খাদ্য অধিদপ্তর নিয়োগ প্রস্তুতি

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ৩৬ বর্গফুট। যদি উচ্চতা ৪ ফুট এবং সমান্তরাল বাহু দুটি একটি অপরটি থেকে ২ ফুট বেশি হয় তাহলে ছোট বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় বাহুটি = ক ফুট
ছোট বাহুটি = (ক - ২) ফুট

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × উচ্চতা)
⇒ ৩৬ = (১/২) × {ক + (ক - ২)} × ৪
⇒ ৩৬ = (১/২) × (২ক - ২) × ৪
⇒ ৩৬ = (১/২) × (৮ক - ৮)
⇒ ৮ক - ৮ = ৭২
⇒ ৮ক = ৭২ + ৮
⇒ ৮ক = ৮০
⇒ ক = ১০

∴ ছোট বাহুটি = (১০ - ২) ফুট
= ৮ ফুট

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 6 গুণ বৃদ্ধি করা হলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
ব্যাস ছয়গুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাস = (2r + 12r) = 14r
∴ ব্যাসার্ধ = 14r/2 = 7r
∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(7r)² = 49πr²
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 49πr² - πr² = 48πr²
∴ 48 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল একটি বর্গের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 60মিটার। ত্রিভুজটির ভূমি 100 মিটার হলে, ত্রিভুজটির উচ্চতা কত?

সমাধান:
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 60 মিটার
বর্গের ক্ষেত্রফল = (60 × 60) বর্গ মিটার
= 3600 বর্গ মিটার

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 3600 বর্গ মিটার
ত্রিভুজটির ভূমি = 100 মিটার

আমরা জানি,
(1/2) × ভূমি × উচ্চতা = ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
⇒ (1/2) × 100 × উচ্চতা = 3600
⇒ উচ্চতা = (3600 × 2)/100
∴ উচ্চতা = 72 মিটার

প্রশ্ন: 16 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 16 সে.মি.

∴ বৃত্তের অন্তঃস্থ সমবাহু ত্রিভুজের বাহু = √3 × বৃত্তের ব্যাসার্ধ
= 16√3

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) (বাহু)²
= (√3/4) × (16√3)²
= (√3/4) × 256 × 3
= (√3/4) × 768
= 192√3 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: 30 মিটার লম্বা একটি মই দেয়ালের সাথে খাড়াভাবে আছে। মইটির গোড়া দেয়াল থেকে কত দূর সরালে উপরের প্রান্ত 6 মিটার নিচে নামবে?

সমাধান:

ধরি, AC মইয়ের গোড়া C থেকে D বিন্দুতে সরালে উপরের প্রান্ত A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে 6 মিটার নামবে।
মইয়ের দৈর্ঘ্য AC = BD = 30 মিটার
এবং AB = 6 মিটার
∴ BC = 30 - 6 = 24 মিটার

এখন,
BC² + CD² = BD² [যেহেতু ∠C = 90°]
⇒ CD² = BD² - BC²
⇒ CD² = (30)² - (24)²
⇒ CD² = 900 - 576
⇒ CD² = 324
∴ CD =18 মিটার

প্রশ্ন: ২৬° কোণের সম্পূরক কোণের অর্ধেক কত?

সমাধান:
২৬° কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ২৬°
= ১৫৪°

∴ ১৫৪° কোণের অর্ধেক = ১৫৪°/২
= ৭৭°

প্রশ্ন: কোনো সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 576 সে.মি. এবং প্রত্যেক সমান বাহু ভূমির 5/6 অংশ, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ভূমি = 6x সে.মি. হলে,
সমান বাহু দুটি হবে = 6x × (5/6) = 5x
∴ পরিসিমা = 6x + 5x + 5x = 16x

প্রশ্নমতে,
⇒ 16x =  576
∴ x = 36

∴ ভূমি = (6 × 36) = 216 সে.মি.
এখন, সমান বাহু দুটির প্রতিটি হবে = (5 × 36) = 180 সে.মি.

∴ ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a² - b²) [এখানে, b = ভূমি; a = সমান বাহু]
= (216/4) × √{4 · (180)² - (216)²}
= 54 × √(12960 - 46656)
=  54 × 288
= 15,552 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: পিথাগোরাস ত্রয়ীর একটি সদস্য 8 হলে অন্য দুটি সদস্য কী কী?

সমাধান:
পিথাগোরাস ত্রয়ী:
তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a, b, c (যেখানে c > a, b) যদি c² = a² + b² শর্ত মানে তাহলে তাদেরকে (a, b, c) পিথাগোরাস ত্রয়ী বলা হয়।
আবার,
তিনটি সংখ্যা যদি 2m, m² - 1, m² + 1 [যেখানে m পূর্ণসংখ্যা] আকারে থাকে তাহলে তাদেরকে পিথাগোরাস ত্রয়ী বলা হয়।
যেমন:
(3, 4, 5) পিথাগোরাস ত্রয়ী,
(2)² - 1 = 3
2 × 2 = 4
(2)² + 1 = 5

এখানে,
একটি ত্রয়ী 8
ধরি,
2m = 8
∴ m = 4
∴ অন্য ত্রয়ী দুটি হবে,
m² - 1 = 4² - 1 = 16 - 1 =15
m² + 1 = 4² + 1 = 15 + 1 = 17

প্রশ্ন: যদি একটি বহুভুজের বহিঃস্থ কোণ 30° হয়, তাহলে সেই বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বহিঃস্থ কোণ = 30°
∴ বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = 360°/30°
= 12

আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - 3)}/2
∴ বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা = {12(12 - 3)}/2
= (12 × 9)/2
= 54 টি

প্রশ্ন: যদি tanθ = 1 হয়, তাহলে, (8sinθ + 5cosθ)/(sin³θ - 2cos³θ + 7cosθ) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tanθ = 1
⇒ tanθ = tan45°
∴ θ = 45°

এখন, (8sinθ + 5cosθ)/(sin³θ - 2cos³θ + 7cosθ)
= (8sin45° + 5cos45°)/(sin³45° - 2cos³45° + 7cos45°)
= [{8 × (1/√2)} + {5 × (1/√2)}]/{(1/√2)³ - 2(1/√2)³ + 7(1/√2)}
= (8/√2) + (5/√2)/{(1/2√2) - (2/2√2) + (7/√2)}
= (13/√2)/{(1 - 2 + 14)/2√2}
= (13/√2)/(13/2√2)
= 2

প্রশ্ন: AOB একটি সরল রেখা, যার ∠AOC = 78°, এবং ∠BOC = X° হলে, X এর মান কত?

সমাধান:

এখানে,
X° + 78° = 180° [এক সরলকোণ বলে]
⇒ X° = 180° - 78°
⇒ X° = 102°

প্রশ্ন: একটি বিষমবাহু ত্রিভুজের বাহু তিনটির পরিমাপ যথাক্রমে 12 সে.মি, 35 সে.মি. এবং 37 সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
অর্ধপরিসীমা, S = (12 + 35 + 37)/2
= 84/2
= 42

∴ ক্ষেত্রফল = √[42(42 - 12)(42 - 35)(42 - 37)]
= √(42 × 30 × 7 × 5)
= √44100
= 210 বর্গ সে .মি.

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের একটি কোণের পরিমাণ ৪০° হলে, সমান কোণ দুইটির প্রত্যেকটির পরিমাণ হবে-

সমাধান:
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°
∴ একটি কোণ ৫০° হলে অপর কোণদ্বয় = ১৮০° - ৪০°
= ১৪০°

যেহেতু, ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু, অপর কোণ দুটি সমান হবে।
∴ প্রত্যেকটি কোণ = ১৪০°/২ = ৭০°

প্রশ্ন: একটি দশ বাহু বিশিষ্ট সুষম বহুভুজের কোণগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে তার কোণগুলোর সমষ্টি (2n - 4) সমকোণ।

সুতরাং দশভুজের দশটি কোণের সমষ্টি = (২ × ১০) - ৪ সমকোণ
= ২০ - ৪ সমকোণ
= ১৬ সমকোণ

∴ দশভুজের দশটি কোণের সমষ্টি = ১৬ সমকোণ।

প্রশ্ন: একটি 50 মিটার লম্বা মই একটি খাড়া দেওয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের এক প্রান্ত মাটি হতে 30 মিটার উপরে দেয়ালকে স্পর্শ করে। মইয়ের অপর প্রান্ত হতে দেওয়ালের দূরত্ব কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
মই এর অপর প্রান্ত হতে দেওয়ালের দূরত্ব = a মিটার

পীথাগোরাসের সূত্রানু্যায়ী,
50² = 30² + a²
⇒ 2500 = 900 + a²
⇒ a² = 2500 - 900
⇒ a² = 1600
⇒ a = √1600
⇒ a = 40 মিটার

প্রশ্ন: 24 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি কোণকের ভূমির ব্যাস 14 সে.মি. হলে, ঘনকের তীর্যক উচ্চতার দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
উচ্চতা, h = 24 সে.মি.
এবং ব্যাসার্ধ, r = 14/2 = 7 সে.মি.

আমরা জানি,
কোণকের তীর্যক উচ্চতা L = √(h² + r²) সে.মি.
= √(24² + 7²) সে.মি.
= √(576 + 49) সে.মি.
= √625 সে.মি.
= 25 সে.মি.

প্রশ্ন: {1/(1 + cot²θ)} + {3/(1 + tan²θ)} + 2sin²θ = কত?

সমাধান:
{1/(1 + cot²θ)} + {3/(1 + tan²θ)} + 2sin²θ
= (1/cosec²θ) + (3/sec²θ) + 2sin²θ
= sin²θ + 3cos²θ + 2sin²θ
= 3sin²θ + 3cos²θ
= 3(sin²θ + cos²θ)
= 3 × 1
= 3

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের ক্ষেত্রফল 36π বর্গ একক হলে, ঐ বৃত্তের পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

প্রশ্নমতে,
πr² = 36π
⇒ r² = 36
⇒ r = √36
⇒ r = 6

∴ বৃত্তের পরিসীমা = 2πr
= 2π(6)
= 12π একক

প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের ΔABC অর্ন্তলিখিত, ∠BOC = 124°, ∠BCO =?

সমাধান:


ΔBOC এর বহিঃস্থ, ∠AOB = ∠OBC + ∠OCB
এখন, ∠AOB + ∠y = 180°
⇒ ∠OBC + ∠OCB + ∠y = 180°
⇒ ∠x + ∠x = 180° - 124°
⇒ 2∠x = 56°
∴ ∠x = 28°

প্রশ্ন: যদি tan{(π/2) - (θ/2)} = √3 হয়, cosθ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tan{(π/2) - (θ/2)} = √3
⇒ cot(θ/2) = √3       [যেহেতু tan{(π/2) - θ} = cotθ]
⇒ cot(θ/2) = cot30^∘
⇒ θ/2 = 30^∘
⇒ θ = (30^∘ × 2)
⇒ θ = 60^∘

এখন, cos60^∘ = 1/2

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত 3 : 4 এবং রম্বসের ক্ষেত্রফল 384 বর্গ সে.মি. হলে, কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 3a এবং 4a

প্রশ্নমতে,
(1/2) × 3a × 4a = 384
⇒ 12a²/2 = 384
⇒ 6a² = 384
⇒ a² = 64
∴ a = 8

∴ রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য হবে যথাক্রমে = (3 × 8) = 24 সে.মি. এবং (4 × 8) = 32 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ঘনক আকৃতির বাক্সের বাহুর দৈর্ঘ্য 8 মিটার হলে বাক্সের তলের মোট ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
এক বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 8 মিটার

∴ বাক্সের তলের মোট ক্ষেত্রফল = 6a²
= 6 × 8²
= 6 × 64
= 384 বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও ভূমি যথাক্রমে 13 সে.মি. এবং 12 সে.মি. হলে, অতিভুজ ও উচ্চতার সমষ্টি কত?

সমাধান;
পিথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী,
অতিভুজ² = ভুমি² + লম্ব²
⇒ 13² = 12² + লম্ব²
⇒ লম্ব² = (169 - 144)
⇒ লম্ব² = 25
⇒ লম্ব = √25
∴ লম্ব = 5 সে.মি.

∴ অতিভুজ ও উচ্চতার সমষ্টি = (13 + 5) সে.মি.
= 18 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের অনুপাত ৫ : ১ হলে, বহুভুজটি হবে-

সমাধান:
ধরি,
অন্তঃস্থ কোণ = ৫ক
বহিঃস্থ কোণ = ক

প্রশ্নমতে,
৫ক + ক = ১৮০°
⇒ ৬ক = ১৮০°
∴ ক = ৩০°

এখানে,
অন্তঃস্থ কোণ = (৫ × ৩০°) = ১৫০°
বহিঃস্থ কোণ = ৩০°
∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/৩০° = ১২ টি

সুতরাং, বহুভুজটি হবে দ্বাদশভুজ।

প্রশ্ন: একটি কোণ তার পূরক কোণের 4/5 অংশ। কোণটির পূরক কোণ কত?

সমাধান:
মনে করি,
একটি কোণ = x
সুতরাং তার পূরক কোণ = (90° - x)

প্রশ্নমতে,
x = 4(90° - x)/5
⇒ 5x = 360° - 4x
⇒ 5x + 4x = 360°
⇒ 9x = 360°
⇒ x = 40°

সুতরাং, কোণটি = 40°
কোণটির পূরক কোণ = 90° - 50°
= 50°

প্রশ্ন: একটি সামন্তরিকের উচ্চতা ভূমির তিনগুণ এবং ক্ষেত্রফল ৪৩২ বর্গমিটার। ক্ষেত্রটির উচ্চতা কত?

সমাধান:
ধরি,
সামন্তরিকের ভূমি = ক মিটার
সামন্তরিকের উচ্চতা = ৩ক মিটার

আমরা জানি,
সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ক × ৩ক) বর্গমিটার
= ৩ক^২ বর্গমিটার

শর্তমতে,
৩ক^২ = ৪৩২
⇒ ক^২ = ৪৩২/৩
⇒ ক^২ = ১৪৪
∴ ক = ১২

∴ উচ্চতা = (৩ × ১২) = ৩৬ মিটার