Math Master

মৌলিক সংখ্যা (Prime Number):

প্রশ্ন : কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে 12, 15, 18 ও 21 দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 9 অবশিষ্ট থাকে? 

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৭ : ৮ এবং তাদের গ.সা.গু ৫ হলে, সংখ্যা দুইটির ল.সা. গু কত?

সমাধান:
দেয়া আছে 
দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৭ : ৮

মনে করি,
একটি সংখ্যা ৭ক  এবং
অপর সংখ্যাটি ৮ক

সংখ্যা দুটির গ.সা.গু = ক  এবং ল.সা.গু = ৫৬ক

শর্তমতে, 
ক = ৫

সংখ্যা দুটির গ.সা.গু = ৫৬ × ৫ = ২৮০

প্রশ্ন : দু’টি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৪৫ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?
সমাধান :
মনেকরি,
ক্রমিক সংখ্যাদ্বয় x, x + 1
∴ (x + 1)² - x² = 45
বা, x² + 2x + 1 - x² = 45
বা, 2x = 45 - 1
বা, 2x = 44
বা, x = 22
∴ x + 1 = 22 + 1 = 23, যা নির্ণেয় বড় সংখ্যা।

২০৫ = ৪১ × ৫  [যা পূর্ণবর্গ নয়] 
২৮৪ = ২ × ২ × ৭১ [যা পূর্ণবর্গ নয়] 
৩২৫ = ৫ × ৫ × ১৩ [যা পূর্ণবর্গ নয়] 
৬২৫ = ৫ × ৫ × ৫ × ৫ [যা পূর্ণবর্গ ]

প্রশ্ন: x² - 5 = 0 হলে x হলো-

সমাধান: 
x² - 5 = 0
x² = 5
x = √5

পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয় 
পূর্ণবর্গ নয় এমন সংখ্যার বর্গমূলকে অমূলদ সংখ্যা বলে।
5 সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ নয়।
অতএব, 5 এর বর্গমূল অমূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: ৯ ÷ ০.১২৫ = কত?
সমাধান: 
 ৯ ÷ ০.১২৫ =৯/০.১২৫
                   = (৯ × ১০০০)/১২৫
                    = ৭২

প্রশ্ন: ১২/৫, ৩৬/৫, ৭২/২৫ এর ল.সা.গু কত? 

সমাধান: 
সমাধান: 
ভগ্নাংশগুলোর লব ১২, ৩৬, ৭২ এর ল.সা.গু. = ৭২
ভগ্নাংশগুলোর হর ৫, ৫, ২৫ এর গ.সা.গু. = ৫ 

নির্ণেয় ল.সা.গু = ৭২/৫

৮ এবং ১৫ দুইটি স্বাভাবিক সংখ্যা ।
এখানে, ৮ = ১ × ২ × ২ × ২ এবং ১৫ = ১ × ৩ × ৫
লক্ষ করি, ৮ এর গুণীনয়কগুলো ১, ২, ৪, ৮ এবং ১৫ এর গুণনীয়কগুলো ১, ৩, ৫, ১৫ । 

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ২০, ২৫, ৩০ এবং ৩৬  দিয়ে ভাগ করলে যথাক্রমে ১৭, ২২, ২৭ এবং ৩৩ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান: 
এখানে, 
২০ - ১৭ = ৩
২৫ - ২২ = ৩
৩০ - ২৭ = ৩
৩৬ - ৩৩ = ৩ 

ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি  ২০, ২৫, ৩০ এবং ৩৬ এর ল.সা.গু  থেকে ৩ কম 
 ২০, ২৫, ৩০এবং ৩৬  এর ল.সা.গু  =৯০০

নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৯০০ - ৩ 
= ৮৯৭

- ল.সা.গু এর পূর্ণরূপ হলো লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক। 
- গ.সা.গু এর পূর্ণরূপ হলো গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক। 

প্রশ্ন: একটি লোহার পাত ও একটি তামার পাতের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৬৭২ সে.মি. ও ৯৬০ সে.মি. । পাত দুইটি থেকে কেটে নেওয়া একই মাপের সবচেয়ে বড় টুকরার দৈর্ঘ্য কত হবে ?

সমাধান:
একই মাপের সবচেয়ে বড় টুকরার দৈর্ঘ্য হবে ৬৭২ সে.মি. ও ৯৬০ সে.মি. এর গ.সা.গু। 
৬৭২ ও ৯৬০ এর গ.সা.গু = ৯৬ 
সবচেয়ে বড় টুকরার দৈর্ঘ্য হবে = ৯৬ সে.মি.

প্রশ্ন: কোনটি প্রকৃত ভগ্নাংশ নয়?

সমাধান: 
যে ভগ্নাংশের লব অপেক্ষা হর বড় তাকে প্রকৃত ভগ্নাংশ বলে। 
অর্থাৎ প্রকৃত ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে,  লব< হর 
সুতরাং প্রকৃত ভগ্নাংশ < ১

যে ভগ্নাংশের লব অপেক্ষা হর ছোট তাকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।
অর্থাৎঅপ্রকৃত ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে,  লব> হর 
সুতরাং অপ্রকৃত ভগ্নাংশ > ১

যৌগিক সংখ্যা (Composit Number): 

প্রশ্ন: ৭ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ও ৬ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যার অন্তর কত?

সমাধান: 
৭ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০০০০
৬ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯৯৯
অন্তর = (১০০০০০০ - ৯৯৯৯৯৯) = ১

প্রশ্ন : ১ম, ২য়, ৩য় ঝুড়িতে আম, জাম ও লিচু আছে যথাক্রমে ১৫৯টি, ২২৭টি, ৪০১টি। সর্বাধিক কত জন বালকের মধ্যে ফলগুলো সমান ভাবে ভাগ করে দিলে ৩টি আম, ৬ টি জাম ও ১১ টি লিচু অবশিষ্ট থাকবে?