Math Master

ভাগশেষ উপপাদ্য মতে,
ƒ (x) = x³ - x²
x = 3 হলে,
ƒ ( 3 ) = 3³ - 3² = 18
ভাগশেষ = 18

xyz = 450
xy = 450/z
এখানে, z = 0 হতে পারবে না। কারণ z এর মান শূন্য হলে xy অসঙ্গায়িত।

আমরা জানি,
a² + b² = ( a + b )² - 2ab
দেওয়া আছে, x + 1/x = 3/2
x⁴ + 1/x⁴  = ( x² - 1/x² )² - 2x²(1/x)²
= ( ( x + 1/x )² - 2x(1/x) )² - 2
= ( ( 9/4 - 2 )² - 2
= (1/4)² - 2
= 1/16 - 2
= - 31/16

( x + y )² = ( x - y )² + 4xy 
= 2² + 4 × 24 = 100
∴ x + y = ± 10 

a = √6 + √5  হলে, 1/a = 1/( √6 + √5 ) = (√6 - √5)/{(√6)² - (√5)²} = √6 - √5
a - 1/a = 2√5 
∴ ( a⁶ - 1 )/a³ = a³ - 1/a³
= ( a - 1/a )³ + 3 . a . 1/a ( a - 1/a )
= (2√5)³ + 3 × 2√5 = 46√5 

.( x - a ), ƒ ( x ) এর উৎপাদক হবে যদি এবং কেবল যদি ƒ ( a ) = 0 হয়। গণিত বই ( ৯-১০ ) পৃষ্ঠা ৬০, অনুসিদ্ধান্ত ১১।

১ম রাশি,
x² - 3x
= x ( x - 3 )
২য় রাশি,
x² -9
= ( x + 3 ) ( x - 3 )
৩য় রাশি,
x² - 4x + 3
= ( x - 3 ) ( x - 1 )
নির্ণেয় গ. সা. গু. = ( x - 3 ) 

মনে করি রাশিটি ক 
ক +  9x/2y = 2y/x
ক = 2y/x - 9x/2y
ক = ( 4y² - 9x² )/2xy
ক = (( 2y )² -  ( 3x )²)/2xy

x/y - y/x = 3
x²/y² + y²/x² = ( x/y )² + ( y/x)²
= ( x/y - y/x )² + 2 × (x/y) × (y/x)
= 3² + 2
= 11

আমরা জানি, ( a - b + c )² = a² + b² + c² - 2ab - 2bc + 2ac
∴ a² + b² + c² - 2ac - 2bc রাশির সাথে 2ac যোগ করলে আমরা ( a - b + c )² রাশি পাব যা একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা

 ধরি, 4a - 8b = x এবং 3a - 9b = y
∴ x - y = 4a - 8b - 3a + 9b = a + b
 এখন প্রদত্ত রাশি = x³ -y³ -3 ( x - y ) xy
= ( x- y )³ =  ( a + b )³

(- 1 ) × ( - 1 ) × ( 1 ) + ( - 1 ) ÷  ( -1 ) × ( -1 ) 
= 1 - 1 = 0

x + 1/x = 2
= x² - 2x + 1 = 0
= ( x - 1 )² = 0
= x = 1
x⁵⁰⁰ - (1/x)⁶⁰⁰ = (1)⁵⁰⁰- (1/1)⁶⁰⁰
⇒ 1 - 1 = 0

( a² + 16b² )/( a² - 16b²) - ( a - 4b)/( a + 4b )
( a² - 16b²) ও ( a + 4b ) লসাগু =( a² - 16b²)
প্রদত্ত রাশি,
=( a² + 16b² )/( a² - 16b²) - ( a - 4b)/( a + 4b )
= { a² + 16b² - ( a - 4b )² }/( a² - 16b²)
= 8ab/( a² - 16b²)

১ম রাশি,
x² - 2x -3
= x² - 3x + x - 3
= ( x - 3 ) ( x + 1 )
২য় রাশি,
x² + 2x - 3
= x² + 3x - x -3
= ( x + 3 ) ( x - 1 )
এখানে রাশিদ্বের উৎপাদক গুলো এর মধ্যে ১ ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই। তাই গ.সা.গু. = 1

a³ - 3a²b + 3ab² - 2b³
= a³ - 3a²b + 3ab² - b³ - b³
= ( a - b)³ - b³
= (a - 2b){(a - b)² + b(a -b) + b²}
= (a - 2b)(a² - ab + b²)

( √5 + √( 5 - x ))/( √5 - √( 5 - x )) = 5 
[ যোজন-বিয়োজন করে পায় ]
⇒√5/√(5 - x ) = 6/4
উভয় পাশে বর্গ করে পায়,
⇒ 5/( 5- x ) = 36/16
⇒ 5/( 5 - x ) = 9/4
⇒ x = 25/9

x = 37 হলে,
8x³ + 72x² + 216x + 216
= (2x)³ + 3 . (2x)² . 6 + 3 . (2x) . (6)² + (6)³
= ( 2 × 37 + 6 )³ = 512000

ধরি, 1/(x - y) এবং 1/(x+y) এর যোগফলের সাথে p বিয়োগ করলে বিয়োগফল ২ হবে
1/(x - y) + 1/(x + y) -p = 2
⇒ p = 1/(x - y) + 1/(x + y) -2
⇒ p = (2x - 2(x² - y²))/(x² - y²)
⇒ p = (2x/(x² - y² )) - ( 2(x² -y²)/(x² - y²) 
⇒ p = ( 2x/(x² - y²)) - 2

১ম রাশি,
a³ - 1 = (a - 1) (a² + a + 1)
২য় রাশি,
a³ + 1 = (a + 1) (a² - a + 1)
৩য় রাশি,
1 + a² + a⁴
= (a² + 1)² - a²
= (a² + a + 1) (a² - a + 1)
∴ নির্ণেয় ল.সা.গু. = (a - 1) (a² + a + 1) (a + 1) (a² - a + 1) = (a³ + 1) (a³ - 1) = a⁶ - 1

2/x= 3; y = 12
x = 2/3
(3 + y)/(x - 4) = (3 + 12)/(2/3 - 4)
= -( 15 × 3)/10 = - 4.5

যদি ƒ (x) এর মাত্রা ধনাত্মক হয় এবং a ≠ 0 হয়, তবে ƒ (x) কে ( ax + b ) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় ƒ ( - b/a )। [ গণিত বই নবম-দশম শ্রেণি পৃঃ ৬০; প্রতিজ্ঞা ১২ ]