Math Master

দেওয়া আছে,
sinθ = √3/2
বা, sinθ = sin60º
বা, sinθ = sin(2×360º + 60º)
∴ θ = 780º

tan^-11/2+tan^-11/3 = tan^-1((1/2 + 1/3)/(1 - (1/2)×(1/3)) = tan^-1((5/6)/(5/6)) = tan^-1(1) = 45º = π/4

(cosθ+sinθ)/(cosθ-sinθ)=(1-√3)/(1+√3)
or, (cosθ+sinθ)(1+√3) = (cosθ-sinθ)(1-√3)
or, cosθ + sinθ + √3cosθ + √3sinθ = cosθ - sinθ - √3cosθ + √3sinθ
or, cosθ + sinθ + √3cosθ + √3sinθ - cosθ + sinθ + √3cosθ - √3sinθ = 0
or, 2sinθ + 2√3cosθ = 0
or, sinθ + √3cosθ = 0
or, sinθ = - √3cosθ
or,sin²θ = 3cos²θ
or, tan²θ = 3
or, tanθ = ±√3
∴ tanθ = √3
or, tanθ = tan60º
∴ θ = 60º
(বিঃদ্রঃ tanθ = - √3 দিয়েও θ এর মান বের করা যায়, তবে এখানে অপশনে সেই মানগুলো নেই। তাই tanθ = -√3 দিয়ে কোনো মান বের করে দেখানো হয়নি।)

এখানে অপশনে ভূমি ও লম্ব এর সম্পর্ক দেখানো হয়েছে।
আমরা জানি,
tanθ = লম্ব/ভূমি
আবার, tanθ = 30º = 1/√3
এখানে √3 > 1 অর্থাৎ ভূমি > লম্ব।

sin²θ+cos²θ=1
Squaring both sides
sin⁴θ+cos⁴θ=1−2sin²θ.cos²θ
Putθ=90∘
sin⁴θ+cos⁴θ = 1−2sin²90∘×cos²90∘ = 1−0 = 1

আমরা জানি, sin^-1x + sec^-11/x = π/2

ধরি, কোণ তিনটি যথাক্রমে 2xº, 7xº ও 11xº
প্রশ্নমতে,
2x + 7x + 11x = 180
বা, 20x = 180
∴ x = 9
∴ কোণ তিনটি যথাক্রমে (2×9)º, (7×9)º ও (11×9)º বা, 18º, 63º ও 99º

প্রশ্নমতে,
(x+5)º + (2x-3)º + (3x+4)º = 180º
বা, 6x + 6 = 180
বা, 6x = 174
বা, x = 174/6 = 29

cos⁴θ−sin⁴θ=2/3
বা, (cos²θ + sin²θ)(cos²θ - sin²θ) = 2/3
বা, 1.(cos²θ - sin²θ) = 2/3
বা, (1 - sin²θ - sin²θ) = 2/3
∴ 1 - 2sin²θ = 2/3

দেওয়া আছে,
sec²θ + tan²θ = 7/12
∴ (sec⁴θ−tan⁴θ) = (sec²θ + tan²θ)(sec²θ - tan²θ) = (7/12).1 = 7/12

আমরা জানি, 2tan^-1x = tan^-1(2x/1-x²) = sin^-1(2x/1+x²) = cos^-1(1-x²/1+x²)

xsin45º=ycosec30º
⇒x.(1/√2) = y.2
⇒ x/y = 2√2
⇒(x/y)⁴ = (2√2)⁴
∴(x/y)⁴ = 64 = 4³

Xsin60º.tan30º=sec60º.cot45º
⇒ X.(√3/2).(1/√3) = 2.1
⇒ X = 4

দেওয়া আছে,
θ+ϕ = π/2
⇒ θ = π/2 - ϕ
⇒ sinθ = sin(π/2 - ϕ)
⇒ 1/2 = cosϕ
⇒ cos²ϕ = 1/4
⇒ 1 - sin²ϕ = 1/4
⇒ 1 - 1/4 = sin²ϕ
⇒ sin²ϕ = 3/4
∴ sinϕ = √3/2

দেওয়া আছে,
sec²θ+tan²θ=7
⇒ 1+tan²θ+tan²θ =7
⇒1+2tan²θ = 7
⇒ 2tan²θ = 6
⇒ tan²θ = 3
⇒tanθ = √3
⇒tanθ = tan60º
∴ θ = 60º

দেওয়া আছে,
cos θ =15/17
⇒ secθ = 17/15
⇒ sec²θ = 289/225
⇒ 1 + tan²θ = 289/225
⇒tan²θ = 289/225 - 1
⇒tan²θ = 64/225
⇒tanθ = 8/15
⇒ cot(90 - θ) = 8/15

দেওয়া আছে, √3tanθ = 3sinθ
বা, √3/cosθ = 3
বা, cosθ = 1/√3
বা, cos²θ = 1/3
∴ sin²θ - cos²θ = 1 - cos²θ - cos²θ = 1 - 2cos²θ = 1- 2.(1/3) = 1- 2/3 = 1/3

দেওয়া আছে,
√2sinθ - cosθ=2sinθ–√2sin(90º−θ)
⇒ -cosθ+√2cosθ =2sinθ - √2sinθ
⇒cosθ(√2 - 1) =√2sinθ(√2 - 1)
⇒ cotθ = √2

আমরা জানি,
Sin2θ = 2tanθ/1 +tan²θ
এখানে, 2sinθ/cosθ(1+tan²θ) = 2tanθ/(1 +tan²θ) = Sin2θ