প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

প্রশ্ন: বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা হচ্ছে-

সমাধান:
বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা হলো বৃত্তের ব্যাস ।

ব্যাস হলো সেই জ্যা যা বৃত্তের কেন্দ্রকে অতিক্রম করে এবং বৃত্তের দুটি বিপরীত বিন্দুকে সংযুক্ত করে। এটি বৃত্তের সর্বোচ্চ দৈর্ঘ্য এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ।
যেহেতু ব্যাসের দৈর্ঘ্য সর্বাধিক হয়, তাই বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা এটি।

সুতরাং, বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা হলো ব্যাস ।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২৪ সে.মি. এবং প্রস্থ ১২ সে.মি. আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি করে ৩০ সে.মি. করা হলো। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে?

সমাধান:
আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = ২৪ × ১২ = ২৮৮ বর্গ সে.মি.
নতুন আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ক সে.মি. হলে,
ক্ষেত্রফল = ৩০ক বর্গ সে.মি.

প্রশ্নমতে,
৩০ক = ২৮৮
⇒ ক = ২৮৮/৩০
∴ ক = ৯.৬ সে.মি.
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ ৯.৬ সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে।

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্র অনুসারে ∠ n = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
1 সরল কোণ = 180°

∴ 30° + 100° + n° + 25° = 180°
⇒ 155° + n° = 180°
⇒  n° = 180° - 155°
∴  n° = 25°

প্রশ্ন: দুইটি সমান্তরাল রেখা কয়টা বিন্দুতে ছেদ করে?

সমাধান:
দুইটি সমান্তরাল রেখা কখনোই একে অপরকে ছেদ করে না।

সমান্তরাল রেখা এমন দুটি রেখা, যা একে অপরকে কখনোই ছেদ করে না এবং সবসময় একই দিকে চলতে থাকে। এর মানে হল যে, এই রেখাগুলির মধ্যে কোন সংযোগ বা ছেদের স্থান থাকে না।

অতএব, দুটি সমান্তরাল রেখা ০ (শূন্য) বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 7√2 একক হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত একক?

সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য = a একক
তাহলে, বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 একক
এবং বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4a একক

প্রশ্নমতে,
a√2 = 7√2
⇒ a = 7 একক

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 × 7 একক
= 28 একক

প্রশ্ন: অর্ধবৃত্তস্থ ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের একটি অপরটির পাঁচগুণ হলে, সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ হওয়ায় ত্রিভুজটি সমকোণী ।
ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের একটি x হলে অপরটির 5x
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°

⇒ x + 5x + 90° = 180°
⇒ 6x = 180° - 90°
⇒ x = 90°/6
⇒ x = 15°

∴ বৃহত্তম কোণ = 5 × 15° = 75°

প্রশ্ন: দুইটি সরল রেখা পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদ বিন্দুতে কয়টি কোণ তৈরি হয়?

সমাধান;
PR ও QS দুইটি সরলরেখা পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করলে এদের দ্বারা গঠিত কোণগুলো হলো-
∠POQ, ∠POS, ∠QOR, ∠ROS

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ৮ সে. মি. এবং অতিভুজ ১৭ সে. মি. হলে এর অর্ধপরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজে, ভূমি ৮ সে. মি. এবং অতিভুজ ১৭ সে. মি.

পাইথাগোরাসের সূত্র অনুসারে,
⇒ অতি^২ = ভূমি^২ + লম্ব^২
⇒ লম্ব^২ = ১৭^২ - ৮^২
⇒ লম্ব^২ = ২৮৯ − ৬৪
⇒ লম্ব^২ = ২২৫
⇒ লম্ব = √২২৫
∴ লম্ব = ১৫
∴পরিসীমা = ৮ + ১৫ + ১৭ = ৪০ সে. মি.
∴ অর্ধপরিসীমা = ৪০/২ = ২০ সে. মি.

প্রশ্ন: যে দুটি মাত্রা দ্বারা তল সৃষ্টি হয় সেগুলো কী কী?

সমাধান:
এ দুটি মাত্রা দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ একত্রে একটি তল সৃষ্টি করে, যা দুটি মাত্রার সমন্বয়ে একটি সমতল বা 2D ক্ষেত্র তৈরি হয়। এতে উচ্চতা বা তৃতীয় মাত্রা থাকে না, তাই এটি একটি সমতল পৃষ্ঠ হিসেবে বিবেচিত হয়।

উদাহরণস্বরূপ, একটি বইয়ের পাতা বা একটি টেবিলের উপরিভাগ এই দুটি মাত্রা দিয়েই তৈরি।

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুটি ৮ মিটার ও ১২ মিটার এবং ক্ষেত্রফল ১০০ বর্গমিটার হলে সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান:
ধরি,
সমান্তরাল বাহু দুটি a = ৮ ও b = ১২ এবং উচ্চতা (দূরত্ব) h।

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × h × (a + b)
১০০ = (১/২) × h × (৮ + ১২)
⇒ ১০০ = (১/২) × h × ২০
⇒ ১০০ = ১০h
⇒ h = ১০০/১০
⇒ h = ১০
সুতরাং, সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব ১০ মিটার।

প্রশ্ন: ৫৫° কোণের বিপ্রতীপ কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
৫৫° কোণের বিপ্রতীপ কোণ হল সেই কোণ যা দুটি সরল রেখার মধ্যে তৈরি হয়, যখন তারা একে অপরকে ছেদ করে। বিপ্রতীপ কোণগুলি সমমান হয়ে থাকে।

অতএব, ৫৫° কোণের বিপ্রতীপ কোণও হবে ৫৫°।

প্রশ্ন: দুটি লাইন একে অন্যের থেকে ১.৫ মিটার দূরে সমান্তরাল ভাবে চলছে । তারা কখন একে অন্যের সাথে মিলিত হবে?

সমাধান:
সমান্তরাল লাইন এমন দুটি লাইন, যেগুলি একই দিকে চলে এবং একে অপর সাথে কখনও ছেদ বা মিলিত হয় না। তারা একে অপরের থেকে একটি নির্দিষ্ট দূরত্বে থাকে এবং এই দূরত্ব সর্বদা একই থাকে।

অতএব, এই দুটি লাইন ১.৫ মিটার দূরে সমান্তরালভাবে চললে, তারা কখনোই একে অপরকে ছেদ করবে না বা মিলিত হবে না।

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় ৩৫ সে.মি. এবং ৪০ সে.মি.। রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৩৫ × ৪০
= ৭০০ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: ৫ সে. মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র হতে ৩ সে. মি. দূরত্বে অবস্থিত জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ৫ সে. মি.
কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর দূরত্ব, d = ৩ সে. মি.

জ্যা-এর দৈর্ঘ্য,
জ্যা-এর দৈর্ঘ্য=২√(r^২ − d^২)
= ২√(৫^২ − ৩^২)
= ২√(২৫ - ৯)
= ২√১৬
= ২ × ৪
= ৮

∴ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য ৮ সে. মি.।

প্রশ্ন: ত্রিভুজের ভূমি ৮√২ মি. এবং উচ্চতা ৬√২ মি. হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ভূমি = ৮√২  ​ মি এবং উচ্চতা = ৬√২​ মি.

∴ ক্ষেত্রফল = (১/২)​ × ভূমি × উচ্চতা
= (১/২)​ ​× ৮√২ ​× ৬√২
= (১/২)​ ​× ৮ ​× ৬ × ২
= ৪৮

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ৪৮ বর্গ মিটার।

প্রশ্ন: ৯৬° কোণের সম্পূরক কোণের অর্ধেক কত?

সমাধান:
সম্পূরক কোণ = ১৮০° − ৯৬° = ৮৪°

এখন, ৮৪° কোণের অর্ধেক হবে,
৮৪° ÷ ২ = ৪২°

তাহলে, ৯৬° কোণের সম্পূরক কোণের অর্ধেক হল ৪২°।

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ না করলে বৃত্ত দুইটির সর্বাধিক সংখ্যায় সাধারণ স্পর্শক অংকন করা যায় ____ টি।

সমাধান:

দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ না করলে বৃত্ত দুইটির সর্বাধিক সংখ্যায় সাধারণ স্পর্শক অংকন করা যায় ৪ টি।