - 6 এবং 2x - y - 9 = 0 সরলরেখা দুটি কোন বিন্দুতে ছেদ করে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে
x + y = - 6 ......................(1)
2x - y - 9 = 0
2x - y = 9..................(2)

(1) এবং (2) সমীকরণ দুটি যোগ করে পাই,
x + y + 2x - y= - 6 + 9
বা, 3x = 3
বা,  3x = 3
∴ x = 1

x- এর মান (1)  সমীকরণে বসিয়ে পাই,
1 + y = - 6
∴ y = - 7
সরলরেখা দুটি (1, - 7) বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রশ্ন: একটি থলেতে ২৫ পয়সা, ১০ পয়সা এবং ৫ পয়সার মুদ্রা ৩ : ৪ : ৫ অনুপাতে আছে। যদি সবগুলো মিলিয়ে ২৮ টাকা হয়, তাহলে ৫ পয়সার মুদ্রা কয়টি?

সমাধান: 
ধরি,
২৫ পয়সার মুদ্রা = ৩ক টি
১০ পয়সার মুদ্রা = ৪ক টি
৫ পয়সার মুদ্রা = ৫ক টি

প্রশ্নমতে,
(৩ক × .২৫) + (৪ক × .১০) + (৫ক × .০৫) = ২৮
বা, ০.৭৫ক + ০.৪০ক + ০.২৫ক = ২৮
বা, ১.৪ক = ২৮
বা, ক = ২৮/১.৪
বা, ক = ২৮০/১৪
∴ ক = ২০

∴ ৫ পয়সার মুদ্রা = ৫ × ২০ = ১০০ টি।

প্রশ্ন: 3x - 2 > 2x - 1 এর সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান: 
3x - 2 > 2x - 1
বা, 3x - 2 - 2x > 2x - 1 - 2x
বা, x - 2 > - 1
বা, x - 2 + 2 > - 1 + 2
∴ x > 1

∴ নির্ণেয় সমাধান সেট = (1, ∞)

প্রশ্ন:
 

সমাধান: 

প্রশ্ন: হিমেলের ওজন যদি 17 কেজি কমে যায় তবে তার ওজন আরিফের ওজনের অর্ধেক হয়ে যাবে। তাদের দুইজনের ওজনের যোগফল 140 কেজি হলে হিমেলের ওজন কত?

সমাধান: 
ধরি,
হিমেলের ওজন = ক কেজি।
তাহলে আরিফের ওজন = (১৪০ - ক) কেজি

প্রশ্নমতে,
ক - ১৭ = (১৪০ - ক)/২
বা, ২ক - ৩৪ = ১৪০ - ক
বা, ২ক + ক = ১৪০ + ৩৪
বা, ৩ক = ১৭৪
∴ ক = ৫৮

∴ হিমেলের ওজন  = ৫৮ কেজি

প্রশ্ন:


সমাধান: 

প্রশ্ন: x² - 5x + 6 < 0 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
x²  - 5x + 6 < 0
বা, x² - 3x - 2x + 6 < 0
বা, x(x - 3) - 2(x - 3) < 0
বা, (x - 3)(x - 2) < 0

উপরের গাণিতিক বাক্যটি সত্য হবে যদি যেকোন একটি উৎপাদক ঋণাত্বক বা শূন্য থেকে ছোট হয়।
< দ্বারা বুঝায় x এর মান 2 এবং 3 এর মাঝখানে।
অর্থাৎ 2 < x < 3

প্রশ্ন: একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল 2 ও - 4 হলে, সমীকরণটি - 

সমাধান: 
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল 3 ও - 5 হলে, সমীকরণটি নিম্নরুপঃ
x² - (মূলদ্বয়ের যোগফল)x + মূলদ্বয়ের গুণফল = 0 
বা, x² - (2 - 4)x + (2 × - 4) = 0
বা, x² + 2x - 8 = 0
∴ x² + 2x - 8 = 0

প্রশ্ন: {1/(x - 1)} + {2/(x - 2)} = 3/(x - 3) হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 

প্রশ্ন: Ιx - 2Ι ≤ 5 হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান: 
Ιx - 2Ι ≤ 5
= - 5 ≤ x - 2 ≤ 5
= - 5 + 2 ≤ x - 2 + 2 ≤ 5 + 2
= - 3 ≤ x ≤ 7

∴ x এর সর্বোচ্চ মান 7