ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

প্রশ্ন: সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ 3 সেমি এবং উচ্চতা 5 সেমি হলে বক্রতল ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 3 সে.মি এবং 
সিলিন্ডারের ভূমির উচ্চতা, h = 5 সে.মি

আমরা জানি, 
সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh 
=  2 π × 3 × 5
= 30π

∴ সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 30π বর্গ সে.মি।

প্রশ্ন: একটি ঘরের দৈর্ঘ্য ১০ মিটার, প্রস্থ ৬ মিটার এবং উচ্চতা ৩ মিটার হলে ঘরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ঘরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) × উচ্চতা
= ২ (১০ + ৬) × ৩ বর্গ মিটার
= ২ × ১৬ × ৩ বর্গ মিটার
= ৯৬ বর্গ মিটার

∴ ঘরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল = ৯৬ বর্গ মিটার।

প্রশ্ন: একটি ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য 12√3​ মিটার। ঘনকটির ধার কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
ঘনকটির ধার = ক মিটার 

আমরা জানি,
ঘনকের কর্ণ = √3 ক

প্রশ্নমতে, 
বা, 12√3 = √3 ক 
বা, ক = 12 
∴ ক = 12 

∴ ঘনকটির ধার = 12 মিটার।

প্রশ্ন: বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ 16 সে.মি হলে, বেলনের আয়তন বক্রতলের ক্ষেত্রফলের কত গুণ?

সমাধান: 
ব্যাসার্ধ r = 16 সে.মি,
উচ্চতা h হলে,
আয়তন/বক্রতলের ক্ষেত্রফল = (πr²h)/(2πrh)
= r/2
= 16/2
= 8

∴ বেলনের আয়তন বক্রতলের ক্ষেত্রফলের 8 গুণ।

প্রশ্ন: একটি বাক্সের দৈর্ঘ্য ৪ মিটার, প্রস্থ ২ মিটার ৭৫ সে.মি. এবং উচ্চতা ১ মিটার। বাক্সটির আয়তন কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বাক্সের দৈর্ঘ্য  = ৪ মিটার 
বাক্সের প্রস্থ  = ২ মিটার ৭৫ সে.মি. = ২.৭৫ মিটার
বাক্সের উচ্চতা = ১ মিটার

∴ বাক্সটির আয়তন = (৪ × ২.৭৫ × ১) ঘনমিটার 
= ১১ ঘনমিটার । 

প্রশ্ন: 20 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাস 7 সে.মি.। সিলিন্ডারটির আয়তন কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের উচ্চতা, h = 20 সে.মি. এবং
ভূমির ব্যাস, d = 7 সে.মি.
∴ সিলিন্ডারটির ভূমির ব্যাসার্ধ, r = d/2 সে.মি.
= 7/2 সে.মি.

আমরা জানি, 
সিলিন্ডারটির আয়তন = πr²h ঘন একক
= (22/7) × (7/2)² × 20 ঘন সে.মি.
= (22/7) × (49/4) × 20 ঘন সে.মি.
= 22 × 7 × 5 ঘন সে.মি.
= 770 ঘন সে.মি. 

∴ সিলিন্ডারটির আয়তন = 770 ঘন সে.মি.।

প্রশ্ন: ৮ ফুট বর্গের একটি বর্গাকার জায়গা ঢাকতে ৮ বর্গ ফুট ক্ষেত্রবিশিষ্ট কয়টি পাথর লাগবে? 

সমাধান: 
বর্গাকার জায়গার ক্ষেত্রফল = (৮)^২ বর্গ ফুট
= ৬৪ বর্গ ফুট 

∴ নির্ণেয় পাথর সংখ্যা = ৬৪/৮ টি 
= ৮ টি । 

প্রশ্ন: একটি বইয়ের পৃষ্ঠা সংখ্যা ২০০ এবং প্রতি পাতার পুরুত্ব ০.১ মি.মি.। বইটির দৈর্ঘ্য ২৫ সে.মি. ও প্রস্থ ১৮ সে.মি. হলে বইটির আয়তন কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বইটির দৈর্ঘ্য = ২৫ সে.মি.
বইটির প্রস্থ = ১৮ সে.মি. 

এখন,
বইয়ের ২ পৃষ্ঠা = ১ পাতা 
∴ বইয়ের ২০০ পৃষ্ঠা = ১০০ পাতা
১০০ পাতার পুরুত্ব = (১০০ × ০.১) মি.মি. = ১০ মি.মি. = ১ সে.মি. 

আমরা জানি, 
বইটির আয়তন = (২৫ × ১৮ × ১) ঘন সে.মি. 
= ৪৫০ ঘন সে.মি. । 

প্রশ্ন: একটি মাঠের প্রস্থ আরও ১০ মিটার বেশি হলে একটি ১০০০০ বর্গমিটার ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বর্গাকার মাঠ হতো। মাঠটির প্রস্থ কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
মাঠটির প্রস্থ = x মিটার (যেখানে, দৈর্ঘ্য = প্রস্থ) 
∴ ১০ মিটার বেশিতে বর্গাকার মাঠের প্রস্থ = (x + ১০) মিটার 

প্রশ্নমতে, 
(x + ১০)^২ = ১০০০০ 
বা, (x + ১০)^২ = (১০০)২ 
বা, x + ১০ = ১০০ 
বা, x = ১০০ - ১০ 
∴ x = ৯০ 

∴ মাঠটির প্রস্থ = ৯০ মিটার।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মেঝের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের দ্বিগুণ । যদি মেঝেটি পাকা করতে প্রতি বর্গমিটার ২ টাকা হিসাবে ১৯৬ টাকা খরচ হয়, তবে মেঝের দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
ধরি,
প্রস্থ = x মিটার,
দৈর্ঘ্য = ২x মিটার
∴ মেঝের ক্ষেত্রফল = (২x × x)
= ২x^২ বর্গমিটার 

∴ আয়তাকার মেঝের ক্ষেত্রফল = ১৯৬/২ = ৯৮ বর্গমিটার

প্রশ্নমতে, 
২x^২ = ৯৮
⇒ x^২ = ৯৮/২
⇒ x^২ = ৪৯
∴ x = ৭ 

∴ আয়তাকার মেঝের দৈর্ঘ্য = ২x
= (২ × ৭) মিটার 
= ১৪ মিটার ।

প্রশ্ন: কোন বেলনের উচ্চতা h এবং ব্যাসার্ধ r হলে, বেলনটির বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
বেলন বা সিলিন্ডার: 
- কোনো আয়তক্ষেত্রের যে কোনো বাহুকে অক্ষ ধরে আয়তক্ষেত্রটিকে ঐ বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তুর সৃষ্টি হয়, তাকে সমবৃত্তভূমিক বেলন বা সিলিন্ডার বলা হয়।


- সমবৃত্তভূমিক বেলনের দুই প্রান্তকে বৃত্তাকার তল, বক্রতলকে বক্রপৃষ্ঠ এবং সমগ্রতলকে পৃষ্ঠতল বলা হয়।
- বেলনের উচ্চতা h এবং ব্যাসার্ধ r হলে-
• ভূমির ক্ষেত্রফল = πr²
• আয়তন (Volume) = πr²h
• বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2πrh
• সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)  । 

প্রশ্ন: একটি কুয়ার ব্যাস ২৮ সে.মি এবং উচ্চতা ২ মিটার। প্রতি ঘন সে.মি ২ টাকা হিসেবে কুয়া খনন করলে কত খরচ হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
কুয়ার ব্যাস, ২r = ২৮ সে.মি
কুয়ার ব্যাসার্ধ, r = ২৮/২ সে.মি = ১৪ সে.মি
কুয়ার উচ্চতা, h = ২ মিটার = ২০০ সে.মি 

∴ কুয়ার আয়তন = πr^২h 
= {(২২/৭) × (১৪)^২ × ২০০} ঘন সে.মি
= {(২২/৭) × ১৪ × ১৪ × ২০০} ঘন সে.মি
= (২২ × ১৪ × ২ × ২০০) ঘন সে.মি
= ১২৩২০০ ঘন সে.মি

∴ খরচ হবে = (১২৩২০০ × ২) টাকা 
= ২৪৬৪০০ টাকা ।

প্রশ্ন: একটি চাকার ব্যাস ৮.৪ মিটার। চাকাটি ৬৬০ মিটার পথ অতিক্রম করতে কত বার ঘুরবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
চাকার ব্যাস, ২r = ৮.৪ মিটার
∴ চাকার ব্যাসার্ধ, r = ৮.৪/২ = ৪.২ মিটার

∴ চাকার পরিধি = ২πr
= (২ × ৩.১৪১৬ × ৪.২) মিটার 
= ২৬.৩৮৯৪ মিটার 

∴ ৬৬০ মিটার পথ অতিক্রম করতে চাকাটি ঘুরবে = ৬৬০/২৬.৩৮৯৪ বার 
= ২৫.০১ বার (প্রায়) । 

প্রশ্ন: ৬২৮ সে.মি. দৈর্ঘ্যের একটি লোহার তারকে একটি গোলাকার চাকায় রূপান্তরিত করা হলে চাকার ব্যাস কত হবে?

সমাধান: 
ধরি, 
চাকার ব্যাস = ২r সে.মি. 

এখানে, 
চাকার পরিধি = লোহার তারের দৈর্ঘ্য 
বা, ২πr = ৬২৮ 
বা, ২r = ৬২৮/π 
বা, ২r = ৬২৮/৩.১৪ 
বা, ২r = (৬২৮ × ১০০)/৩১৪ 
∴ ২r = ২০০

∴ চাকার ব্যাস = ২০০ সে.মি.।

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য ৩ মিটার, প্রস্থ ২ মিটার এবং গভীরতা ৪০ সে.মি । চৌবাচ্চাটির ধারণক্ষমতা কত লিটার? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য = ৩ মিটার = (৩ × ১০০) সে.মি = ৩০০ সে.মি 
চৌবাচ্চার প্রস্থ = ২ মিটার = (২ × ১০০) সে.মি = ২০০ সে.মি 
চৌবাচ্চার গভীরতা = ৪০ সে.মি 

∴ চৌবাচ্চার আয়তন = (৩০০ × ২০০ × ৪০) ঘন সে.মি 
= ২৪০০০০০ ঘন সে.মি 

১০০০ ঘন সে.মি = ১ লিটার 
∴ চৌবাচ্চাটির ধারণক্ষমতা = ২৪০০০০০/১০০০ লিটার 
= ২৪০০ লিটার ।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ভূমি ৫০ মিটার এবং উচ্চতা ২৫ মিটার। প্রতি বর্গমিটারে ২.০০ টাকা হিসেবে ঘাস লাগাতে কত টাকা খরচ হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ত্রিভুজাকৃতি জমির ভূমি = ৫০ মিটার
ত্রিভুজাকৃতি জমির উচ্চতা = ২৫ মিটার 

আমরা জানি,
ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল = ১/২ × (ভূমি × উচ্চতা) বর্গ একক 
= ১/২ × (৫০ × ২৫) বর্গমিটার 
= ৬২৫ বর্গমিটার 

১ বর্গমিটারে খরচ হয় = ২ টাকা 
∴ ৬২৫ বর্গমিটারে খরচ হয় = (২ × ৬২৫) টাকা 
= ১২৫০ টাকা 

∴ ঘাস লাগাতে খরচ হবে = ১২৫০ টাকা। 

প্রশ্ন: একটি গোলকের ব্যাস 8 সে.মি. হলে এর পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
গোলকের ব্যাস, 2r = 8 সে.মি. 
গোলকের ব্যাসার্ধ, r = 8/2 সে.মি. 
∴ গোলকের ব্যাসার্ধ r = 4 সে.মি. 

আমরা জানি, 
গোলকের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গ একক 
= 4π(4)² বর্গ সে.মি.
= 64π বর্গ সে.মি.।

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ 5.0 ইঞ্চি এবং আয়তন 150π ঘন ইঞ্চি হলে সিলিন্ডারের উচ্চতা কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h

প্রশ্নমতে, 
πr²h = 150π
বা, π.(5)².h = 150π
বা, 25πh = 150π
বা, h =150π/25π
∴ h = 6

∴ সিলিন্ডারের উচ্চতা = 6 ইঞ্চি।

প্রশ্ন: কোণকের আয়তন নির্ণয়ের সূত্র কোনটি?

সমাধান: 
• গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গ একক  ।
• গোলকের আয়তন = (4/3) πr³ ঘন একক ।

• কোণকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = πr√(h² + r²) বর্গ একক । 
• কোণকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = πr(L + r) বর্গ একক । 
• কোণকের আয়তন = (1/3) × πr²h ঘন একক । 

• বেলনের ভূমির ক্ষেত্রফল = πr²  । 
• বেলনের সম্পূর্ণতলের ক্ষেত্রফল বা সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল বা পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)  । 
• বেলনের আয়তন = πr²h   ।

প্রশ্ন: একটি পাইপের বহির্ব্যাস 18.5 ইঞ্চি এবং অন্তর্ব্যাস 8.5 ইঞ্চি। পাইপটির পুরুত্ব কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
পাইপের বহির্ব্যাস = 18.5 ইঞ্চি
পাইপের অন্তর্ব্যাস = 8.5 ইঞ্চি
∴ পাইপটির পুরুত্ব = (18.5 - 8.5)/2 ইঞ্চি
= 10/2 ইঞ্চি
= 5.0 ইঞ্চি  । 

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডার ও একটি সমবৃত্তভূমিক কোণকের ব্যাসার্ধ এবং আয়তন সমান। সিলিন্ডারের উচ্চতা ও সমবৃত্তভূমিক কোণকের উচ্চতার অনুপাত কত? 
 
সমাধান: 
ধরি, 
সিলিন্ডার ও সমবৃত্তভূমিক কোণকের ব্যাসার্ধ = r 
সিলিন্ডারের উচ্চতা = h₁
সমবৃত্তভূমিক কোণকের উচ্চতা = h₂

আমরা জানি, 
সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h₁
সমবৃত্তভূমিক কোণকের আয়তন = (1/3)πr²h₂

প্রশ্নমতে, 
πr²h₁ = (1/3)πr²h₂
বা, h₁ = h₂/3
বা, h₁/h₂ = 1/3
∴ h₁ : h₂ = 1 : 3 

∴ সিলিন্ডারের উচ্চতা ও সমবৃত্তভূমিক কোণকের উচ্চতার অনুপাত = 1 : 3  ।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য 12 মিটার, প্রস্থ 10 মিটার ও উচ্চতা 4 মিটার। এর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
এখানে,
আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, a = 12 মিটার,
আয়তাকার ঘনবস্তুর প্রস্থ, b = 10 মিটার এবং
আয়তাকার ঘনবস্তুর উচ্চতা, c = 4 মিটার

আমরা জানি,
সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2(ab + bc + ca) বর্গ একক 
= 2(12 × 10 + 10 × 4 + 4 × 12) বর্গমিটার
= 2(120 + 40 + 48) বর্গমিটার 
= 2 × 208 বর্গমিটার 
= 416 বর্গমিটার  ।

প্রশ্ন: একটি বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 100 বর্গমিটার ও আয়তন 400 ঘনমিটার। বেলনটির ভূমির ব্যাসার্ধ কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh বর্গ একক ও 
বেলনের বক্রতলের আয়তন = πr²h ঘন একক 

দেওয়া আছে, 
বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 2πrh = 100
ও বেলনের বক্রতলের আয়তন πr2h = 400

প্রশ্নমতে,
(2πrh)/(πr²h) = 100/400
বা, 2/r = 1/4
∴ r = 8

∴ বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ = 8 মিটার।

প্রশ্ন: 16 মিটার দৈর্ঘ্য ও 8 মিটার প্রস্থ বিশিষ্ট একটি আয়তাকার মাঠের পরিসীমা বরাবর বাইরের চারদিকে 2 মিটার চওড়া রাস্তা থাকলে, শুধুমাত্র রাস্তার ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য = 16 মিটার
আয়তাকার মাঠের প্রস্থ = 8 মিটার 
∴ আয়তাকার মাঠের ক্ষেত্রফল =  (16 × 8) বর্গমিটার 
= 128 বর্গমিটার

আবার, 
রাস্তাসহ মাঠের দৈর্ঘ্য = {16 + (2 × 2)} = 20 মিটার
রাস্তাসহ মাঠের প্রস্থ = {8 + (2 × 2)} = 12 মিটার
∴ রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = (20 × 12) বর্গমিটার 
= 240 বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (240 - 128) বর্গমিটার
= 112 বর্গমিটার ।