১০০ দিনে বিসিএস প্রস্তুতি [বিষয়ভিত্তিক]

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা: যে সকল সংখ্যাকে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় তাই মূলদ সংখ্যা। অর্থাৎ, যে সকল সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায়, সে সকল সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়। যেখানে p এবং q উভয়ই পূর্ণসংখ্যা এবং q শূন্য নয় এমন সংখ্যা।

এখানে,
√৭/২ ; একটি অমূলদ সংখ্যা। [√৭ পূর্ণ সংখ্যা নয়]
√৫ ; একটি অমূলদ সংখ্যা। [√৫ পূর্ণ সংখ্যা নয়]
√৩/৬ ; একটি অমূলদ সংখ্যা। [√৩ পূর্ণ সংখ্যা নয়]

√৩৬/৫ = ৬/৫ ; একটি মূলদ সংখ্যা। [সংখ্যাটিকে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, এবং ৬ ও ৫ উভয়ই পূর্ণ সংখ্যা]

প্রশ্ন:
 

সমাধান:

প্রশ্ন: ∣x + 2∣ ≤ 6 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ ∣x + 2∣ ≤ 6
⇒  - 6 ≤ x + 2 ≤ 6
⇒ - 6 - 2 ≤ x + 2 - 2 ≤ 6 - 2
⇒ - 8 ≤ x ≤ 4

প্রশ্ন: রিতুর বয়স টিপুর বয়সের ৫ গুণ। টিপুর বর্তমান বয়স ৫ বছর। যখন রিতুর বয়স টিপুর বয়সের দ্বিগুণ হবে তখন রিতুর বয়স কত হবে?

সমাধান:
টিপুর বর্তমান বয়স ৫ বছর হলে রিতুর বর্তমান বয়স = ৫ × ৫ = ২৫ বছর।
ধরি, ক বছর পরে রিতুর বয়স টিপুর বয়সের দ্বিগুণ হবে।

প্রশ্নমতে,
২ × (৫ + ক) = ২৫ + ক
⇒ ১০ + ২ক = ২৫ + ক
⇒ ২ক - ক = ২৫ - ১০
∴ ক = ১৫

সুতরাং, যখন রিতুর বয়স টিপুর বয়সের দ্বিগুণ হবে, তখন রিতুর বয়স হবে ২৫ + ১৫ = ৪০ বছর

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ও ল.সা.গু যথাক্রমে ২ ও ৪৭৬। একটি সংখ্যা ৩৪ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
অপর সংখ্যাটি = ক

আমরা জানি,
গ.সা.গু × ল.সা.গু = একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা
⇒ ২ × ৪৭৬ = ৩৪ × অপর সংখ্যা
∴ অপর সংখ্যা = (২ × ৪৭৬)/৩৪
= ২৮

প্রশ্ন: (4a + 6b)² + 2(4a + 6b)(3b - 4a) + (3b - 4a)² = কত?

সমাধান:
ধরি,
4a + 6b = x
এবং, 3b - 4a = y

∴ প্রদত্ত রাশি = x² + 2xy + y²
= (x + y)²
= (4a + 6b + 3b - 4a)²
=(9b)²
= 81b²

প্রশ্ন: একটি সামন্তরিক ABCD এর ∠B ও ∠D পরস্পর বিপরীত এবং ∠B এর মান 68° হলে, ∠A + ∠C এর মান কত ?

সমাধান:


আমরা জানি,
সামন্তরিকের পাশাপাশি দুটি কোণের সমষ্টি 180° হয়
∠A + ∠B = 180°
⇒ ∠A = 180°- ∠B
⇒ ∠A = 180°- 68°
∴ ∠A = 112°

যেহেতু সামন্তরিকের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান
∴ ∠A = ∠C
∴ ∠C = 112°

∴ ∠A + ∠C = 112° + 112°
= 224°

প্রশ্ন: চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার পার্থক্য কত?

সমাধান:
চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯
চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০

পার্থক্য = ৯৯৯৯ - ১০০০
= ৮৯৯৯

প্রশ্ন: p³ + q³ = 72, p + q = 6 হলে, pq = কত?

সমাধান:
p³ + q³ = (p + q)³ - {3pq × (p + q)}
⇒ 72 = 6³ - (3pq × 6)
⇒ 72 = 216 - 18pq
⇒ 18pq = 216 - 72
⇒ pq = 144/18
∴ pq = 8

প্রশ্ন: ০, ২, ৮, ৩, ৯, ৭ সংখ্যাগুলো একবার ব্যবহারে করে তিন অঙ্কবিশিষ্ট কয়টি অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যবে?

সমাধান:
প্রথম সংখ্যা ০ ব্যাতিত অন্য কোনো সংখ্যা হতে হবে।
তাহলে বাকি ৫ টি সংখ্যা থেকে ১ টি সাজানোর সম্ভাবনা = ^৫P_১ = ৫

প্রথম স্থান পূরণের পর বাকি ৫ টি অঙ্কথেকে ২ টি স্থান পূরণ করা যাবে = ^৫P_২ = ২০ উপায়ে।

∴ মোট সংখ্যা গঠন করা যাবে = ৫ × ২০ = ১০০টি

প্রশ্ন: x এর মান কত হলে 3(4x + 7) = - (x + 31) হবে?

সমাধান:
3(4x + 7) = - (x + 31)
বা, 12x + 21 = - x - 31
বা, 12x + x = - 31 - 21
বা, 13x = - 52
বা, x = - 52/13
∴ x = - 4

প্রশ্ন: A = {x : x² + 7x - 18 = 0} সেটটিকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করলে কোনটি হবে?

সমাধান:
এখানে,
x² + 7x - 18 = 0
⇒ x² + 9x - 2x - 18 = 0
⇒ x(x + 9) - 2(x + 9) = 0
⇒ (x + 9)(x - 2) = 0

হয় x + 9 = 0 অথবা x - 2 = 0
∴ x = - 9 অথবা 2

∴ A = {- 9, 2}

প্রশ্ন: - 5 - 1 + 3 + 7 + 11 + ................ ধারাটির 15 তম পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা যার,
প্রথম পদ, a = - 5
সাধারন অন্তর, d = - 1 + 5 = 4

আমরা জানি,
n পদের সমষ্টি, S_n = (n/2) × {2a + (n - 1)d}
15 তম পদের সমষ্টি, S₁₅ = (15/2) × {2(- 5) + (15 - 1)4}
= (15/2) × {- 10 + 56}
= (15/2) × (46)
= 15 × 23
= 345

প্রশ্ন: ৯০ এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর প্রচুরক কত?

সমাধান:
৯০ = ২ × ৩ × ৩ × ৫
এখানে ৩ আছে মোট দুইবার।
∴ ৯০ এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর প্রচুরক = ৩

প্রশ্ন: "SUCCESS" শব্দটির বর্ণগুলোকে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
"SUCCESS" শব্দটির মোট 7টি বর্ণ রয়েছে।
এখানে, 'S' 3টি এবং 'C' 2টি।

∴ মোট সাজানোর সংখ্যা = 7!/​(3!×2!)
 = (7 × 6 × 5 × 4 × 3!)/​(3!×2!)
= 7 × 6 × 5 × 2
= 420

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 5x < 30} হলে, A এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
A = {x ∈ N : 5x < 30}
⇒ 5x < 30
⇒ x < 6
অর্থাৎ 6 এর চেয়ে ছোট সকল স্বাভাবিক সংখ্যা হলো A সেটের উপাদান।
∴ A = {1, 2, 3, 4, 5}

∴ A সেটের প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ - 1 = 2⁵ - 1 = 32 - 1 = 31

প্রশ্ন: নিহাল ১২ মিটার পথ যাওয়ার পরে ৯০° কোণে কত মিটার পথ অতিক্রম করলে তার প্রথম ও শেষ অবস্থানের মধ্যবর্তী দূরত্ব ১৩ মিটার হবে?

সমাধান:
এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করে,
যেখানে,
অবস্থানের মধ্যবর্তী দূরত্ব, অতিভুজ = ১৩ মিটার
প্রথম চলার পথ, ভূমি = ১২ মিটার

ধরি,
দ্বিতীয় চলার পথ, লম্ব = ”ক” মিটার

অতিভুজ^২ = ভূমি^২ + লম্ব^২
⇒ ১৩^২ = ১২^২ + ক^২
⇒ ১৬৯ = ১৪৪ + ক^২
⇒ ১৬৯ - ১৪৪ = ক^২
⇒ ক^২ = ২৫
⇒ ক = √২৫
∴ ক = ৫

অর্থাৎ ১২ মিটার পথ যাওয়ার পরে ৯০° কোণে ৫ মিটার পথ অতিক্রম করলে প্রথম ও শেষ অবস্থানের মধ্যবর্তী দূরত্ব ১৩ মিটার হবে।

প্রশ্ন: দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার অংকদ্বয়ের সমষ্টি 10 এবং সংখ্যাটি থেকে 18 বিয়োগ করলে অংকদ্বয় স্থান বিনিময় করে। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
একক স্থানীয় অংক = y
দশক স্থানীয় অংক = x

∴সংখ্যাটি = 10x + y

∴ x + y = 10 .........(i)

প্রশ্নমতে,
10x + y - 18 = 10y + x
বা, 9x - 9y = 18
∴ x - y = 2 .............(ii)

(i), (ii) নং যোগ করে পাই,
x + y + x - y = 10 + 2
2x = 12
x = 6

x এর মান (i) বসিয়ে পাই,
∴ y = 4

∴ সংখ্যাটি = 10x + y = 60 + 4 = 64

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার জমির ক্ষেত্রফল ৭০৪ বর্গমিটার এবং দৈর্ঘ্য, প্রস্থ অপেক্ষা ১০ মিটার বেশি হলে, ক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তাকার জমির ক্ষেত্রফল = ৭০৪ বর্গমিটার
এবং প্রস্থ দৈর্ঘ্য অপেক্ষায় ১০ মিটার বেশি

ধরি,
প্রস্থ = ক মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = (ক + ১০) মিটার

প্রশ্নমতে,
(ক + ১০) × ক = ৭০৪
⇒ ক^২ + ১০ক - ৭০৪ = ০
⇒ ক^২ + ৩২ক - ২২ক - ৭০৪ = ০
⇒ ক(ক + ৩২) - ২২(ক + ৩২) = ০
⇒ (ক + ৩২)(ক - ২২) = ০
হয়,
ক + ৩২ = ০
ক = - ৩২
[ ইহা গ্রহণ যোগ্য নয় ]

অথবা,
ক - ২২ = ০
∴ ক = ২২

অর্থাৎ প্রস্থ = ২২ মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = (২২ + ১০) মিটার
= ৩২ মিটার

∴ আয়তাকার ক্ষেত্রেটির পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) একক
= ২ (৩২ + ২২) মিটার
= ২ × ৫৪ = ১০৮ মিটার

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 2 এবং চতুর্থ পদ 27/4 হলে, সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
সাধারন অনুপাত = r
প্রথম পদ, a = 2

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার,
n তম পদ = ar^{n - 1}

∴ ৪র্থ পদ = 27/4
⇒ ar^4-1 = 27/4
⇒ 2r³ = 27/4
⇒ r³ = 27/8 = (3/2)³
∴ r = 3/2

প্রশ্ন: যদি (x + y, 6) = (8, x - y) হয়, তবে (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, (x + y, 6) = (8, x - y)

ক্রমজোড়ের শর্তমতে,
x + y = 8 ...............(১)
এবং x - y = 6 ............(২)

(১) + (২) হতে পাই,
x + y + x - y = 8 + 6
⇒ 2x = 14
∴ x = 7

(১) নং হতে পাই,
7 + y = 8
⇒ y = 8 - 7 = 1

∴ (x, y) = (7, 1)

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + .......... + 20² = কত?

সমাধান:
ধারারটির যোগফল = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= [{20(20 + 1){(2 × 20)+ 1}]/6 [দেওয়া আছে, n = 30]
= (20 × 21 × 41)/6
= 2870

∴ ধারাটির সমষ্টি 2870

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ২০% হ্রাস করলে, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলে শতকরা কত হ্রাস পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = ক
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ক^২

এখন,
দৈর্ঘ্য ২০% হ্রাস করলে,
নতুন বাহুর দৈর্ঘ্য = ক - (ক এর ২০%) = ক - (ক/৫) = ৪ক/৫

∴ নতুন ক্ষেত্রফল = (৪ক/৫)^২

∴ ক্ষেত্রফল হ্রাস হবে = ক^২ - (৪ক/৫)^২ = ক^২ - ০.৬৪ক^২ = (১ - ০.৬৪)ক^২= ০.৩৬ক^২

∴ ক্ষেত্রফল শতকরা হ্রাস = (০.৩৬ক^২/ক^২) × ১০০%
= ৩৬%

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলে ৩৬% হ্রাস পাবে

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 24 সে. মি. এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 120° কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ব্যাস, 2r = 24 সে. মি.
কোণ, θ = 120°

আমরা জানি,
বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য = (θ​/360°) × 2πr
= (120°/360°) × π × 24
= (1/3) × π × 24
= 8π 

∴ বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য = 8π সে. মি.

প্রশ্ন: 4x⁴ - 25x² + 36 = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
4x⁴ - 25x² + 36
= (2x²)² - 2. 2x² . 6 + 6² - x²
= (2x² - 6)² - x²
= (2x² - 6 + x)(2x² - 6 - x)
= (2x² + x - 6)(2x² - x - 6 )
= (2x² + 4x - 3x - 6)(2x² - 4x + 3x - 6)
= {2x(x + 2) - 3(x + 2)}{2x(x - 2) + 3(x - 2)}
= (x + 2)(2x - 3)(x - 2)(2x + 3)
= (x + 2)(x - 2)(2x + 3)(2x - 3)

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতির মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 13cm, 14cm এবং 15cm হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান :
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজাকৃতির মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে,
a = 13cm, b = 14cm এবং c = 15cm

∴ s = (a + b + c)/2 = (13 + 14 +15)/2
= 21

∴ ত্রিভুজাকৃতির মাঠের ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)}
= √{21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)}
= √(21 × 8 × 7 × 6)
= √7056
= 84 cm²

প্রশ্ন: ৮% হার মুনাফায় ১০০০০ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মুনাফা এবং সরল মুনাফার পার্থক্য কত?

সমাধান:
এখানে,
আসল, P = ১০০০০
সময়, n = ২ বছর,
মুনাফার হার, r = ৮%

আমরা জানি,
সরল মুনাফার ক্ষেত্রে,
মুনাফা = Pnr = ১০০০০ × ২ × (৮/১০০) = ১৬০০ টাকা

আবার,
চক্রবৃদ্ধি হারে,
চক্রবৃদ্ধি মূলধন = P(1 + r)ⁿ
= ১০০০০ × (১ + (৮/১০০))^২
= ১০০০০ × (১০৮/১০০)^২ = ১১৬৬৪ টাকা

∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = ১১৬৬৪ - ১০০০০ = ১৬৬৪ টাকা
∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা এবং সরল মুনাফার পার্থক্য = ১৬৬৪ - ১৬০০ = ৬৪ টাকা।

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার মাঠের বাইরে চারদিকে ১০ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল ৪০০০ বর্গমিটার হলে, মাঠের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি
বর্গাকার মাঠের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ক মিটার

∴ বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = (একবাহু)^২ বর্গ একক
= (ক)^২ বর্গ মিটার

∴ রাস্তা সহ বর্গাকার মাঠ এক বাহুর দৈর্ঘ্য = (ক+ ১০ + ১০) মিটার
= (ক + ২০) মিটার

রাস্তা সহ বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = (ক + ২০)^২ বর্গ একক

প্রশ্নমতে,
(ক + ২০)^২ - (ক)^২ = ৪০০০
⇒ ক^২ + ৪০ক + ৪০০ - ক^২ = ৪০০০
⇒ ৪০ক + ৪০০ = ৪০০০
⇒ ৪০ক = ৩৬০০
⇒ ক = ৩৬০০/৪০
∴ ক = ৯০

∴ বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = (৯০)^২ বর্গ একক
= ৮১০০ বর্গ মিটার

প্রশ্ন: মোহন, রনি এবং রাবির বয়সের অনুপাত ৫ : ৬ : ৭। তাদের বয়সের সমষ্টি ৭২ বছর হলে, রনি এবং রাবির বয়সের পার্থক্য কত?

সমাধান:
অনুপাতের যোগফল = ৫ + ৬ + ৭ = ১৮
তাহলে,
রনির বয়স = ৭২ × (৬/১৮) = ২৪ বছর
রাবির বয়স = ৭২ × (৭/১৮) = ২৮ বছর

∴ রাবির ও রনির বয়সের পার্থক্য = ২৮ - ২৪ বছর
= ৪ বছর

প্রশ্ন: একজন ব্যবসায়ী ৬০০টি কলম ৩০০০ টাকায় কিনে ৪৫০টি কলম ৩৬০০ টাকায় বিক্রি করলে তার শতকরা লাভ কত হবে?

সমাধান:
১টি কলমের ক্রয় মূল্য = ৩০০০​/৬০০ = ৫ টাকা
এবং
১টি কলমের বিক্রয় মূল্য = ৩৬০০/৪৫০ ​= ৮টাকা

∴ লাভ = বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য = ৮ - ৫ = ৩ টাকা

৫ টাকায় লাভ হয় = ৩ টাকা
১ টাকায় লাভ হয় = ৩/৫ টাকা
১০০ টাকায় লাভ হয় = {(৩× ১০০)/৫} = ৬০  টাকা

∴ লাভ = ৬০%

প্রশ্ন: একজন দোকানদার ২০% ক্ষতিতে একটি পণ্য ১২০০ টাকায় বিক্রি করেন। তবে পণ্যের প্রকৃত ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
২০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ২০ = ৮০ টাকা

∴ বিক্রয়মূল্য ৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/৮০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১২০০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ১২০০)/৮০ = ১৫০০ টাকা

∴ পণ্যের প্রকৃত ক্রয়মূল্য ১৫০০ টাকা

প্রশ্ন: একজন ব্যক্তি তার মোট সম্পদের ২০% দান করলেন, ৫০% বিনিয়োগ করলেন এবং অবশিষ্ট ৬০০০০ টাকা নিজের কাছে রাখলেন। তার মোট সম্পদ কত?

সমাধান:
ধরি,
মোট সম্পদ = x টাকা

দান করলেন = x × (২০/১০০) = x/৫
বিনিয়োগ করলেন = x × (৫০/১০০) = x/২
অবশিষ্ট টাকা = ৬০০০০ টাকা

প্রশ্নমতে,
⇒ x - {(x/৫) + (x/২)} = ৬০০০০
⇒ x - (২x + ৫x)/১০ = ৬০০০০
⇒ x - (৭x)/১০ = ৬০০০০
⇒ (১০x - ৭x)/১০ = ৬০০০০
⇒ ৩x​/১০ = ৬০০০০
⇒ x = (৬০০০০ × ১০)/৩
⇒ x = ২০০০০০

∴ মোট সম্পদ ২০০০০০ টাকা

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অন্তর 6 মিটার এবং তাদের মধ্যে লম্ব দূরত্ব 8 মিটার। ট্রাপিজিয়াম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 96 বর্গ মিটার হলে, বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি, সমান্তরাল বাহুদ্বয় x ও (x + 6) মিটার

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × h × (a + b)
= (1/2) × 8 × (x + x + 6) বর্গ মিটার

প্রশমতে,
⇒ (1/2) × 8 × (x + x + 6) = 96
⇒ 2x + 6 = 24
⇒ 2x = 24 - 6 = 18
⇒ x = 18/2
∴ x = 9

∴ বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য = 9 + 6 = 15 মিটার

প্রশ্ন: তিনটি সংখ্যার অনুপাত ৬ : ৮ : ৯ এবং প্রথম ও তৃতীয় সংখ্যার পার্থক্য ৪২ হলে দ্বিতীয় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
সংখ্যা তিনটির অনুপাত = ৬ : ৮ : ৯

ধরি,
সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে ৬ক, ৮ক এবং ৯ক

প্রশ্নমতে,
৯ক – ৬ক = ৪২
বা, ৩ক = ৪২
বা, ক = ১৪

অতএব, দ্বিতীয় সংখ্যাটি = ৮ × ১৪ = ১১২

প্রশ্ন: x = 10 হলে, log(x² - 9) - log(x - 3) =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 10

প্রদত্ত রাশি,
⇒ log(x² - 9) - log(x - 3)
⇒ log(10²- 9) - log(10 - 3)
⇒ log(100 - 9)  - log7
⇒ log91 - log7
⇒ log(91/7​)
⇒ log13

প্রশ্ন: যদি 4^{(x + y)} = 64 এবং 6^{(x - y)} = 7776 হয়, তাহলে x এর মান কত?

সমাধান:
4^{(x + y)} = 64 = 4³
⇒ x + y = 3 ........................(1)

 6^{(x - y)} = 7776 = 6⁵
⇒ x - y = 5 .......................(2)

(1) + (2) হতে পাই,
⇒ x + y + x - y = 3 + 5 = 8
⇒ 2x = 8
⇒ x = 8/2 = 4

প্রশ্ন: একটি ঘনক আকৃতির বাক্সের বাহুর দৈর্ঘ্য 12 মিটার হলে বাক্সের তলের মোট ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
এক বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 12 মিটার

∴ বাক্সের তলের মোট ক্ষেত্রফল = 6a²
= 6 × 12²
= 6 × 144
= 864 বর্গমিটার

প্রশ্ন: log₅​(x + 1) - log₅​(x - 3) = 1 সমীকরণের সমাধান নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ log₅​(x + 1) - log₅​(x - 3) = 1
⇒ log₅{​(x + 1)/(x - 3​)} = 1
⇒ (x + 1)/(x - 3​) = 5¹
⇒ (x + 1)/(x - 3​) = 5
⇒ x + 1 = 5(x - 3)
⇒ x + 1 = 5x - 15 
⇒ 1 + 15 = 5x - x
⇒ 4x = 16
⇒ x = 16/4 = 4
∴ x = 4

প্রশ্ন: ৫৯° কোণের সম্পূরক কোণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা (১৮০°) হলে , ঐ দুইটি কোণের একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

∴ ৫৯° এর সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৫৯°
= ১২১°

প্রশ্ন: একজন লোকের চট্টগ্রাম হতে ঢাকায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা ৬/৭ এবং ঢাকা থেকে রংপুর ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা ৫/৮। লোকটি ঢাকায় বাসে না যাওয়ার এবং রংপুর ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
চট্টগ্রাম হতে ঢাকায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা ৬/৭
চট্টগ্রাম হতে ঢাকায় বাসে না যাওয়ার সম্ভাবনা ১ - (৬/৭) = ১/৭

ঢাকা থেকে রংপুর ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা ৫/৮

∴ ঢাকায় বাসে না যাওয়ার এবং রাজশাহী ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা (১/৭) × (৫/৮)
= ৫/৫৬

প্রশ্ন:

PQ || SR, PQ = PR এবং∠PRQ = 65° হলে, ∠LRS এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
সমাধান:
PQ = PR হলে
∠PRQ = ∠PQR = 65°
আবার,
PQ ।। SR, QL এদের ছেদক
∠PQR = ∠LRS পরস্পর অনুরূপ কোণ
∠PQR = ∠LRS = 65°

প্রশ্ন: 52টি তাস থেকে একটি তাস টানা হলে তা টেক্কা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
52টি তাসের মধ্যে টেক্কা থাকে 4টি।
টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা = 4/52 = 1/13

∴ টেক্কা না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (1/13) = (13 - 1)/13 = 12/13

প্রশ্ন: বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ 14 সে.মি হলে, বেলনের আয়তন বক্রতলের ক্ষেত্রফলের কত গুণ?

সমাধান:
ব্যাসার্ধ r = 14 সে.মি,
উচ্চতা h হলে,

আমরা জানি,
বেলনের আয়তন, V = πr²h
এবং
বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল, A = 2πrh

∴ আয়তন/বক্রতলের ক্ষেত্রফল = (πr²h)/(2πrh)
= r/2
= 14/2
= 7

∴ বেলনের আয়তন বক্রতলের ক্ষেত্রফলের 7 গুণ।

প্রশ্ন: 3x² - 6x + 3 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ে প্রকৃতি কেমন?

সমাধান:
3x² - 6x + 3 = 0 সমীকরণটির নিশ্চায়ক নির্ণয় করে পাই।

নিশ্চায়ক = b² - 4ac= (- 6)² - (4 × 3 × 3)
= 36 - 36
= 0 

যেহেতু নিশ্চায়ক ধনাত্মক শূন্য। তাই মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান।

দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b² - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
2. যদি b² - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
3. যদি b² - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
4. যদি b² - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।