ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

3x² ÷ 5y × 7z + 4x × 8y² - 11z² ÷ 2x² × y² রাশিতে 3 টি পদ আছে।
প্রথম পদ = 3x² ÷ 5y × 7z
২য় পদ = 4x × 8y²
৩য় পদ = - 11z² ÷ 2x² × y²

পদগুলো '+' চিহ্ন বা '-' চিহ্ন দ্বারা পৃথক করা থাকে। 

7x² + 5x - 2x⁵ + 3x³ - 11x⁴ + 7 রাশিটি 5 ঘাতবিশিষ্ট।
প্রদত্ত রাশির ৩য় পদ, - 2x⁵ এর চলকের ঘাত 5, তাই রাশিটির ঘাত 5

 a - [ a - { a - ( a - a + 1)}]
= a - [ a - { a - 1}]
= a - [a - a + 1]
= a - 1

6x² - 7x - 4 = 0
এখানে, a = 6
            b = - 7
            c = - 4
b² - 4ac
= (-7)² - 4 × 6 × (-4)
= 49 + 96
= 145 > 0

যেহেতু নিশ্চায়ক ধনাত্মক, সুতরাং সমীকরণের মূল দুইটি বাস্তব ও অসমান।

সংখ্যাটি x হলে, 
x এর 40% + 42 = x
or, 40x/100 + 42 = x
or, 2x/5 + 42 = x
or, 2x + 210 = 5x
or, 3x = 210
∴ x = 70

ছাত্রসংখ্যা y হলে,
১ম শর্তে, বেঞ্চ সংখ্যা = y/4 + 3
২য় শর্তে, বেঞ্চ সংখ্যা= (y - 6)/3
সুতরাং y/4 + 3 =  (y - 6)/3
বা, 4y - 24 = 3y + 36
বা, y = 60
সুতরাং ঐ শ্রেণির ছাত্রসংখ্যা 60 জন।

x জন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বরের গড় =1950/x
এবং (x + 1) জন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বরের গড় = (1950 + 34)/(x + 1)
শর্তানুসারে,
1950/x - (1950 + 34)/(x + 1) = 1
বা, (1950x + 1950 - 1984x)/x(x + 1) = 1
বা, x² + 35x - 1950 = 0
বা, x² + 65x - 30x - 1950 = 0
বা, (x + 65)(x - 30) = 0
∴ x = 30 কিন্তু x ≠ - 65

অসমতা (Inequalities): 
- অসমতা এক ধরনের গাণিতিক বাক্যের প্রকাশ যা সংখ্যা, পরিমাপ বা গাণিতিক বাক্যের ক্রমের সম্পর্ক নির্দেশ করে। 
- গাণিতিকভাবে অসমতাকে ‘<’ ‘>’ ‘≥’ ‘≤’ ইত্যাদি সম্পর্ক প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
- অসমতার সমাধান নির্দিষ্ট কোন সংখ্যা বা মানের জন্য স্থির না থেকে সমাধানের ব্যাপ্তি নির্দেশ করে। অর্থাৎ নির্দিষ্ট সেটে বা অঞ্চলে বিদ্যমান সকল মানের জন্য অসমতা সিদ্ধ হয়।

বাস্তব সংখ্যার অসমতা:
যদি a ও b বাস্তব সংখ্যা হয় তাহলে a ও b এর মধ্যে তিনটি সম্পর্ক বিদ্যমান। 
যথা : 
(i) a > b, 
(ii) a < b
(iii) a = b 
a > b এবং a < b সম্পর্কদ্বয়কে অসমতা বলা হয়। 
a > b কে পড়তে হয় a is greater than b এখানে a - b ধনাত্মক। 
আবার, a < b পড়তে হয় a is less than b এখানে a - b ঋণাত্মক।

ab < 0, ac > 0 ও c < 0 হলে, a < 0,  b > 0 হবে।
কারণ c < 0 হলে, ac > 0 হবে যদি a < 0 হয়।
ab < 0 এর জন্য b > 0 হবে যদি a < 0 হয়।
উপরোক্ত নিয়মানুসারে, xy < 0 এর জন্য y > 0 হবে যদি x < 0 হয়।


সঠিক উত্তর: y > 0
কিন্তু অপশনে দুইবার y > 0 থাকায় বাতিল করা হয়েছে।

5x - x² - 6 > 0
বা, - x² + 5x - 6 > 0
বা, - ( x² - 5x + 6) > 0
বা, x² - 5x + 6 < 0
∴ (x - 2)(x - 3) < 0
5x - x² - 6 > 0 সত্য হবে যদি x - 2 < 0 এবং x - 3 > 0 হয়।
এখন, x - 2 < 0 এবং x - 3 > 0
অর্থাৎ,  x < 2 এবং x > 3
2 এর চেয়ে ছোট এবং 3 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।
আবার, 5x - x² - 6 > 0 সত্য হবে যদি x - 2 > 0 এবং x - 3 < 0 হয়।
এখন,  x - 2 > 0 এবং x - 3 < 0
অর্থাৎ x > 2 এবং x < 3
x এর মান 2 এর চেয়ে বড় এবং 3 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.  
সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ 2 < x < 3

x² + 4x > 12
বা, x² + 4x + 4 > 12 + 4
বা, (x + 2)² > 16
বা, (x + 2) > √16 অথবা (x + 2) < -√16
বা, (x + 2) > 4 অথবা (x + 2) < - 4
বা, x > 2 অথবা x < - 6

।x - 3। < 5
বা, - 5 < x - 3 < 5
বা, - 5 + 3 < x < 5 + 3
বা, - 2 < x < 8

[।x - a। < b হলে, - b < x - a < b লেখা যায়। [ b ধনাত্মক হলে ]

x + 2y = 9 or, x = 9 - 2y
এখন, 2x - y = 3
or, 2(9 - 2y) - y = 3
or, 18 - 4y - y = 3
or, 5y = 15
or, y = 3
∴ x = 9 - 2 × 3 = 9 - 6 = 3
∴ নির্ণেয় সমাধানঃ (x, y) = (3, 3)
-------------------------------
short-cut
(3, 3) এর জন্য, 3 + 2 × 3 = 9; 2 × 3 - 3 = 3। তাই অপশনের ক) সঠিক

সংখ্যা দুইটি x ও y হলে,
x + y = 60
x - y = 20
x + y + x - y = 60 + 20
or, 2x = 80
or, x = 40
∴ y = x - 20 = 40 - 20 = 20
------------------------------------------
short-cut
20 + 40 = 60; 40 - 20 = 20। তাই অপশনের ক) সঠিক

ভগ্নাংশের লব x ও হর y হলে,

১ম শর্তে, (x + 7)/y = 2
বা, x + 7 = 2y
∴ x = 2y - 7

এবং ২য় শর্তে,  x/(y - 2) = 1
বা, x = y - 2
বা, 2y - 7 = y - 2
∴ y = 5

∴ x = 2y - 7 = 2 × 5 - 7 = 10 - 7 = 3

∴ ভগ্নাংশটি = 3/5
------------------------------------------------------------------------------------------
short-cut
অপশনের খ) - তে, 3 এর সাথে 7 যোগ করলে, (3 + 7)/5 বা 2 হয়। 5 থেকে 2 বাদ দিলে 3/(5 - 2) বা 1 হয়। তাই খ) সঠিক।

মনে করি, একক স্থানীয় অঙ্ক x ও দশক স্থানীয় অঙ্ক y
শর্তানুসারে, x + y + 7 = 3y
বা, x = 2y - 7
এবং x + 10y - 18 = y + 10x
বা, 9y - 9x = 18
বা, 9y - 9(2y - 7) = 18
বা, 9y - 18y + 63 = 18
বা, 9y = 45
∴ y = 5
∴ x = 2y - 7 = 2 × 5 - 7 = 3
∴ সংখ্যাটি = 3 + 10 × 5 = 53
--------------------------------------------------
short-cut
অপশনের ক) - তে, 53 আছে। তাই 5 + 3 + 7 = 15 যা দশক স্থানীয় অঙ্ক, 5 এর তিনগুন। 53 - 18 = 35। তাই ক) সঠিক

মনে করি, পিতার বর্তমান বয়স x বছর ও পুত্রের বর্তমান বয়স y বছর।
সুতরাং, x - 8 = 8(y - 8)
বা, x = 8y - 64 + 8
∴ x = 8y - 56
এবং x + 10 = 2(y + 10)
বা, 8y - 56 + 10 = 2y + 20
বা, 6y = 66
∴ y = 11
∴ x = 8 × 11 - 56 = 88 - 56 = 32