Math Master

যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা ৩৪৬ এবং ৫৫৬ কে ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে ৩১ অবশিষ্ট থাকে, সে সংখ্যাটি ৩১ অপেক্ষা বড় এবং সংখ্যাটি-
(৩৪৬ - ৩১) = ৩১৫ ও (৫৫৬ - ৩১) = ৫২৫ এর সাধারণ গুণনীয়ক।
ধরি, ৩১ অপেক্ষা বড় ৩১৫ এর গুণনীয়কের সেট = A এবং ৩১ অপেক্ষা বড় ৫২৫ এর গুণনীয়কের সেট = B
A = {৩৫, ৪৫, ৬৩, ১০৫, ৩১৫} এবং B = {৩৫, ৭৫, ১০৫, ১৭৫, ৫২৫}
সুতরাং নির্ণেয় সেট = A ∩ B
= {৩৫, ৪৫, ৬৩, ১০৫, ৩১৫} ∩ {৩৫, ৭৫, ১০৫, ১৭৫, ৫২৫}
= {৩৫, ১০৫}

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
N = স্বাভাবিক সংখ্যার সেট = {১, ২, ৩, ৪, ---------------------- }
Z = পূর্ণসংখ্যার সেট = { ------ -৩, -২, -১, ০, ১, ২, ৩, -----------}
Q = মুলদ সংখ্যার সেট = { ----- ১/২, ১, ৩/২, ৭/৩, ৮, ----------}
R = বাস্তব সংখ্যার সেট = { সকল মুলদ ও অমূলদ সংখ্যা }

সেট A = {x: x Fibonacci সংখ্যা এবং x²< 64}
x = 0; x² = 0² = 0 < 64
x = 1; x² = 1² = 1 < 64
x = 1; x² = 1² = 1 < 64
x = 2; x² = 2² = 4 < 64
x = 3; x² = 3² = 9 < 64
x = 5; x² = 5² = 25 < 64
x = 8; x² = 8² = 64 = 64
x = 13; x² = 13² = 169 > 64
A ={0,1, 1, 2, 3, 5} = {0,1, 2, 3, 5}

A′ = U - A = {1, 2, 3, 4, 5} - {1, 2, 4} = {3, 5}
B′ = U - B = {1, 2, 3, 4, 5} - {1, 3, 5} = {2, 4}
A′ ∩ B′ = {3, 5} ∩ {2, 4} = φ

(ক) এর সেটসমূহ {2, 3, 5} ও {7}
∴ ছেদ সেট = Φ
(খ) এর সেট সমূহ = {4, 8, 12, 16, 20, 24....} ও {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24......}
∴ ছেদ সেট = {12, 24....}
(গ) এর ছেদ সেট = {1, 2, 3}
(ঘ) এর ছেদ সেট = {0}

ভেনচিত্র অনুসারে,
n(A) = 7 + 9 + 14 + 52 = 82,
n(B) = 7 + 8 + 14 + 50 = 79
n(c) = 7 + 8 + 9 + 40 = 64,
n(A∩B) = 14 + 7 = 21,
n(B∩C) = 7 + 8 = 15,
n(C∩A) = 7 + 9 = 16,
n(A∩B∩C) = 7
∴ n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(c) - n(A∩B) - n(B∩C) - n(C∩A) + n(A∩B∩C)
= 82 + 79 + 64 - 21 - 15 - 16 + 7
= 180
----------------------------------
Alternative way:
n(A∪B∪C) = 52 + 40 + 50 + 7 + 8 + 9 + 14 = 180

ধরি,
উভয় বিষয়ে পাশ করেছে x%
তাহলে, নিচের ভেনচিত্র অনুযায়ী,
(70 - x) + x + (80 - x) + 10 = 100
⇒ 160 - x = 100
সুতরাং, x = 60
অর্থাৎ ৬০% শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে পাশ করেছে।

প্রশ্নমতে,
৬০% = ৩০০
এখন,
৬০ জন উভয় বিষয়ে পাশ করলে মোট শিক্ষার্থী = ১০০ জন
সুতরাং, ৩০০ জন উভয় বিষয়ে পাশ করলে মোট শিক্ষার্থী = (১০০ × ৩০০) / ৬০ = ৫০০ জন।

মোট বল ১২টি
প্রতিস্থাপন  করে, 
প্রথমে একটি সবুজ বল তোলার সম্ভাব্যতা ৭/১২
বলটি রেখে আবার তুললে বলটি সাদা হবার সম্ভাব্যতা ৫/১২
প্রথমে সবুজ ও পরে সাদা বল তুলার সম্ভাব্যতা ৭/১২ × ৫/১২ = ৩৫/১৪৪

প্রতিস্থাপন না করে, 
প্রথমে একটি সবুজ বল তোলার সম্ভাব্যতা ৭/১২
বলটি না রেখে আবার তুললে বলটি সাদা হবার সম্ভাব্যতা ৫/১১
প্রথমে সবুজ ও পরে সাদা বল তুলার সম্ভাব্যতা ৭/১২ × ৫/১১ = ৩৫/১৩২
যেহেতু প্রশ্নে প্রতিস্থাপন করে বা না করে কোনটিই উল্লেখ নেই, তাই এর সমাধান বের করার ক্ষেত্রে প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ধরেই সমাধান করা হয়েছে।

অতএব সঠিক উত্তর হবে - ৩৫/১৪৪

রনির অংকটি না পারার সম্ভাব্যতা = 1 - 1/2 = 1/2
সুমির অংকটি না পারার সম্ভাব্যতা = 1 - 1/2 = 1/2
রনি  ও সুমির একত্রে অংকটি না পারার সম্ভাব্যতা = 1/2 × 1/2 = 1/4
রনি  ও সুমির একত্রে অংকটি পারার সম্ভাব্যতা = 1 - 1/4 = 3/4

একটি ধাতব মুদ্রার দুইটি অংশ আছে একটি হেড ও অপরটি টেইল।
একটি ধাতব মুদ্রার একবার হেড পড়ার সম্ভাব্যতা = 1/2
একটি ধাতব মুদ্রার টানা দুই বার হেড পড়ার সম্ভাব্যতা = 1/2 × 1/2 = 1/4
একটি ধাতব মুদ্রার টানা তিন বার হেড পড়ার সম্ভাব্যতা = 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8
একটি ধাতব মুদ্রার টানা পাঁচ বার হেড পড়ার সম্ভাব্যতা = 1/2 × 1/2 × 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/32

একটি নিরপেক্ষ ছক্কা ও একটি মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করা হলে
নমুনা বিন্দু গুলো (1H), (1T), (2H), (2T), (3H), (3T), (4H), (4T), (5H), (5T), (6H), (6T)
মোট বারটি(১২) নমুনাবিন্দু আছে।
ছক্কায় 5 এবং মুদ্রায় হেড পাওয়া যায় এমন নমুনাবিন্দু মাত্র একটি (5H) পাওয়া যায়।
ছক্কায় 5 এবং মুদ্রায় হেড পাবার সম্ভাব্যতা 1/12

মোট বল সংখ্যা (6+8+10) = 24 টি।
সাদা বলের সংখ্যা 8 টি।
∴ বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাব্যতা 8/24 = 1/3
∴ বলটি সাদা না হওয়ার সম্ভাব্যতা = 1 - 1/3 = 2/3

চাকরি না পাওয়ার সম্ভাবনা ১/৭
∴ চাকরি পাওয়ার সম্ভাবনা
= ১ - ১/৭
= ৬/৭

সংখ্যা তিনটি x, x + 1 ও x + 2
x(x + 1)(x + 2) = 3{x + (x + 1) + (x + 2)} = 9x + 9
⇒ x(x² + 3x + 2) = 9x + 9
⇒ x³ + 3x² + 2x - 9x - 9 = 0
⇒ x³ + 3x² - 7x - 9 = 0
⇒ x³ + x² + 2x² + 2x - 9x - 9 = 0
⇒ x²(x + 1) + 2x(x + 1) - 9(x + 1) = 0
⇒ (x + 1)(x² + 2x - 9) = 0
⇒ x = - 1
- 1 স্বাভাবিক সংখ্যা নয়। তাই তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল তাদের যোগফলের তিনগুন হওয়া সম্ভব নয়। 
সংখ্যা তিনটির গড় = (- 1 - 1 + 1 - 1 + 2)/3 = 0/3 = 0

৫, ৭ ও ২৪ এর গড় = (৫ + ৭ + ২৪)/৩ = ১২
অতএব, (৯ + ১২ + ক)/৩ = ১২
বা, ২১ + ক = ৩৬
বা, ক = ৩৬ - ২১
বা, ক = ১৫

কোনো সংখ্যাই একাধিকবার নেই। অতএব, সংখ্যাগুলোর প্রচুরক নেই।