Math Master

যেহেতু, ৫টি ভিন্ন রঙের পতাকার একটি বা একাধিক একবার নিয়ে বানাতে বলা হয়েছে
সুতরাং, ৫ টি থেকে ১ টি নিয়ে সংকেত সংখ্যা হল = 5P₁ = 5
৫ টি থেকে ১ টি নিয়ে সংকেত সংখ্যা হল = 5P₂ = 20
৫ টি থেকে ১ টি নিয়ে সংকেত সংখ্যা হল = 5P₃ = 60
৫ টি থেকে ১ টি নিয়ে সংকেত সংখ্যা হল = 5P₄ = 120
৫ টি থেকে ১ টি নিয়ে সংকেত সংখ্যা হল = 5P₅ = 120
মোট সংকেত সংখ্যা = ৫ + ২০ + ৬০ + ১২০ + ১২০ = ৩২৫

‘PERMUTATION’ শব্দটিতে ১১ টি অক্ষর আছে, যার মধ্যে ৫ টি স্বরবর্ণ এবং ৬ টি ব্যঞ্জনবর্ণ আছে। স্বরবর্ণ গুলো তাদের স্থান পরিবর্তন করবে না, সুতরাং তাদের স্থান নির্দিষ্ট করে ৬ টি ব্যঞ্জনবর্ণের মধ্যে বিন্যাস সংখ্যা 6!/2! (T = 2)
= 360
‘PERMUTATION’ শব্দটি নিজেই একটা বিন্যাস সুতরাং বিন্যাস সংখ্যা হবে (360-1) বা, 359

১ম পরিবারটি ৫ টি ঘরের মধ্যে একটি ঘর বাছাই করতে পারে 5P₁ = 5
২য় পরিবারটি ৫ টি ঘরের মধ্যে একটি ঘর বাছাই করতে পারে 4P₁ = 4
৩য় পরিবারটি ৫ টি ঘরের মধ্যে একটি ঘর বাছাই করতে পারে 3P₁ = 3
তাহলে, তিনটি পরিবার দখল করতে পারে 5 x 4 x 3 = 60 উপায়ে

^4-xP₂ = 6
(4-x)!/(4-x-2)! = 6
(4-x)(4-x-1)(4-x-2)!/(4-x-2)! = 6
(4-x)(4-x-1) = 6
16 – 8x + x² - 4 + x – 6 = 0
x² - 7x + 6 = 0
(x-6)(x-1) = 0
x = 6, 1
x = 6 হলে, (4-x) = 4- 6 = -2 ইহা ঋণাত্মক। এটা কখনো সম্ভব না। সেহেতু x এর মান হবে 1।

MONDAY শব্দটিতে ৬ টি অক্ষর আছে। প্রথমে M রেখে বিন্যাস সংখ্যা 5! = 120
এবং প্রথমে M এবং শেষে Y রেখে বিন্যাস সংখ্যা 4! = 24
প্রথমে M থাকবে কিন্তু শেষে Y থাকবে না এমন
শব্দের বিন্যাস সংখ্যা (120 - 24) বা 96

ASSASSINATION শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 13 যার মধ্যে S = 4, N = 2
স্বরবর্ণ আছে 6 যার মধ্যে A = 3, I = 2, O = 1
স্বরবর্ণ গুলোকে একটি অক্ষর বিবেচনা করলে মোট অক্ষর = (13-6+1) বা, 8
তাহলে, বিন্যাস সংখ্যা = 8!/4!.2! = 840
স্বরবর্ণগুলির নিজেদের মধ্যে বিন্যাস সংখ্যা = 6!/3!2! = 60
স্বরবর্ণগুলো সর্বদা একত্রে রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা হবে = 840 x 60 = 50400

ⁿC₇ = ⁿC₅
n!/7!(n-7)! = n!/5!(n-5)!
1/7.6.5!(n-7)! = 1/5!(n-5).(n-6).(n-7)!
1/42 = 1/(n-5)(n-6)
n² - 11n + 30 = 42
n² - 11n – 12 = 0
n² - 12n – n – 12 = 0
(n-12)(n+1) = 0
n = 12, -1
n এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না। তাই n এর মান 12।

যেহেতু, একটি কালো রঙের মার্বেল মাঝখানে রাখতে হবে সেহেতু ৫টির মধ্যে ১টি স্থানে তা 5P₁ = 5 উপায়ে রাখা যাবে।
অবশিষ্ট (৩-১) বা ২ স্থানে (১১-১)বা ১০ টি 10P₂ = 90 উপায়ে সাজানো যাবে।
নির্নেয় বিন্যাস সংখ্যা 5 x 90 = 450.

‘POSTAGE’ শব্দটিতে ৭টি অক্ষর আছে যার মধ্যে ৪টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও ৩ টি স্বরবর্ণ। ৭টি স্থানের মধ্যে ৪টি বিজোড় স্থান এবং ৩টি জোড় স্থান।
৩ টি স্বরবর্ণকে ৩টি জোড়স্থানে মোট 3P₃ = 6 উপায়ে সাজনো যায়।
৪ টি ব্যঞ্জনবর্ণ ৪ টি বিজোড়স্থানে মোট 4p₄ = 24 উপায়ে সাজনো যায়।
নির্নেয় বিন্যাস সংখ্যা 6 x 24 = 144

এখানে, প্রতিটি বিজোড় সংখ্যার শেষ অঙ্ক নির্নেয় বিন্যাস সংখ্যা 3 বা 5 হবে।
শেষ অবস্থানে 3 নির্দিষ্ট রেখে বাকি চারটি অঙ্ক 4! = 24 উপায়ে সাজানো যায়।
আবার, ১ম স্থানে ০ রেখে প্রাপ্ত সংখ্যা ৫ অঙ্কের নয়। সুতরাং, ১ম অবস্থানে ০ এবং শেষ অবস্থানে ৩ রেখে বাকি তিনটি অঙ্ক = 3! = 6 উপায়ে সাজানো যায়।
শেষ অবস্থানে ৩ রেখে অর্থপূর্ণ বিজোড় সংখ্যা = 24 – 6 = 18
অনুরূপভাবে, শেষ অবস্থানে ৫ রেখে অর্থপূর্ণ বিজোড় সংখ্যা = 24 – 6 = 18
নির্নেয় বিজোড় সংখ্যা = 18 + 18 = 36

5, 9, 4, 1 অঙ্ক গুলি দ্বারা গঠিত যে সব সংখ্যার প্রথম স্থানে 5 অথবা 9 থাকবে সে সকল সংখ্যা 5000 এর চেয়ে বড় হবে।
প্রথম স্থানে 5 নির্দিষ্ট করে অবশিষ্ট 3 টি একত্রে নিয়ে গঠিত সংখ্যা 3! = 6
আবার, প্রথম স্থানে 9 নির্দিষ্ট করে অবশিষ্ট 3 টি একত্রে নিয়ে গঠিত সংখ্যা 3! = 6
সুতরাং, 5000 এর চেয়ে বড় সংখ্যা (6+6) = 12.

n এবং r যোগবোধক পূর্ণ সংখ্যা (n ≥ 2)
ⁿC_r + ⁿC_r-1 = ⁿ⁺¹C_r
n = 12 r = 4 বসিয়ে পাই,
¹²C₄ + ¹²C_4-1 = ¹²⁺¹C₄ = ¹³C₄.

একজন নির্দিষ্ট পুরুষ সর্বদাই উপস্থিত থাকেন, তাহলে পুরুষের সংখ্যা (৬-১) বা, ৫ জন।
একজনকে নির্দিষ্ট রাখায় কমিটিতে থাকবে (৪-১) বা, ৩ জন।