১৪তম - ২০তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: যদি n(A ∪ B) = 61, n(A) = 30 এবং n(B) = 54 হয়, তাহলে n(A ∩ B) এর মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) 
বা, 61 = 30 + 54 - n(A ∩ B) 
বা, 61 = 84 - n(A ∩ B) 
বা, n(A ∩ B) = 84 - 61 
∴ n(A ∩ B) = 23

প্রশ্ন: f(x) = x³ - 2x + 10 হলে f(0) কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
f(x) = x³ - 2x + 10 
∴ f(0) = (0)³ - 2 × 0 + 10 
= 0 - 0 + 10 
= 10 

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৯০° হলে উহার বিপরীত কোণের পরিমাণ কত হবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত দুই কোণের সমষ্টি = ১৮০° 
একটি কোণ ৯০° হলে, 
অপর কোনটি হবে = (১৮০° - ৯০°) 
= ৯০° 

∴ বিপরীত কোণের পরিমাণ = ৯০°। 

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ৩০ জন ছাত্র আছে। তাদের মধ্যে ১৮ জন ফুটবল খেলে, ১৪ জন ক্রিকেট খেলে এবং ৫ জন কিছুই খেলে না। কতজন ছাত্র উভয়টিই খেলে? 

সমাধান: 
শুধু ফুটবল খেলে না = (৩০ - ১৮ - ৫) জন 
= ৭ জন 

আবার, 
শুধু ক্রিকেট খেলে না = (৩০ - ১৪ - ৫) জন 
= ১১ জন 

∴ শুধু ফুটবল বা ক্রিকেট বা কোনো খেলাই খেলে না = (৭ + ১১ + ৫) জন 
= ২৩ জন 

∴ উভয় খেলা খেলে = (৩০ -২৩) জন 
= ৭ জন।

প্রশ্ন: যদি f(x) = x³ + kx² - 4x - 8 হয়, তাহলে k -এর কোন মানের জন্য f(- 2) = 0 হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
f(x) = x³ + kx² - 4x - 8
বা, f(- 2) = (- 2)³ + k (- 2)² - 4(- 2) - 8 
বা, f(- 2) = - 8 + 4k + 8 - 8 
∴ f(- 2) = 4k - 8 

যেহেতু, 
f(- 2) = 0 
বা, 4k - 8 = 0 
বা, 4k = 8 
বা, k = 8 /4 
∴ k = 2

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজ ও একটি বৃত্ত ন্যূনতম কয়টি বিন্দুতে ছেদ করে? 

সমাধান: 
- একটি ত্রিভুজ ও একটি বৃত্ত ন্যূনতম দুইটি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে। 
কারণ, ত্রিভুজের বাহু অবশ্যই বৃত্তের দুটি বিন্দুতে ছেদ করলে উহা ছেদক হবে। 
- আবার, একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত সর্বোচ্চ ৬টি বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে। 

প্রশ্ন: যদি f(x) = 2x - 1 হয়, এর বিপরীত ফাংশন নিচের কোনটি? 

সমাধান: 
ধরি,
y = f(x) = 2x - 1
or, y = 2x - 1
or, 2x = y + 1
or, x = (y + 1)/2

∴ y = f(x)
Or, f ^-1(y) = x 
or, f ^-1(y) = (y + 1)/2
∴ f ^-1(x) = (x + 1)/2

প্রশ্ন: সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ 120° হলে এর বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান: 
{(n - 2) × 180}/n = 120
বা, {(n - 2) × 3}/n = 2 
বা, 3n - 6 = 2n 
বা, 3n - 2n = 6
∴ n = 6 

∴ বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = 6 টি।

প্রশ্ন: 20 সে.মি. ব্যাস ও 8 সে. মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধের যোগফলের সমান।
এখানে,
১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 20/2 = 10 সে.মি.
২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 8 সে. মি. 

∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = (10 + 8) সে.মি.
= 18 সে.মি.

প্রশ্ন: ১৭ সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র হতে ১৫ সে.মি. দূরত্বে অবস্থিত জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, 
OA^২ = OD^২ + AD^২  
⇒ ১৭^২ = ১৫^২ + AD^২
⇒ AD^২ = ২৮৯ - ২২৫
⇒ AD^২ = ৬৪
∴ AD = ৮ সে.মি. 

∴ জ্যা, AB = (৮ × ২) সে.মি.
= ১৬ সে.মি.।

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ- 

সমাধান: 
- সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজকে ব্যাস ধরে বৃত্ত অঙ্কন করলে তা সমকৌণিক শীর্ষ বিন্দু দিয়ে যাবে। 
- কোনো বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ সূক্ষ্ম কোণ। 
- কোনো বৃত্তের উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ স্থূল কোণ। 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ। 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ গুলো পরস্পর সমান। 
- অর্ধবৃত্তস্থ কোন এক সমকোণ। 
- বৃত্তের পরিধি ও বৃত্তের ব্যাসার্ধ সমানুপাতিক।

প্রশ্ন: A = {x : x মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 5} হলে P(A) এর সদস্য সংখ্যা কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
 A = {2, 3, 5} 
∴ P(A) এর উপাদান সংখ্যা = (2)³ 
= 8 

উল্লেখ্য যে, 
n উপাদানবিশিষ্ট একটি প্রদত্ত সেটের উপসেটের সংখ্যা = 2ⁿ ।

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস 14 সেন্টিমিটার হলে, বৃত্তের পরিধি কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বৃত্তের ব্যাস = 14 সেন্টিমিটার
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 14/2 = 7 সে.মি. 

আমরা জানি, 
বৃত্তের পরিধি = 2πr 

∴ প্রদত্ত বৃত্তের পরিধি = 2πr সেন্টিমিটার 
= 2 × (22/7) × 7 সেন্টিমিটার 
= 44 সেন্টিমিটার। 

প্রশ্ন: f(x) = (4x - 7)/(2x - 4) একটি ফাংশন হলে f(- 1/2) = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
f(x) = (4x - 7)/(2x - 4)
∴ f(- 1/2) = {4(- 1/2) - 7}/{2(- 1/2) - 4} 
= (- 2 - 7) /( - 1 - 4) 
= - 9/- 5 
= 9/5

প্রশ্ন: একটি গাড়ীর চাকা মিনিটে ১২০ বার ঘোরে। চাকাটি এক সেকেন্ডে কত ডিগ্রি ঘুরবে? 

সমাধান: 
চাকাটি ৬০ সেকেন্ডে ঘুরে = ১২০ বার 
∴ চাকাটি ১ সেকেন্ডে ঘুরে = ১২০/৬০ বার 
= ২ বার 

১ বার ঘুরলে চাকাটি উৎপন্ন করে = ৩৬০° 
∴ ২ বার ঘুরলে চাকাটি উৎপন্ন করে = (৩৬০° × ২) 
= ৭২০° 

∴ চাকাটি এক সেকেন্ডে ঘুরবে =  ৭২০°। 

প্রশ্ন: সুষম বহুভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ ৪৫° হলে, এর বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান: 
অন্তঃস্থ কোণ = (১৮০° - ৪৫°)
= ১৩৫°

ধরি, 
বাহুর সংখ্যা = n 

∴ {(n - ২) × ১৮০°/n} = ১৩৫° 
বা, {(n - ২) × ৪/n} = ৩
বা, ৪n - ৮ = ৩n 
বা, ৪n - ৩n = ৮ 
∴ n = ৮ 

∴ বাহুর সংখ্যা = ৮। 

প্রশ্ন: বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত- 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বৃত্তের পরিধি = 2πr এবং
ব্যাস = 2r
∴ বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত = পরিধি : ব্যাস 
= 2πr : 2r 
= 2πr/2r
= π/1
= π : 1