৪৯তম বিসিএস ⎯ ফলিত গণিত [৫৬১]

দূরত্ব (Distance)
1.The length of the actual path covered by a moving object in a given time.(কোনো বস্তুর একটি নির্দিষ্ট সময়ে অতিক্রান্ত প্রকৃত পথের দৈর্ঘ্য।)
2.It is a scalar quantity. এটি একটি স্কেলার রাশি।
3.It is always positive. এটি সর্বদা ধনাত্মক।
4.The unit of distance is a meter (m). দূরত্বের একক হলো মিটার (m)।

সরণ (Displacement)
1. It is the shortest distance covered by a body in a definite direction. একটি বস্তুর অতিক্রান্ত পথের মধ্যে সর্বনিম্ন দূরত্ব, যা একটি নির্দিষ্ট দিকে পরিমাপ করা হয়
2.It is a vector quantity. এটি একটি ভেক্টর রাশি।।
3.It can be positive, Negative or Zero. এটি ধনাত্মক, ঋণাত্মক অথবা শূন্য হতে পারে।
4. The unit of displacement is a meter(m). সরণের একক হলো মিটার (m)।

Away from fixed point, So + sign.
Acceleration ∞ x^{2.
So option a write ans.
 স্থির বিন্দু থেকে দূরে—তাই চিহ্ন + হবে। 
ত্বরণ ∝ x2 (ত্বরণ x2-এর সমানুপাতিক)।
ক উত্তর হবে।} 

Due to damping (friction, resistance, etc.), energy is lost in every cycle, so amplitude decreases exponentially with time.

The damping force is proportional to velocity, so the correct equation is

Another form of this damped oscillation equation is 

Maximum amplitude occurs at resonance (ω=ω₀​).
At resonance, the phase difference between driving force and velocity is 0^∘

 In damped forced oscillation, velocity is in phase with driving force at resonance. So phase difference is always zero.

Less damping makes the resonance peak sharper and amplitude larger.

An apse is either the closest point (pericenter) or the farthest point (apocenter) in the orbit of a celestial body.

β
​

For planets orbiting the Sun:
​Perihelion = nearest point to Sun
​Aphelion = farthest point from Sun

In a circular orbit, distance from focus is constant, so periapsis = apoapsis. That means apocenter and pericenter coincide.

Perigee = nearest point to Earth
​Apogee = farthest point from Earth

Kepler’s first law (Law of Ellipses) → Each planet moves in an elliptical orbit, Sun at one focus.

Kepler’s Third Law states that: 
​Square of orbital period T² is directly proportional to cube of semi-major axis a³.

Kepler’s laws hold true for motion under gravitational inverse-square law.
​

Stress vs. strain graph is a straight line through origin (up to elastic limit).
​

​Comparing with this we get 
​u=3, n²=4
​It satisfies u²<4n²  
​​​So it is under damped oscillation.