Math Master

'COMPUTER' শব্দটিতে ৮টি বর্ণ। 
প্রতিবারে 3টি করে বর্ণ নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = ⁸P₃ = 336

দেয়া আছে,
ⁿC₅ = ⁿC₇ 
n = 5 + 7 = 12

ⁿC₄ = ¹²C₄ =(12 × 11 × 10 × 9)/(4 × 3 × 2 × 1)
                   = 495

বালকের সংখ্যা n = 3 জন
পুরস্কার r = 5টি 


পুরস্কার বিতরণ করা যেতে পারে = n^r
                                                   = 3⁵
                                                   = 243

1 জন ছাত্র 1টি বিষয়ে, 2টি বিষয়ে, 3টি বিষয়ে, 4টি বিষয়ে, এবং 5টি বিষয়ে ন্যূনতম নম্বর না পেলে অকৃতকার্য হবে।  

 অকৃতকার্য হওয়ার মোট উপায় = ⁵C₁ + ⁵C₂ + ⁵C₃ + ⁵C₄ + ⁵C₅ 
                                               = 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 31

এখানে, 
মোট অঙ্ক সংখ্যা 6
6টি অঙ্ক থেকে 4টি অঙ্ক নিয়ে গঠিত  সংখ্যা = ⁶P₄ 
                                                                    = 360
0 কে প্রথমে রেখে,
5টি অঙ্ক থেকে 3টি অঙ্ক নিয়ে গঠিত  সংখ্যা = ⁵P₃
                                                                   = 5!/(5 - 3)!
                                                                   = 60 

অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যায় = 360 - 60 = 300

১ম দল (6 জন)                                             ২য় দল(8জন ) 
১) 6                                                                  5
২) 5                                                                 6 
৩) 4                                                                 7 

১) নং ক্ষেত্রে টিম গঠনের উপায় = ⁶C₆ × ⁸C₅ = 1 × 56 = 56
২)নং ক্ষেত্রে টিম গঠনের উপায় = ⁶C₅ × ⁸C₆ = 6 × 28 = 168 
৩)নং ক্ষেত্রে টিম গঠনের উপায় = ⁶C₄ × ⁸C₇ = 15 × 8 = 120

টিম গঠনের উপায় = 56 + 168 + 120 = 344

'Clipboards' শব্দটি ব্যঞ্জনবর্ণ আছে 7টি 
 এবং স্বরবর্ণ আছে 3টি 

7টি ব্যঞ্জনবর্ণ থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ বাছাই করার উপায় = ⁷C₃
                                                                                 = 35 
3টি স্বরবর্ণ থেকে 2টি স্বরবর্ণ বাছাই করার উপায় = ³C₂ 
                                                                        = 3 
বাছাইয়ের মোট উপায় = 35 × 3 
                                   = 105

দাওয়াত দিতে পারবে = ⁴C₁ +⁴C₂ + ⁴C₃ + ⁴C₄  
                                 = 4 + 6 + 4 + 1 = 15

'MILLENNIUM' শব্দটিতে বর্ণ আছে 10টি 
L = 2 টি
N =2টি
M= 2 টি

'FORTUNE' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7টি 
Vowel আছে 3টি 
Vowel তিনটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ 5টি 
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!
Vowel  তিনটিকে সাজানো যায় =3!

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 5! × 3! 
                                                                           =120 × 6 
                                                                            = 720

8টি বই হতে 1টি নির্বাচনের উপায় = ⁸C₁ = 8 
10টি বই হতে 1টি নির্বাচনের উপায় = ¹⁰C₁ = 10

বিনিময়ের মোট উপায় = 8 × 10 = 80

(n + 2)! = 30 × n!
⇒ (n + 2) × (n + 1) × n! = 30 × n!
⇒ n² + 3n + 2 = 30
⇒ n² + 3n - 28 = 0
⇒ n² + 7n - 4n - 28 = 0
⇒ n( n + 7) - 4(n + 7) = 0
⇒ (n - 4)(n + 7) = 0
হয়                        অথবা 
n - 4 = 0              n + 7 = 0
n = 4                          n = - 7 

১ জন চেয়ারম্যান থেকে ১ জন বাছাই করার উপায় = ¹C₁ = 1
২ জন ভাইস -চেয়ারম্যান থেকে ১ জন বাছাই করার উপায় = ²C₁ = 2
৮ জন সদস্য থেকে ৪ জন সদস্য বাছাই করার উপায় = ⁸C₄ = 70

সাব- কমিটি গঠনের উপায় = 1 × 2 × 70 = 140

একটি ত্রিভুজ গঠন করার জন্য বিন্দু প্রয়োজন 3টি 

ত্রিভুজের গঠন করা যাবে = ¹⁵C₃ = 455

²ⁿP₃ = 100 × ⁿP₂ 
2n!/(2n - 3)! = 100 × n!/(n - 2)!
2n(2n - 1)(2n - 2)(2n - 3)!//(2n - 3)! = 100 × n(n - 1)(n - 2)!/(n - 2)!
2n(2n - 1)(2n - 2) =  100 × n(n - 1)
2× 2n(2n - 1)(n - 1) = 100 × n(n - 1)
2n - 1 = 25 
2n = 26
n = 13

ধরি,
নামাজীর সংখ্যা= n, 

∴ মোট শুভেচ্ছা সংখ্যা ⁿc₂ = 55
বা, {(n)(n - 1)}/2 = 55
বা, (n² - n)/2 = 55
বা, n² - n = 110
বা, n² - n - 110 = 0
বা, n² - 11n + 10n - 110 = 0
বা, n(n - 11) + 10(n - 11) = 0
বা, (n - 11)(n + 10) = 0

হয়                                অথবা 
n - 11 = 0                     n + 10 = 0
n = 11                            n = - 10 [গ্রহণযোগ্য নয় ]

প্রথম 5টি থেকে 3টি প্রশ্ন বাছাই করতে হবে
প্রথম 5টি থেকে 3টি প্রশ্ন বাছাই করার উপায় = ⁵C₃ 
                                                                   =10

বাকি 7টি থেকে 2টি প্রশ্ন বাছাই করতে হবে
7টি থেকে 2টি প্রশ্ন বাছাই করার উপায় =  ⁷C₂ 
                                                          = 21

মোট প্রশ্ন বাছাই করার উপায় =  10 × 21 
                                             = 210

'Abjuring' শব্দটিতে 8 টি বর্ণ রয়েছে 

যাদের মধ্যে 3টি স্বরবর্ণ।

8 টি বর্ণকে সাজানো যায় =8! =  40320

 স্বরবর্ণ 3টিকে 1টি ধরে মোট বর্ণ হয় 6টি 
6টি বর্ণকে সাজানো যায় = 6!
 স্বরবর্ণ 3টিকে সাজানো যায় = 3! 

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 6! × 3!
                                                                 = 720 × 6 
                                                                  = 4320
স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 40320 - 4320
                                                                      = 36000

BASEBALL শব্দে 8টি  বর্ণ আছে।  যেখানে 
L = 2 টি
A =2টি
B = 2 টি
১ম ও শেষ অক্ষর A, বাকী থাকবে 6টি অক্ষর

∴ সাজানো যাবে = 6!/(2!2!)
                         = 180 উপায়ে