৯ম - ১৩তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

সিলেবাস

গণিত পরীক্ষা - ৫

টপিক:
১. ত্রিকোণমিতি,
২. সেট ও ফাংশন,
৩. সমান্তর ধারা।

প্রশ্ন দেখুন অনুশীলন

৯ম - ১৩তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

৯ম - ১৩তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি · তারিখ অনির্ধারিত · ২২ প্রশ্ন

১.

P = {1, 2, 3}, Q = {2, 3, 7} এবং R = {2, 5, 6} হলে (P ∪ Q) ∩ R = কত?

ক
{2}
খ
{2, 7}
গ
{2, 3, 5}
ঘ
{1, 2, 5, 6}

সঠিক উত্তর: ক

{2}

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

{2}

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: P = {1, 2, 3}, Q = {2, 3, 7} এবং R = {2, 5, 6} হলে (P ∪ Q) ∩ R = কত?

সমাধান:
P = {1, 2, 3}
Q = {2, 3, 7}
R = {2, 5, 6}

এখন,
P ∪ Q = {1, 2, 3} ∪ {2, 3, 7} = {1, 2, 3, 7}

∴ (P ∪ Q) ∩ R = {1, 2, 3, 7} ∩ {2, 5, 6} = {2}

২.

1 + 6 + 11 + 16 + ...... ধারাটির 15তম পদ কত?

ক
81
খ
66
গ
71
ঘ
76

সঠিক উত্তর: গ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 6 + 11 + 16 + ...... ধারাটির 15তম পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1

২য় পদ - ১ম পদ = 6 - 1 = 5
৩য় পদ - ১ম পদ = 11 - 6 = 5
সাধারণ অন্তর, d = 5
∴ ইহা একটি সমান্তর ধারা।

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d
সমান্তর ধারার 15 তম পদ = 1 + (15 - 1) × 5
= 1 + 14 × 5
= 1 + 70
= 71

৩.

1/{cotA√(1 - cos²A)} = ?

ক
secA
খ
cosecA
গ
tanA
ঘ
sinA

সঠিক উত্তর: ক

secA

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

secA

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1/{cotA√(1 - cos²A)} = ?

সমাধান:
cotA√(1 - cos²A)
= cotA√(sin²A)
= (cosA/sinA) × sinA
= cosA
অতএব,
1/{cotA√(1 - sin²A)}
= 1/cosA
= secA

৪.

কোনো সমান্তর ধারার 10 তম পদ 80 হলে, এর প্রথম 19টি পদের সমষ্টি কত?

ক
1420
খ
1520
গ
1540
ঘ
1440

সঠিক উত্তর: খ

1520

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

1520

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 10 তম পদ 80 হলে, এর প্রথম 19টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি,
সমান্তর ধারার ১ম পদ, a
সাধারণ অন্তর, d

সমান্তর ধারার 10 তম পদ 80 হলে,
a + 9d = 80

প্রথম 19টি পদের সমষ্টি, = (19/2){2a + (19 - 1)d}
= (19/2){2a + 18d)
= (19/2) × 2(a + 9d)
= 19 × 80
= 1520

৫.

কোনো সমান্তর ধারার ১ম পদ 6 এবং সাধারণ অন্তর 5 হলে ধারাটির n তম পদ কত?

ক
5n + 2
খ
5n + 1
গ
5n - 1
ঘ
5n - 2

সঠিক উত্তর: খ

5n + 1

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

5n + 1

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার ১ম পদ 6 এবং সাধারণ অন্তর 5 হলে ধারাটির n তম পদ কত?

সমাধান:
সমান্তর ধারার ১ম পদ, a = 6
সাধারণ অন্তর, d = 5

∴ n তম পদ = a + (n - 1)d
= 6 + (n - 1)5
= 6 + 5n - 5
= 5n + 1

৬.

5 + 11 + 17 + 23 +................ ধারাটির কোন পদ 77?

ক
10
খ
11
গ
12
ঘ
13

সঠিক উত্তর: ঘ

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 + 11 + 17 + 23 +................ ধারাটির কোন পদ 77?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম পদ, a = 5,
সাধারণ অন্তর, d = 11 - 5 = 6,
প্রদত্ত ধারাটি সমান্তর ধারা,

মনে করি,
ধারাটির n তম পদ = 77

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1) d
a + (n - 1) d = 77
বা, 5 + ( n - 1)6 = 77
বা, 6(n - 1 ) = 77 - 5
বা, 6n - 6 = 72
বা, 6n = 72 + 6
বা, 6n = 78
∴ n = 13

∴ ধারাটির 13 তম পদ 77

৭.

tanA = √3 হলে, √3(cosecAcosA) এর মান কত?

ক
3/4
খ
1
গ
√3/4
ঘ
3

সঠিক উত্তর: খ

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: tanA = √3 হলে, √3(cosecAcosA এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tanA = √3
বা, tanA = tan60°
∴ A = 60°

এখন,
√3(cosecA cosA)
= √3 × cosec60° × cos60°
= √3 × (2/√3) × (1/2)
= 1

৮.

A = {m, n} এবং B = {3, 4}, তাহলে A × B = কত?

ক
{{m, 3}, {m, 4}, {n, 3}, {n, 4}}
খ
{(m, 3), (n, 4)}
গ
{m, n, 3, 4}
ঘ
{(m, 3), (m, 4), (n, 3), (n, 4)}

সঠিক উত্তর: ঘ

{(m, 3), (m, 4), (n, 3), (n, 4)}

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

{(m, 3), (m, 4), (n, 3), (n, 4)}

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {m, n} এবং B = {3, 4}, তাহলে A × B = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {m, n}
B = {3, 4}

∴ A × B = {m, n} × {3, 4}
= {(m, 3), (m, 4), (n, 3), (n, 4)}

৯.

log3 + log9 + log27 + …………. ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?

ক
log1
খ
3log2
গ
2log3
ঘ
log3

সঠিক উত্তর: ঘ

log3

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

log3

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log3 + log9 + log27 + …………. ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারা log3 + log9 + log27 + ………….
= log3 + log3² + log3³ + .......
= log3 + 2log3 + 3log3 + ..........
= (1 + 2 + 3 + ............) log3

∴ প্রদত্ত ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।

∴ সাধারণ অন্তর, d = 2log3 - log3 = log3

১০.

cosecθ + cotθ = a হলে, cosecθ - cotθ এর মান কত?

ক
1/a²
খ
1/a
গ
a
ঘ
1 - a

সঠিক উত্তর: খ

1/a

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

1/a

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: cosecθ + cotθ = a হলে, cosecθ - cotθ এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
cosec²θ - cot²θ = 1
বা, (cosecθ + cotθ)(cosecθ - cotθ) = 1
বা, a(cosecθ - cotθ) = 1
∴ cosecθ - cotθ = 1/a

১১.

A = {6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27} সেটটির সেট গঠন পদ্ধতি নিচের কোনটি?

ক
A = {x : x, 3 এর গুণনীয়ক এবং 0 < x ≤ 27}
খ
A = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং 0 ≤ x < 27}
গ
A = {x : x, 6 এর গুণনীয়ক এবং 0 ≤ x ≤ 14}
ঘ
A = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং 6 ≤ x ≤ 27}

সঠিক উত্তর: ঘ

A = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং 6 ≤ x ≤ 27}

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

A = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং 6 ≤ x ≤ 27}

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27} সেটটির সেট গঠন পদ্ধতি নিচের কোনটি?

সমাধান:
A সেটের উপাদানসমূহ 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27
এখানে, প্রত্যেকটি উপাদান 3 দ্বারা বিভাজ্য, অর্থাৎ 3 এর গুণিতক এবং 27 এর বড় নয়।

∴ A = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং 6 < x ≤ 27}

১২.

একটি সমান্তর ধারার ৪র্থ পদ ১৯ এবং ৬ষ্ঠ পদ ২৭ হলে, ধারাটির ২য় পদ কত?

ক
৭
খ
১৩
গ
১১
ঘ
১২

সঠিক উত্তর: গ

১১

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

১১

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ৪র্থ পদ ১৯ এবং ৬ষ্ঠ পদ ২৭ হলে, ধারাটির ২য় পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ = a
৪র্থ পদ = ১৯
৬ষ্ঠ পদ = ২৭

সাধারণ অন্তর, d = ২৩ - ১৯ = ৪

আমরা জানি,
৪ তম পদ = a + (৪ - ১)d
বা, ১৯ = a + ৩ × ৪
বা, ১৯ = a + ১২
বা, a = ১৯ - ১২
∴ a = ৭

২য় পদ = a + (২ - ১)d
= ৭ + ৪
= ১১

১৩.

যদি rsinθ = 1, rcosθ = √3 হয়, তবে √3tanθ + 2 =?

ক
3√3
খ
4
গ
3
ঘ
2

সঠিক উত্তর: গ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি rsinθ = 1, rcosθ = √3 হয়, তবে √3tanθ + 2 =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
rsinθ = 1 ......... (1)
rcosθ = √3 .............. (2)

(1) ÷ (2) হতে পাই
rsinθ/rcosθ = 1/√3
বা, tanθ = 1/√3
বা, √3√tanθ = 1

এখন, √3tanθ + 2 = 1 + 2
∴ √3tanθ + 3 = 3

১৪.

কোন সমান্তর ধারার m তম পদ n ও n তম পদ m হলে, ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?

ক
1
খ
0
গ
- 1
ঘ
2

সঠিক উত্তর: গ

- 1

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

- 1

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন সমান্তর ধারার m তম পদ n ও n তম পদ m হলে, ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?

সমাধান:
মনে করি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d

১ম শর্তমতে,
m তম পদ a + (m - 1)d = n
বা, ‍a + md - d = n .......................(1)
২য় শর্তমতে,
n তম পদ a + (n - 1)d = m
বা, a + nd - d = m ........................ (2)

(1) নং থেকে (2) নং বিয়োগ করে পাই,
a + md - d = n
a + nd - d = m
md - nd = n - m
বা, d (m - n) = n - m
বা, d = - (m - n)/(m - n)
∴ d = - 1

∴ ধারাটির সাধারণ অন্তর = - 1

১৫.

ক
3/4
খ
1/2
গ
4/3
ঘ
- 4/3

সঠিক উত্তর: গ

4/3

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

4/3

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১৬.

P = {x : x মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 11} হলে, P সেটের প্রকৃত উপসেট কয়টি?

ক
32
খ
13
গ
15
ঘ
31

সঠিক উত্তর: ঘ

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: P = {x : x মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 11} হলে, P সেটের প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
P = {x : x মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 11}
∴ P = {2, 3, 5, 7, 11}
P এর উপাদান সংখ্যা = 5

∴ P সেটের প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2⁵ - 1
= 32 - 1
= 31

১৭.

একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ ‍a, সাধারণ অন্তর d হলে, n তম পদের সমষ্টি নিচের কোনটি?

ক
(n/2){2a + (n - 1)d}
খ
2{2a + (n - 1)d}
গ
a + (n + 1)d
ঘ
a + (n - 1)d

সঠিক উত্তর: ক

(n/2){2a + (n - 1)d}

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

(n/2){2a + (n - 1)d}

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ ‍a, সাধারণ অন্তর d হলে, n তম পদ নিচের কোনটি?

সমাধান:
সমান্তর ধারার প্রথম পদ ‍a
সাধারণ অন্তর d

আমরা জানি,
n তম পদের সমষ্টি= (n/2){2a + (n - 1)d}

১৮.

নিচের কোনটি সঠিক নয়?

ক
tan²θ + 1 = cot²θ
খ
sin²θ + cos²θ = 1
গ
sec²θ - tan²θ = 1
ঘ
cosec²θ - cot²θ = 1

সঠিক উত্তর: ক

tan²θ + 1 = cot²θ

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

tan²θ + 1 = cot²θ

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সঠিক নয়?

সমাধান:
ত্রিকোনোমিতিক অনুপাতগুলোর সম্পর্ক:
sin²θ + cos²θ = 1
sec²θ - tan²θ = 1
cosec²θ - cot²θ = 1

১৯.

একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর ৯ এবং ৫তম পদটি ৪৩ হলে ১০ম পদটি -

ক
৮৮
খ
৮১
গ
৯৭
ঘ
১০৬

সঠিক উত্তর: ক

৮৮

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

৮৮

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর ৯ এবং ৫তম পদটি ৪৩ হলে ১০ম পদটি -

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d
পদসংখ্যা = n

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d

সুতরাং
a + (n - 1)d = 43
বা, a + (5 - 1)9 = 43
বা, a + 45 - 9 = 43
বা, a = 43 - 36
∴ a = 7

তাহলে,
10ম পদ = a + (n - 1)d
= 7 + (10 - 1)9
= 7 + 81
= 88

২০.

যদি A = {2, 3, 4}, B = {4, 6} এবং A ও B এর উপাদানগুলোর মধ্যে y = 2x সম্পর্ক বিবেচনায় থাকে তবে সংশ্লিষ্ট অন্বয় কোনটি?

ক
{{4, 6}, {3, 6}}
খ
{(2, 4), (3, 6)}
গ
{(4, 2), (3, 6)}
ঘ
((2, 4), (3, 6))

সঠিক উত্তর: খ

{(2, 4), (3, 6)}

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

{(2, 4), (3, 6)}

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি A = {2, 3, 4}, B = {4, 6} এবং A ও B এর উপাদানগুলোর মধ্যে y = 2x সম্পর্ক বিবেচনায় থাকে তবে সংশ্লিষ্ট অন্বয় কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {2, 3, 4} এবং B = {4, 6}

প্রশ্নানুসারে, R = {(x, y) : x ∈ P, y ∈ Q এবং y = 2x}
এখানে, A × B = {2, 3, 4} × {4, 6} = {(2, 4), (2, 6), (3, 4), (3, 6), (4, 4), ( 4, 6)}
∴ R = {(2, 4), (3, 6)}

∴ নির্ণেয় অন্বয় {(2, 4), (3, 6)}

২১.

P = {1, 2, 3} এবং Q = {2, 3, 4} হলে P ∩ (Q - P) এর মান কত?

ক
{1, 2, 3, 4}
খ
{1, 2, 3}
গ
{4}
ঘ
∅

সঠিক উত্তর: ঘ

∅

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

∅

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: P = {1, 2, 3} এবং Q = {2, 3, 4} হলে P ∩ (Q - P) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = {1, 2, 3}
Q = {2, 3, 4}

এখন,
Q - P = {2, 3, 4} - {1, 2, 3} = {4}

∴ P ∩ (Q - P) = {1, 2, 3} ∩ {4} = ∅

২২.

18 ফুট উঁচু একটি খুঁটি ভেঙ্গে ভাঙ্গা অংশটি বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে 30° কোণে স্পর্শ করে, খুঁটিটির ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য কত?

ক
6 ফুট
খ
14 ফুট
গ
12 ফুট
ঘ
10 ফুট

সঠিক উত্তর: গ

12 ফুট

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

12 ফুট

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 18 ফুট উঁচু একটি খুঁটি ভেঙ্গে ভাঙ্গা অংশটি বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে 30° কোণে স্পর্শ করে, খুঁটিটির ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

মনে করি,
খুঁটিটি মাটি হতে x ফুট উঁচুতে ভেঙ্গে ছিল।
∴ ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য = (18 - x) ফুট

এখন,
Sinθ = লম্ব/অতিভুজ
বা, Sin30° = x/(18 - x)
বা, 1/2 = x/(18 - x)
বা, 18 - x = 2x
বা, 2x + x = 18
বা, 3x = 18
বা, x = 18/3
∴ x = 6

∴ খুঁটিটির ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য = 18 - 6 = 12 ফুট