শিক্ষক নিবন্ধন (NTRCA) প্রস্তুতি [১৯তম]

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ১৫ মিটার এবং উচ্চতা ৮ মিটার হলে, এর অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা কত মিটার বেশি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ১৫ মিটার
এবং,  উচ্চতা ৮ মিটার

আমরাজানি,
অতিভুজ^২ = ভূমি^২ + উচ্চতা^২
⇒ অতিভুজ^২ = ১৫^২ + ৮^২
⇒ অতিভুজ^২= ২২৫ + ৬৪
⇒ অতিভুজ^২= ২৮৯
⇒ অতিভুজ= √২৮৯
∴ অতিভুজ = ১৭ মিটার
 
∴ অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা বেশি = (১৭ - ১৫) = ২ মিটার

অতএব, অতিভুজ ভূমির চেয়ে ২ মিটার বেশি। 

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ও লম্বের অনুপাত 3 : 4 হলে, অতিভুজের সাথে ভূমির অনুপাত কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি (a), লম্ব (b) এবং অতিভুজ (c)
∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে পাই,  a² + b² = c²
দেওয়া আছে,
ভূমি ও লম্বের অনুপাত 3 : 4।

ধরি,
ভূমি, a = 3x এবং লম্ব, b = 4x।
∴ c² = (3x)² + (4x)²
⇒ c² = 9x² + 16x²
⇒ c² = 25x²
⇒ c = √(25x²)
∴ c = 5x
সুতরাং, অতিভুজের দৈর্ঘ্য 5x।
∴ অতিভুজ ও ভূমির অনুপাত = অতিভুজ : ভূমি = 5x : 3x = 5 : 3

সুতরাং, অতিভুজের সাথে ভূমির অনুপাত 5 : 3

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত ৪ : ৫ এবং রম্বসের ক্ষেত্রফল ৪৯০ বর্গসে.মি. হলে, বড় কর্ণটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, 
কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৪ক এবং ৫ক

প্রশ্নমতে,
(১/২) × ৪ক × ৫ক = ৪৯০
⇒ ১০ক২ = ৪৯০
⇒ ক২ = ৪৯০/১০
⇒ ক২ = ৪৯
∴ ক = ৭

তাহলে, রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য হবে যথাক্রমে,
৪ × ৭ = ২৮ সে.মি. এবং ৫ × ৭ = ৩৫ সে.মি.

∴ বড় কর্ণটির দৈর্ঘ্য ৩৫ সে.মি.।

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের অনুপাত ৩ : ১ হলে, বহুভুজটি হবে-

সমাধান:
ধরি,
অন্তঃস্থ কোণ = ৩ক
বহিঃস্থ কোণ = ক

প্রশ্নমতে,
৩ক + ক = ১৮০°
⇒ ৪ক = ১৮০°
⇒ ক = ১৮০°/৪ 
∴ ক = ৪৫°

এখানে,
বহিঃস্থ কোণ = ৪৫°

∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা, n = ৩৬০°/বহিঃস্থ কোণ
= ৩৬০°/৪৫°
= ৮ টি

∴ বহুভুজটি হবে অষ্টভুজ।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে 2x/3, 3x/3 এবং 4x/3 হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180° 

শর্তমতে, 
2x/3 + 3x/3 + 4x/3 = 180° 
⇒ (2x + 3x + 4x)/3 = 180° 
⇒ 9x/3 = 180° 
⇒ 3x = 180° 
∴ x = 60° 

∴ বৃহত্তম কোণটির পরিমাণ হবে = 4x/3 
= {(4 × 60)/3}° 
= 80°

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অন্তর 2 মিটার এবং তাদের মধ্যে লম্ব দূরত্ব 4 মিটার। ট্রাপিজিয়াম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 36 বর্গ মিটার হলে, বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
 লম্ব দূরত্ব = 4 মিটার
মনে করি,
সমান্তরাল বাহুদ্বয় যথাক্রমে,  x ও (x + 2) মিটার

আমরা জানি, 
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) x উচ্চতা

প্রশমতে,
(1/2) × 4 × (x + x + 2) = 36
⇒ 2x + 2 = 18
⇒ 2x = 16
∴ x = 8

বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য = 8 + 2 = 10 মিটার

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ABC-তে, যদি AB = AC = 26 সে.মি. এবং BC = 20 সে.মি. হয়, তাহলে ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ABC-তে,
AB = AC = 26 সে.মি. এবং BC = 20 সে.মি.।

এই ত্রিভুজ ABC তে, ∆ADC = 90° ( সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের বিপরীত শীর্ষ থেকে অসম বাহুর মধ্যবিন্দুতে অঙ্কিত রেখা দ্বারা গঠিত কোণ হল 90°)

এখন, পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে পাই,
AD² + BD² = AB²
⇒ AD² = 26² - 10²
⇒ AD2 = 676 - 100
⇒ AD² = 576
⇒ AD = √576 = 24
∴ AD = 24 সে.মি.

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × (ভূমি × উচ্চতা)
= (1/2) ×(20 × 24)
= 240 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 50 বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 50 বর্গমিটার
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের বাহু = √(ক্ষেত্রফল)
= √50
= √(25 × 2)
= 5√2 মিটার

আবার,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √2 × বাহুর দৈর্ঘ্য
= √2 × 5√2 মিটার
= (√2 × √2) × 5 মিটার
= 2 × 5 মিটার
= 10 মিটার

অতএব, বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে 10 মিটার।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 13 মিটার ও 16 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 104 বর্গমিটার। বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ কত?


সমাধান:

মনে করি,
ত্রিভুজ ABC এর AB = c = 13 মিটার, AC = b = 16 মিটার,
এবং Δ ক্ষেত্র ABC এর ক্ষেত্রফল = 104 বর্গমিটার।
AB ও BC বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ নির্ণয় করতে হবে।

∴ Δ ক্ষেত্র ABC ক্ষেত্রফল = (1/2) × c × b × sinθ
⇒ 104 = (1/2) × 13 × 16 × sinθ
⇒ 13 × 8 × sinθ = 104
⇒ sinθ = 104/104
⇒ sinθ = 1
⇒ sinθ = sin90°
⇒ θ = 90°

∴ নির্ণেয় অন্তর্ভুক্ত কোণ = 90°

প্রশ্ন: ৬০০ মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ৮০ মিটার বেশি । মাঠের প্রস্থ কত?

সমাধান: 
ধরি, 
আয়তাকার মাঠের
প্রস্থ = ক মিটার 
∴ দৈর্ঘ্য = ক  + ৮০  

আমরা জানি, 
পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার
⇒ ২(ক + ক  + ৮০) = ৬০০
⇒ ২ক  + ৮০ = ৩০০ 
⇒ ২ক = ৩০০ - ৮০ 
⇒ ২ক = ২২০ 
∴ ক = ১১০ 

∴ আয়তাকার মাঠের প্রস্থ = ১১০ মিটার

প্রশ্ন: একটি সামন্তরিকের উচ্চতা ভূমির তিনগুণ এবং ক্ষেত্রফল ৪৩২ বর্গমিটার। ক্ষেত্রটির উচ্চতা কত?

সমাধান:
ধরি,
সামন্তরিকের ভূমি = ক মিটার
সামন্তরিকের উচ্চতা = ৩ক মিটার

আমরা জানি,
সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ক × ৩ক) বর্গমিটার
= ৩ক^২ বর্গমিটার

শর্তমতে,
৩ক^২ = ৪৩২
⇒ ক^২ = ৪৩২/৩
⇒ ক^২ = ১৪৪
∴ ক = ১২

∴ উচ্চতা = (৩ × ১২) = ৩৬ মিটার

প্রশ্ন: নিচের কোন তথ্যের ভিত্তিতে চতুর্ভুজ অঙ্কন সম্ভব নয় ?

সমাধান:
আমরা দেখেছি যে,
ত্রিভুজের তিনটি উপাত্ত দেওয়া থাকলে অনেক ক্ষেত্রেই ত্রিভুজটি নির্দিষ্টভাবে আঁকা সম্ভব।
কিন্তু চতুর্ভুজের চারটি বাহু দেওয়া থাকলেই একটি নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায় না।
নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকার জন্য পাঁচটি স্বতন্ত্র উপাত্ত প্রয়োজন হয়।
নিম্নে বর্ণিত পাঁচটি উপাত্ত জানা থাকলে, নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায়।
১. চারটি বাহু ও একটি কোণ।
২. চারটি বাহু ও একটি কর্ণ।
৩. তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণ।
৪. তিনটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ।
৫. দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ।

প্রশ্ন: PQR ত্রিভুজের PQ এর মধ্যবিন্দু X, PR এর মধ্যবিন্দু Y এবং QR = 18 cm হলে, XY = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
PQR ত্রিভুজে-
X = PQ এর মধ্যবিন্দু
Y = PR এর মধ্যবিন্দু
এবং, QR = 18 cm

আমরা জানি, 
একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর মধ্যবিন্দু সংযোগ করলে তা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল হয় এবং তার দৈর্ঘ্য অর্ধেক হয়।

∴ XY রেখাখণ্ডটি PQ ও PR বাহুর মধ্যবিন্দু দ্বারা গঠিত।
∴ XY || QR এবং
∴ XY = QR/2 = 18/2 = 9 cm

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ২৮ সে.মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ২৮ সে.মি.

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × এক বাহু

প্রশ্নমতে,
৪ × এক বাহু = ২৮ 
⇒ এক বাহু = ২৮/৪
∴ এক বাহু = ৭ 
অর্থাৎ বর্গক্ষেত্রটির একবাহু = ৭ সে.মি.

আবার,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ( একবাহু × একবাহু ) বর্গ একক
= (৭ × ৭ ) বর্গ সে.মি.
= ৪৯ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র G, ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 87 বর্গএকক হলে, BGA ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র ত্রিভুজকে সমান তিনভাগে ভাগ করে।
BGA ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/3) × ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= (1/3) × 87
= 29 বর্গএকক

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 36√3 বর্গ মিটার হলে উহার পরিসীমা কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 36√3 বর্গমিটার

আমরা জানি, 
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = = (√3 / 4) × বাহু² 
এবং, সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 3 × বাহু 

প্রশ্নমতে, 
⇒ 36√3 = (√3 / 4) × বাহু²
⇒ বাহু² = 36 × 4 
⇒ বাহু = √(36 × 4) 
⇒ বাহু = 6 × 2 = 12 মিটার 

∴ সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 3 × 12 = 36 মিটার

অতএব, সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 36 মিটার