Math Master

প্রশ্ন: ৭ জন পুরুষ ও ৬ জন মহিলা থেকে ৫ সদস্য বিশিষ্ট কয়টি কমিটি গঠন করা যাবে যেখানে কমপক্ষে ৩ জন পুরুষ থাকবে?

সমাধান:
পুরুষ         মহিলা
৩               ২
৪                ১
৫               ০

মোট কমিটি গঠনের উপায়

প্রশ্ন: 'LEADING' শব্দটিকে কত উপায়ে সাজানো যাবে যেখানে স্বরবর্ণগুলো একত্রে থাকবে?

সমাধান:
LEADING শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে ৭টি
মোট স্বরবর্ণ আছে E, A, I মোট ৩টি
৩টি স্বরবর্ণকে একটি বর্ণ ধরা হলে মোট বর্ণ থাকে ৫টি

∴ মোট সাজানোর উপায় = ৫! × ৩! = ১২০ × ৬ = ৭২০

প্রশ্ন: ৭টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও ৪টি স্বরবর্ণ থেকে ৩টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও ২টি স্বরবর্ণ নিয়ে মোট কতটি শব্দ তৈরি করা যায়?

সমাধান:
৭টি ব্যঞ্জনবর্ণ থেকে ৩টি ব্যঞ্জনবর্ণ বাছাই করার উপায় ^৭C_৩ = ৩৫
৪টি স্বরবর্ণ থেকে ২টি স্বরবর্ণ বাছাই করার উপায় ^৪C_২= ৬
∴ মোট বর্ণ বাছাই করার উপায় = ৩৫ × ৬ = ২১০

প্রতিটি শব্দে বর্ণ থাকবে ৫টি এদের সাজানোর উপায় = ৫! = ১২০

∴ মোট শব্দ সংখ্যা = ২১০ × ১২০ = ২৫২০০

প্রশ্ন: 'PORKER' শব্দটিকে মোট কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
PORKER শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে ৬টি, এবং R বর্ণটি আছে ২ বার

∴ মোট সাজানোর উপায় = ৬!/২! = ৩৬০

প্রশ্ন: ৬ জন বালক ও ৪ জন বালিকা থেকে কত উপায়ে চারজন বাছাই করা যায় যেখানে কমপক্ষে ১ জন বালক থাকবে?

সমাধান:
বালক     বালিকা
১            ৩
২            ২
৩            ১
৪            ০

মোট বাছাই করার উপায়

প্রশ্ন: ২, ৩, ৫, ৬, ৭, এবং ৯ অংকগুলো একবার করে ব্যবহার করে ৫ দ্বারা বিভাজ্য ৩ অংক বিশিষ্ট কতটি সংখ্যা তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
২, ৩, ৫, ৬, ৭, এবং ৯ মোট ৬টি অংক
যেহেতু সংখ্যাটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য তাই একক স্থানীয় ঘরে শুরু ৫ বসবে।
দশক স্থানীয় ঘরে বসতে পারবে ৫ ব্যতীত বাকি ৫টি অংক
শতক স্থানীয় ঘরে বসতে পারবে ৫ এবং দশক স্থানীয় ঘরের অংক বাদে বাকি ৪টি অংক।

∴ মোট সংখ্যা = ৪ × ৫ × ১ = ২০টি

প্রশ্ন: একটি বক্সে ২টি সাদা, ৩টি কালো এবং ৪টি লাল বল রয়েছে। কত উপায়ে ৩টি বল তোলা যাবে যেখানে কমপক্ষে ১টি বল কালো হবে?

সমাধান:
কালো বল(৩)       অন্যান্য বল(৬)
১                   ২
২                  ১
৩                 ০

মোট তোলার উপায় = 

প্রশ্ন: 'DETAIL' শব্দটি কত উপায়ে সাজানো যাবে যেন স্বরবর্ণগুলো বিজোড় অবস্থানে থাকে?

সমাধান:
DETAIL শব্দটিতে মোট স্বরবর্ণ আছে (E, A, I) ৩টি
বিজোড় স্থান আছে ১ম, ৩য়, ৫ম মোট ৩টি

৩টি ঘরে ৩টি স্বরবর্ণ সাজানো যায় = ^৩P_৩ = ৩! = ৬

শব্দটিতে ব্যঞ্জনবর্ণ আছে ৩টি এবং জোড় স্থান আছে ৩টি
৩টি ঘরে ৩টি ব্যঞ্জনবর্ণ সাজানো যায় = ^৩P_৩ = ৩! = ৬

∴ মোট সাজানোর উপায় = ৬ × ৬ = ৩৬

প্রশ্ন: 'LOGARITHMS' শব্দের বর্ণগুলো থেকে ৪টি বর্ণ নিয়ে মোট কতটি শব্দ তৈরি করা যাবে যেখানে কোন বর্ণের পুনরাবৃত্তি ঘটবে না?

সমাধান:
'LOGARITHMS' শব্দটিতে মোট ১০টি ভিন্ন রয়েছে।
১০টি বর্ণ থেকে ৪টি বর্ণ নিয়ে শব্দ তৈরি করা যায় ^১০P_৪ = ৫০৪০

প্রশ্ন: ১৫ জন ছাত্র থেকে ৪ জন করে ছাত্র নিয়ে মোট কত উপায়ে দল গঠন করা যাবে?

সমাধান:
মোট দল গঠন করার উপায়= ^১৫C_৪ = ১৩৬৫

প্রশ্ন: 'DRIVER' শব্দের বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো শব্দ তৈরি করা যাবে যেন স্বরবর্ণগুলো একত্রে না থাকে?

সমাধান:
DRIVER শব্দটিতে  মোট বর্ণ আছে ৬টি, যেখানে R বর্ণটি আছে ২ বার।
স্বরবর্ণ আছে I, E মোট ২টি
২টি স্বরবর্ণকে একটি বর্ণ ধরা হলে মোট বর্ণ থাকে ৫টি

∴ স্বরবর্ণ একত্রে রেখে সাজানোর মোট সাজানোর উপায় = (৫!/২!) × ২! = ১২০

সবগুলো বর্ণ নিয়ে সাজানোর মোট উপায় ৬!/২! = ৩৬০

∴ স্বরবর্ণ একত্রে থাকবে না এমন শব্দ সংখ্যা = ৩৬০ - ১২০ = ২৪০

প্রশ্ন: ^৮C_৬ = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ⁿC_r = n!/{(n - r)! × r!}

∴ ^৮C_৬ = ৮!/{(৮ - ৬)! × ৬!} = ৮!/(২! × ৬!) = (৮ × ৭)/২! = ৪ × ৭ = ২৮

প্রশ্ন: যদি ⁵P_r = 2 × ⁶P_{r - 1} হয়, তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
⁵P_r = 2 × ⁶P_{r - 1}
⇒ 5!/(5 - r)! = 2 × {6!/(6 - r + 1)!}
⇒ 5!/(5 - r)! = 2 × {6!/(7 - r)!}
⇒ 1/(5 - r)! = 2 × {6/(7 - r)!}
⇒ 1/(5 - r)! = 12/(7 - r)!
⇒ (7 - r)! = 12(5 - r)!
⇒ (7 - r)(6 - r)(5 - r)! = 12(5 - r)!
⇒ (7 - r)(6 - r) = 12
⇒ 42 - 7r - 6r + r² = 12
⇒ r² - 13r + 30 = 0
⇒ (r - 10)(r - 3) = 0
∴ r = 10 অথবা r = 3

r এর মান n থেকে ছোট হতে হবে।
∴ r = 3

প্রশ্ন: নিচের কোনটি বিন্যাসের সূত্র?

সমাধান:
n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রতিবারে r সংখ্যক বস্তু নিয়ে মোট সাজানোর ব্যবস্থা বের করার সূত্র হলো:
ⁿP_r = n!/(n - r)! 

এখানে,
n = মোট উপাদান,
r = মোট উপাদানের মধ্যে যতটি উপাদান নিয়ে বিন্যাস করতে হয়।

প্রশ্ন: একটি ব্যাটমিন্টন টুর্ণামেন্ট খেলায় মোট ২১টি ম্যাচ হয়। প্রত্যেক দল প্রতিটি দলের সাথে একটি করে ম্যাচ খেললে মোট দলের সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
মোট দলের সংখ্যা n টি

∴ ⁿC_২ = ২১
⇒ n!/{(n - ২)! × ২!} = ২১
⇒ n(n - ১) = ৪২
⇒ n^২ - n - ৪২ = ০
⇒ n^২ - ৭n + ৬n - ৪২ = ০
⇒ n(n - ৭) + ৬(n - ৭) = ০
⇒ (n - ৭)(n + ৬) = ০
∴ n = ৭ অথবা n = - ৬
n = - ৬ গ্রহণযোগ্য নয়।

∴ মোট দলের সংখ্যা ৭টি।

প্রশ্ন: X ও Y দেশের ৩ জন করে কূটনীতিবিদ গোলটেবিল বৈঠকে মিলিত হলে তারা কত উপায়ে বসতে পারেন যেন দুই দেশের কূটনীতিবিদ পাশাপাশি না বসেন?

সমাধান:
X দেশের একজনকে স্থির রেখে বাকী দুজনকে বিন্যাস করা যায় = 2! উপায়ে
Y দেশের তিনজন বিন্যাস করা যায় = 3! উপায়ে

∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 2! × 3!
= 2 × 3 × 2
= 12

প্রশ্ন: একটি সভায় প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে একবার করে করমর্দন করায় ৪৩৫টি করমর্দন হলো। সভায় মোট কতজন লোক ছিল?

সমাধান:
আমরা জানি করমর্দন দুইজনের মাঝে সংঘটিত হয়।
ধরি,
সভায় লোকের সংখ্যা n জন

∴ ⁿC₂ = 435
⇒ n!/{2! ×(n - 2)!} = 435
⇒ {n(n - 1)(n - 2)!}/{2! ×(n - 2)!} = 435
⇒ n(n - 1)/2 = 435
⇒ n² - n = 870
⇒ n² - n - 870 = 0
⇒ n² - 30n + 29n - 870 = 0
⇒ n(n - 30) + 29(n - 30) = 0
⇒ (n - 30)(n + 29) = 0
⇒ n - 30 = 0 অথবা n + 29 = 0
∴ n = 30 অথবা n = - 29
ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়।
∴ n = 30

∴ সভায় মোট লোক ছিল ৩০ জন।

প্রশ্ন: 1, 2, 3, 4, 5 সংখ্যাগুলো নিয়ে তিন অংক বিশিষ্ট কয়টি টেলিফোন নাম্বার বানানো যাবে?

সমাধান:
মোট সংখ্যা n = 5 টি
ঘর r = 3 টি 

মোট টেলিফোন নাম্বার বানানো যাবে = n^r = 5³ = 125টি

প্রশ্ন: একটি ক্লাসের ৮ জন ছাত্রের মধ্যে থেকে সভাপতি এবং সম্পাদক বাছাই করতে হলে কতভাবে এই নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান:
৮ জন ছাত্র থেকে সভাপতি নির্বাচন করার উপায় ^৮C_১ = ৮
বাকি (৮ -১) = ৭ জন ছাত্র থেকে সম্পাদক নির্বাচন করার উপায় ^৭C_১ = ৭

∴ মোট বাছাই করার উপায় = ৮ × ৭ = ৫৬

প্রশ্ন: একটি বইয়ের তাকের উপর ৬টি বই রাখতে হবে। এগুলোকে কতভাবে সাজানো যায়?

সমাধান:
বইয়ের তাকের উপর ৬টি বই রাখা যাবে ৬! = ৭২০ উপায়ে।