Math Master

ⁿp_n = n!
বা, n!/(n - n)! = n!
বা, n!/0! = n!
বা, 0! × n! = n!
বা, 0! = n!/n!
= 1

7000 এর চেয়ে ছোট সংখ্যা গঠন করতে হলে ১ম অংকটি 5 অথবা 6 দ্বারা পূর্ণ করতে হবে যা ²p₁ = 2 উপায়ে সম্পন্ন করা যায়।
অবশিষ্ট 3টি অংক 3! = 6 উপায়ে পূর্ণ করা যায়
∴ 7000 থেকে ছোট সংখ্যা = 2 × 6
= 12 টি

১ম মুদ্রাটি 5 টি দান বাক্সের যেকোনটিতে ফেলা যায় যা 5 উপায়ে হয়।
অনুরুপে ২য়, ৩য়, ৪র্থ, ৫ম, ৬ষ্ঠ প্রতিটি মুদ্রা 5 উপায়ে ফেলা যায়
∴ মুদ্রা দান বাক্সে ফেলার মোট উপায় = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5
= 5⁶

হার তৈরির ক্ষেত্রে চক্র বিন্যাস হয় অর্থাৎ একটি স্থির ধরতে হয়।
আবার বামার্বত এবং ডানাবর্ত একই হয় বিধায় প্রকৃত হার এর সংখ্যা চক্র বিন্যাস এর অর্ধেক হবে।
∴ হার এর সংখ্যা = (6 - 1)!/2
= 5!/2
= 120/2
= 60

IMMEDIATE শব্দটিতে মোট 9 টি অক্ষর আছে যাদের 2 টি I, 2 টি M, 2 টি E বাকীগুলো ভিন্ন ভিন্ন।
সুতরাং সবগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 9!/(2!2!2!)

52 জনকে 4 টি সমান সংখ্যক দলে ভাগ করা যায় = 52!/(13!)⁴ উপায়ে

ⁿc_{n - r} = n!/(n - r)!(n - n + r)!
= n!/(n - r)!r!
= ⁿc_r

ⁿc₅ = ⁿc_{n - 5}
∴ ⁿc₅ = ⁿc₇
বা, ⁿc_{n - 5} = ⁿc₇
বা, n - 5 = 7
বা, n = 7 + 5
∴ n = 12

ALGEBRA শব্দটিতে 7 টি বর্ণ রয়েছে যার মধ্যে 2 টি A এবং বাকীগুলো ভিন্ন ভিন্ন।
প্রতিবার 3 টি বর্ণ নিয়ে বিন্যাস এর ক্ষেত্রে-
(i) 2 টি A এবং 1 টি ভিন্ন বর্ণ
(ii) সবগুলো বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন
(i) এর ক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা = 1 × ⁵c₁ × 3!/2! = 15
(ii) এর ক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা = ⁶p₃ = 120
∴ সাজানোর মোট উপায় = 15 + 120 = 135

13 বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের 13 টি কৌণিক বিন্দু আছে।
2 টি কৌণিক বিন্দুর সমাবেশ হতে একটি রেখা পাওয়া যায়
∴ মোট রেখার সংখ্যা = ¹³c₂ = 78 যাদের মধ্যে 13 টি বহুভূজের বাহু।
∴ কর্ণের সংখ্যা = 78 - 13 = 65

4 জন এর কমিটি গঠন করতে হলে 3 জন পুরুষ এবং 1 জন মহিলা সদস্য থাকতে হবে।
সুতরাং কমিটি গঠনের উপায় = ⁷c₃ × ⁴c₁
= 35 × 4
= 140

ধরি,
সভায় মোট লোকছিল = n, 2 জন এর সমাবেশ হতে 1 টি করমর্দন সংগঠিত হয়।
∴ মোট করমর্দন ⁿc₂ = 66
বা, {(n)(n - 1)}/2! = 66
বা, (n² - n)/2 = 66
বা, n² - n = 132
বা, n² - n - 132 = 0
বা, n² - 12n + 11n - 132 = 0
বা, n(n - 12) + 11(n - 12) = 0
বা, (n - 12)(n + 11) = 0
∴ n = 12

TRIANGLE শব্দটিতে 8 টি ভিন্ন ভিন্ন বর্ণ রয়েছে
∴ 3 টি অক্ষর নিয়ে বাছাই করার উপায় = ⁸c₃
= 56

প্রশ্নের শর্তানুসারে কমিটি গঠনের উপায় = ^{(5 - 1)}c_{(3 - 1)}
= ⁴c₂
= 6

AKUDAMA শব্দটিতে 3 টি A নিয়ে মোট 7 টি অক্ষর আছে।
প্রতিবার 4 টি অক্ষর বাছাই এর ক্ষেত্রে -
(i) 3 টি A অন্য একটি ভিন্ন
(ii) 2 টি A, 2 টি ভিন্ন
(iii) সবগুলো ভিন্ন ভিন্ন হবে
∴ বাছাই এর উপায় = ⁴c₁ + ⁴c₂ + ⁵c₄
= 4 + 6 + 5
= 15