Math Master

প্রশ্ন: নিচের কোন পূর্ণ সংখ্যাকে ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ১, ২, ৩ ও ৪ অবশিষ্ট থাকে?

সমাধান:
এখানে,
৩ - ১ = ২
৪ - ২ = ২
৫ - ৩ = ২ 
৬ - ৪ = ২
∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৩, ৪, ৫ ও ৬ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ২ কম।
৩, ৪, ৫, ৬ - এর ল.সা.গু = ৬০

∴ নির্ণেয় সংখ্যা = (৬০ - ২) = ৫৮

প্রশ্ন: দুই অঙ্ক বিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি ১০। সংখ্যাটি থেকে ৭২ বিয়োগ করলে অঙ্কটি স্থান বিনিময় করে সংখ্যাটি কত? 

সমাধান:
ধরি,
একক স্থানীয় অঙ্ক x
এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক = 10 - x

∴ সংখ্যাটি = x + 10(10 - x) = 100 - 9x
স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি হয় = (10 - x) + 10x = 10 + 9x

শর্তমতে,
(100 - 9x) - 72 = 10 + 9x
⇒ 28 - 9x = 10 + 9x
⇒ 9x + 9x = 28 - 10
⇒ 18x = 18
∴ x = 1

∴ নির্ণেয় সংখ্যা = 100 - 9. 1 = 91

প্রশ্ন: ২/৩, ৪/৯, ১৬/২১ এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর লব ২, ৪, ১৬
প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর হর ৩, ৯, ২১

২, ৪, ১৬ এর গ.সা.গু = ২
৩, ৯, ২১ এর ল.সা.গু = ৬৩

আমরা জানি,
ভগ্নাংশের গ.সা.গু = ভগ্নাংশগুলোর লবের গ.সা.গু/ভগ্নাংশগুলোর হরের ল.সা.গু
= ২/৬৩

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = ২/৬৩

প্রশ্ন: তিনটি ভিন্ন ভিন্ন কাঠের দৈর্ঘ্য ৩২ সে.মি., ৪০ সে.মি. এবং ৪৮ সে.মি.। সর্বনিম্ন কি পরিমাণ কাপড়কে এই কাঠগুলোর যে কোন একটি দিয়ে পূর্ণসংখ্যক বার পরিমাপ করা যাবে।

সমাধান:
নির্ণেয় কাপড়ের পরিমাণ হবে ৩২, ৪০, ৪৮ এর ল.সা.গু।
৩২, ৪০, ৪৮ এর ল.সা.গু ৪৮০
সর্বনিম্ন কাপড় = ৪৮০ সে.মি
= ৪৮০/১০০ মিটার
= ৪.৮ মিটার

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৫৫৫ থেকে যত বড় ৭৫৭ থেকে তত ছোট হলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি x

প্রশ্নমতে,
x - ৫৫৫ = ৭৫৭ - x
বা, ২x = ১৩১২
∴ x = ৬৫৬

∴ সংখ্যাটি ৬৫৬

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সঙ্গে ১ যোগ করলে যোগফল ৩, ৬, ১২, ১৮ এবং ২৫ দ্বারা নি:শেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
৩, ৬, ১২, ১৮ এবং ২৫ এর ল.সা.গু = ৯০০

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম  সংখ্যা = ৯০০ - ১ = ৮৯৯

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল ১২০ ও তাদের বর্গের যোগফল ২৮৯। সংখ্যাদ্বয়ের অন্তর কত?

সমাধান:
ধরি,
 সংখ্যা দুটি x  ও  y 

প্রশ্নমতে,
x² + y² = 289 
xy = 120

আমরা জানি 
(x - y)² = x² + y² - 2xy 
বা, (x - y)² = 289 - (2 × 120)
বা, (x - y)² = 289 - 240
বা, (x - y)² = 49
বা, (x - y)² = 7²
∴ x - y = 7

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ৯৬ এবং গ.সা.গু ১৬। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার ১.৫ গুণ হলে বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা x
অপর সংখ্যা 1.5x
সংখ্যা দুইটির গুণফল = 1.5x²

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
1.5x² = 96 × 16
বা, 1.5x² = 1536
বা, x² = 1536/1.5
বা, x² = 1024
বা, x = √1024
∴ x = 32

∴ বড় সংখ্যাটি = 1.5 × 32 = 48

প্রশ্ন: ০, ২, ৩, ৫ অঙ্কগুলো দ্বারা গঠিত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার পাথর্ক্য কত?

সমাধান:
০, ২, ৩, ৫ অঙ্কগুলো দ্বারা গঠিত বৃহত্তম সংখ্যা = ৫৩২০
০, ২, ৩, ৫ অঙ্কগুলো দ্বারা গঠিত ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ২০৩৫

∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার পাথর্ক্য = ৫৩২০ - ২০৩৫ = ৩২৮৫

প্রশ্ন: (5 + √7) হলো -

সমাধান:
(5 + √7) হলো অমূলদ সংখ্যা। কারণ একটি মূলদ ও একটি অমূলদ সংখ্যার যোগফল সর্বদা অমূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: ৩০ থেকে ৮০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
৩০ থেকে ৮০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা ৭৯
৩০ থেকে ৮০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা  ৩১

∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার সমষ্টি = ৭৯ + ৩১ = ১১০
∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার গড় = ১১০/২ = ৫৫

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার বর্গমূলের সাথে ১৫ যোগ করলে যোগফল ৫ এর বর্গ হবে?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি x

প্রশ্নমতে,
√x + ১৫ = ৫^২
বা, √x = ২৫ - ১৫
বা, √x = ১০
বা, x = ১০^২
∴ x = ১০০

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি ১০০

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু. ২৪ এবং গ.সা.গু. ৪ ও সংখ্যা দুইটির বিয়োগফল ৪ হলে সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাদ্বয় x ও y.

আমরা জানি,
সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল = ল.সা.গু. × গ.সা.গু = ২৪ × ৪ = ৯৬

∴ xy = ৯৬
আবার, x - y = ৪
বা, x = ৪ + y .................. (1)

এখন, (x + y)^২ = (x - y)^২ + ৪xy
বা, (x + y)^২ = ৪^২ + ৪ × ৯৬
বা, (x + y)^২  = ৪০০
বা, x + y = ২০
বা, y + ৪ + y = ২০ [(1) নং হতে]
বা, ২y = ২০ - ৪
বা, y = ১৬/২
 ∴ y = ৮

আবার, x + y = ২০
বা, x = ২০ - y = ২০ - ৮ = ১২
∴ x = ১২

∴ নির্ণেয় সংখ্যা দুইটি ১২, ৮

প্রশ্ন: ‍a ও b বিজোড় সংখ্যা হলে নিচের কোনটি জোড়?

সমাধান:
যেহেতু, a ও b বিজোড় সংখ্যা তাই ‍a ও b এর মান 5 ধরে 
ab = 5 . 5 = 25
ab + 1 = 5 . 5 + 1 = 26
ab + 2 = 5 . 5 + 2 = 27
ab + 4 = 5 . 5 + 4 = 29

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ও তার বিপরীত সংখ্যার যোগফল সংখ্যাটির দ্বিগুণের সমান হলে, সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি x
সংখ্যাটির বিপরীত সংখ্যা 1/x

প্রশ্নমতে,
x + 1/x = 2x
⇒ x² + 1 = 2x²
⇒  2x² - x² = 1
⇒ x² = 1
∴ x = ± 1