Math Master

15 জন থেকে 1 জন নির্বাচন করা যায়
= ¹⁵C₁ ভাবে
= 15 ভাবে

বাকি থাকে 14 জন। এই 14 জন থেকে সহ-অধিনায়ক নির্বাচন করা যায়
= ¹⁴C₁ ভাবে 
= 14 ভাবে

দল থেকে দুইজনকে নির্বাচন করতে হবে। 

অতএব, দল গঠনের সংখ্যা
= ¹⁵C₁ × ¹⁴C₁
= 15 × 14
= 210

THESIS শব্দটিতে  মোট 6টি অক্ষর আছে যার মধ্যে 2 টা S 
প্রদত্ত শব্দটিতে ভিন্ন ভিন্ন পাঁচটি বর্ণ আছে। যথা - T, H, E, S, I

∴ 4 টি অক্ষরই ভিন্ন এক্ষেত্রে সমাবেশ সংখ্যা
= ⁵C₄
= 5

দুইটি একই বা অভিন্ন বর্ণ(SS) অক্ষর থেকে দুইটাই নিলে, আমরা পাই ²C₂
অন্য চারটি ভিন্ন ভিন্ন বর্ণ(T, H, E, I) থেকে দুইটি নিলে, আমরা পাই ⁴C₂

অতএব, 2টি অভিন্ন ও 2টি ভিন্ন এক্ষেত্রে সমাবেশ সংখ্যা
= ²C₂ × ⁴C₂
= 6

মোট সমাবেশ সংখ্যা
= (5 + 6)
= 11

9 টি বই থেকে 4 টি বই বাছাই করা যায় যেখানে 2 টি বই সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকবে
= ^{9 - 2}C_{4 - 2}
= ⁷C₂
= 7!/(2!5!)
= 6 × 7/2
= 21

দুইটি দলে বিভক্ত করার উপায়
= (2 × 5)!/(5!)²
= 10!/(5!)²
= 10!/(5!5!)
= 5!(6 × 7 × 8 × 9 × 10)/(5!5!)
= 6 × 7 × 8 × 9 × 10/(2 × 3 × 4 × 5)
= 252

1 জন নির্দিষ্ট বালিকা সর্বদাই উপস্থিত থাকে।
অবশিষ্ট থাকে = 6 - 1 = 5

অতএব, 4 জন বালক ও 5 জন বালিকার মধ্য থেকে 3 সদস্য বিশিষ্ট একটি উপকমিটি গঠন করতে হবে।
উপকমিটি গঠন করার উপায়
= ^{(4 + 5)}C₃
= ⁹C₃
= 9!/(3!6!)
= 6!(7 × 8 × 9)/(6! × 2 × 3)
= 84

বাছাই করার উপায়
= ∑ ^{n - p}C_{r - i} [ n = 7; p = 3; r = 5; i = 0, 1, 2, 3 ]
= ^{8 - 3}C_{5 - 0} + ^{8 - 3}C_{5 - 1} + ^{8 - 3}C_{5 - 2} + ^{8 - 3}C_{5 - 3}
= ⁵C₅ + ⁵C₄ + ⁵C₃ + ⁵C₂
= 1 + 5 + 10 + 10
= 26

লাইভ পরীক্ষার প্রশ্নে 'প্রতিবারে 5টি করে বাছাই' করে এর স্থলে প্রতিবারে 4টি করে বাছাই' করার কথা বলা ছিলো।
উত্তর বাতিল করা হয়েছে।

ⁿC_r + ⁿC_{r - 1} = ^{n + 1}C_r [ অনুসিদ্ধান্ত ]

তিনজন ব্যক্তি তাদের আসন 3! উপায়ে বা 6 উপায়ে পরিবর্তন করতে পারবে।

তিনটি বর্ণই ভিন্ন ভিন্ন। নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = 3! = 6

প্রতিযোগিতায় দুইটি দল বাধ্যতামূলক। 
মোট খেলার সংখ্যা
= ¹⁰C₂
= 45

12 জন ধারণ ক্ষমতাবিশিষ্ট অফিসে 13 জন বসার উপায়
= ¹³C₁₂
= 13!/12!
= 12! × 13/12!
= 13

^2pC_q = ^2pC_{q + 2
⇒ 2p!/(q!(2p - q)! = 2p!/(q + 2)!(2p - q - 2)!
⇒ 1/(q!(2p - q)! = 1/(q + 2)!(2p - q - 2)!
⇒ q!(2p - q)! = (q + 2)!(2p - q - 2)!
⇒ q!(2p - q)(2p - q - 1)(2p - q - 2)! = (q + 2)(q + 1)q!(2p - q - 2)!
⇒ (2p - q)(2p - q - 1) = (q + 2)(q + 1)
⇒ q = p - 1}

7 জন বালক থেকে 2 জন বালক বেছে নেওয়ার উপায়
= ⁷C₂
5 জন বালিকা থেকে 2 জন বালিকা বেছে নেওয়ার উপায়
= ⁵C₂
7 জন বালক ও 5 জন বালিকা থেকে 2 জন বালক ও 2 জন বালিকা বেছে নেওয়ার উপায়
= ⁷C₂ × ⁵C₂
= 7!/(2!5!) × 5!/(2!3!)
= 21 × 10 = 210

প্রদত্ত শব্দটিতে A দুইবার আছে। 6 টি ভিন্ন ভিন্ন বর্ণ থেকে প্রতিবারে 3 টি বর্ণ নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা
= ⁶P₃
= 120
আবার, 2 টি A কে 5 টি ভিন্ন ভিন্ন বর্ণের সাথে নিলে 3 টি বর্ণ নিয়ে গঠিত শব্দ সংখ্যা
= ³C₂ × ⁵C₁
= 3 × 5
= 15
মোট শব্দ সংখ্যা = 120 + 15 = 135

যেহেতু অঙ্কগুলো ভিন্ন ভিন্ন
তাই ভিন্ন ভিন্ন সংখ্যা গঠন করা যায়
= ⁶P₃ টি
= 6!/3! টি 
= 120 টি 

কমিটি গঠনের উপায়
= ⁶C₆ × ⁴C₀ + ⁶C₅ × ⁴C₁ + ⁶C₄ × ⁴C₂
=(1 × 1) + (6 × 4) + (15 × 6)
= 1 + 24 + 90
= 115

কমিটি গঠনের উপায়
= ⁴C₄ × ⁶C₁ + ⁴C₃ × ⁶C₂ + ⁴C₂ × ⁶C₃ + ⁴C₁ × ⁶C₄
= 6 + 60 + 120 + 60
= 246

Mathematics শব্দটিতে মোট 11 টি অক্ষর আছে। যার মধ্যে 2 টি M, 2 টি A ও 2 টি T
মোট বিন্যাস সংখ্যা = 11!/(2!2!2!) = 4989600