সহকারী থানা শিক্ষা অফিসার (ATEO)

প্রশ্ন: (3a - 2b, 3) = (4, 2a - b) হলে (b, a)  = ?

সমাধান: 
এখানে,
3a - 2b = 4 ............(i)
2a - b = 3 ...........(ii)

(ii) নং সমীকরণকে ২ দ্বারা গুণ করে (i) নং হতে বিয়োগ করে পাই।
3a - 2b - 4a + 2b = 4 - 6
- a = - 2
a = 2

(ii) নং সমীকরণ হতে পাই,
4 - b = 3
b = 1

∴(b, a) = (1, 2)

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার তৃতীয় পদ 13 এবং পঞ্চম পদ 19 হলে ধারটি প্রথম 10টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
মনেকরি 
সমান্তর ধারার ১ম পদ a 
সাধারণ অন্তর d 

দেওয়া  আছে,
৩য় পদ = 13 
∴ a +  (3 - 1)d = 13
a + 2d = 13 ....... (i)

৫ম পদ = 19
∴ a + (5 - 1)d = 19
a + 4d = 19 ...........(ii)

(ii) থেকে (i) নং বিয়োগ করে পাই।
2d = 6
d = 3

(i) নং সমীকরণ হতে পাই,
a = 13 - 6 = 7

১০টি পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (10/2){2a + (10 - 1)d}
= 5{2 × 7 + 9 × 3 }
= 5 (14 + 27)
= 205

প্রশ্ন: x + 2y = 11, 3x - y = 12 হলে, 2(x + y) এর মান কত? 

সমাধান: 
 x + 2y = 11................(1)
3x - y = 12 ................(2)

(2) নং সমীকরণকে ২ দ্বারা গুণ করে (1) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
6x - 2y + x + 2y = 24 + 11
7x = 35
x = 5

(1) নং হতে পাই,
x + 2y = 11
5 + 2y = 11
2y = 6
y = 3 

2(x + y) = 2(5 + 3) = 16

প্রশ্ন: 5xy + 28x - 16 = 0 এবং y = - 4 হলে, 2x + y এর মান কত?

সমাধান: 
5xy + 28x - 16 = 0
or, - 20x + 28x - 16 = 0
or, 8x = 16
x = 2

2x + y = 4 - 4 = 0

প্রশ্ন: 3, 2a + 1, 27, ...... ধারাটি গুণোত্তর প্রগতিতে থাকলে a এর মান কত?

সমাধান:
ধারাটি গুণোত্তর তাই,
পূর্বপদ এবং পরপদের অনুপাত সবসময় একই থাকবে।

∴ (2a + 1) / 3 = 27 / (2a + 1)
or, (2a + 1)² = 81
or, 2a + 1 = 9
or, 2a = 8 
or, a = 4

প্রশ্ন: ৫ + ৮ + ১১ + ১৪ + ১৭+ ......... ধারার কততম পদ ৭৭?

সমাধান: 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 3
ধরি, n তম পদ = 77

∴ a + (n - 1)d = 77
or, 5 + (n - 1)3 = 77
or, n - 1 = 72/3
or, n = 24 + 1
∴ n = 25

প্রশ্ন: কোন গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ 8 হলে, প্রথম পাঁচ পদের গুণফল কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
তৃতীয় পদ ar² = 8

প্রথম পাঁচ পদের সমষ্টি  S হলে,
S = a × ar × ar² × ar³ × ar⁴
= a⁵r¹⁰
= (ar²)⁵
= 8⁵
= 32768

প্রশ্ন: দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার দশকের অংক এককের অংক অপেক্ষা ২ বেশি। সংখ্যাটি এর অংকদ্বয়ের সমষ্টির সাতগুণ অপেক্ষা ৩ বেশি। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
একক স্থানীয় অংক = ক
দশক স্থানীয় অংক = (ক + ২)
∴সংখ্যাটি = ১০(ক + ২) + ক
= ১১ক + ২০

শর্তানুসারে,
১১ক + ২০ = ৭(ক + ক + ২) + ৩
বা, ১১ক + ২০ = ৭(২ক + ২) + ৩
বা, ১১ক + ২০ = ১৪ক + ১৪ + ৩ 
বা, ৩ক = ৩
∴ ক = ১

সংখ্যাটি = ১১ × ১ + ২০
= ৩১

প্রশ্ন: (3X - 7)/2 = Y হলে, 4Y + 14 = ?

সমাধান:
(3X - 7)/2 = Y
3X - 7 = 2Y
6X - 14 = 4Y
4Y + 14 = 6X

প্রশ্ন: ১২৮ + ৬৪ + ৩২ +....... ধারাটির কোন পদ ১?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = 128
সাধারণ অনুপাত, r = 64/128 = 1/2
ধরি, n তম পদ = 1
∴ ar^n-1 = 1
or, 128 × (1/2)^n-1 = 1
or, (1/2)^n-1 = 1/128
or, (1/2)^n-1 = (1/2)⁷
or, n - 1 = 7
∴ n = 8

প্রশ্ন: (১/৬৪) + (১/৩২) + (১/১৬) + ............................ ধারাটির প্রথম ৮ পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
এখানে,
প্রথম পদ a = 1/64
সাধারন অনুপাত, r = (1/32)/(1/64)
r = 2
যেহেতু,
r>1
প্রথম ১০ পদের সমষ্টি S_n= a × (rⁿ - 1)/(r - 1)
∴ S₈= 1/64 × (2⁸ - 1)/(2 - 1)
= 1/64 × 255
= 255/64

প্রশ্ন: (y - x), y, (y + x), (y + 2x)...... ধারাটির ১২ তম পদ কত?

সমাধান:
(y - x), y, (y + x), (y + 2x)......
a = (y - x)
d = (y - y + x) = x

১২ তম পদ = a + (n - 1)d
= (y - x) + 11x
= y + 10x

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 12 তম পদ 77 হলে, এর প্রথম 23টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির ১ম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r.
12 তম পদ = a + (12 - 1)d = a + 11d
শর্তমতে, a + 11d = 77

∴ প্রথম 23টি পদের সমষ্টি = (23/2){2a + (23 - 1)d}
= (23/2)(2a + 22d)
= (23/2) × 2(a + 11d)
= (23/2) × 2 × 77 
= 1771

প্রশ্ন: নিচের কোনটির ক্ষেত্রে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে?

সমাধান: 
দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b² - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
2. যদি b² - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
3. যদি b² - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
4.  যদি b² - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।

প্রশ্ন: a + b = 8 হলে, নিচের কোনটি ab এর সর্বনিন্ম মান?

সমাধান: 
a + b = 8 হলে, a, b এর সম্ভাব্য মান গুলো হলো 
(7, 1), (6, 2), (5, 3), (4, 4)

∴ ab এর মান = 7, 12, 15, 16
অর্থাৎ সর্বনিন্ম মান = 7

প্রশ্ন: কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) হলে, ধারাটির প্রথম 15 টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান:
প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1)
প্রথম 15টি পদের সমষ্টি = 15(15 + 1)
= 15 × 16
= 240

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম ৮ পদের সমষ্টি ১৬০ এবং প্রথম ১২ পদের সমষ্টি ৩৬০ হলে, ধারার সাধারণ অন্তর কত?
 
সমাধান:
ধরি,
ধারার ১ম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d

ধারার প্রথম 8 পদের সমষ্টি 160 হলে,
(8/2){2a + (8 - 1)d} = 160
or, 2a + 7d = 160/4
∴ 2a + 7d = 40.............(i)

প্রথম 12 পদের সমষ্টি 360 হলে,
(12/2){2a + (12 - 1)d} = 360
or, 2a + 11d = 360/6
∴ 2a + 11d = 60................(ii)

(ii) হতে (i) নং বিয়োগ করে পাই,
4d = 20
∴ d = 5

প্রশ্ন: একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল - 2 ও 5 হলে, সমীকরণটি - 

সমাধান: 
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল - 2 ও 5 হলে, সমীকরণটি নিম্নরুপঃ
x² - (মূলদ্বয়ের যোগফল)x + মূলদ্বয়ের গুণফল = 0 
⇒ x² - (- 2 + 5)x + (- 2 × 5) = 0
⇒ x² - 3x - 10 = 0

প্রশ্ন: 12 + 24 + 48 + ........... + 384 = কত?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = 12
সাধারণ অনুপাত, r = 24/12 = 2
ধরি, n তম পদ = 384
∴ ar^n-1 = 384
or, 12 × 2^(n-1) = 384
or, 2^(n-1) = 384/12
or, 2^(n-1) = 32
or, 2^(n-1) = 2⁵
or, n - 1 = 5
∴ n = 6

সমষ্টি, S = a × {(rⁿ - 1)/ r - 1}
= 12 × {(2⁶ - 1)/ 2 - 1}
= 12 × 63
 = 756

প্রশ্ন: 1 + (1/2) + (1/4) + (1/8) + ...... ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটির ১ম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = (1/2)/1 = 1/2∴ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, S_∞ = a/(1 - r)
= 1/{1 - (1/2)}
= 1/{(2 - 1)/2}
= 1/(1/2)
= 1 × (2/1)
= 2

প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের অন্তর 1; লব থেকে 2 বিয়োগ ও হরের সাথে 2 যোগ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে তা 1/6 এর সমান। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান: 
মনেকরি,
ভগ্নাংশের লব x 
ভগ্নাংশের হর  x + 1 

ভগ্নাংশটি = x /(x + 1)

প্রশ্নমতে,
 (x - 2)/(x + 1 + 2) = 1/6
6x - 12 = x + 3
6x - x = 12 + 3
5x = 15
x = 3


ভগ্নাংশটি = 3/4

প্রশ্ন: 11² + 12² + 13² + ........ + 20² এর সমষ্টি কত?

সমাধান: 
11² + 12² + 13² + ........ + 20²
= (1² + 2² + 3² + .... + 20²) - (1² + 2² + 3² + .... + 10²)
= [{20(20 + 1)(2 × 20 + 1}/6] - [{10(10 + 1)(2 × 10 + 1)}/6]
= {(20 × 21 × 41)/6} - {(10 × 11 × 21)/6}
= 2870 - 385
= 2485

প্রশ্ন: একটি লঞ্চে যাত্রী সংখ্যা 47। মাথাপিছু কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু 30 টাকা। মোট ভাড়া প্রাপ্তি 1680 টাকা হলে ডেকের যাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান: 
ধরি,
ডেকের যাত্রী ক জন
কেবিনের যাত্রী সংখ্যা ৪৭ - ক জন 

ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ৩০ টাকা
কেবিনের ভাড়া = ৩০ × ২ টাকা 
= ৬০ টাকা  

প্রশ্নমতে, 
৩০ক + ৬০ (৪৭ - ক) = ১৬৮০ টাকা 
⇒ ৩০ক + ২৮২০ - ৬০ক = ১৬৮০ 
⇒ ২৮২০ - ৩০ক = ১৬৮০ 
⇒ ৩০ক = ২৮২০ - ১৬৮০ 
⇒ ৩০ক = ১১৪০
∴ ক = ৩৮ 

ডেকের যাত্রী সংখ্যা =৩৮ জন

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 + 4 + ......... + 33 = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = {n(n + 1)}/2
অর্থাৎ 1 + 2 + 3 + .................. + n = {n(n + 1)}/2
⇒ 1 + 2 + 3 + 4 + .......... + 33 = {33(33 + 1)}/2
= (33 × 34)/2
= 561

প্রশ্ন: x² - x - 6 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কেমন? 

সমাধান: 
x² - x - 6 = 0

b² - 4ac = (- 1)2 - 4.1.(- 6)
= 25

যেহেতু,
b2 - 4ac > 0 সেহেতু, মূলদ্বয়ের প্রকৃতি বাস্তব ও অসমান।

প্রমান:
x² - x - 6 = 0
or, x² - 3x + 2x - 6 = 0
or, x(x - 3) + 2(x - 3) = 0
or, (x - 3) (x + 2) = 0

∴ x - 3 = 0
x = 3 

or, 
x + 2 = 0
x = - 2

প্রশ্ন: 3 + 12 + p + 192 +............. একটি গুণোত্তর ধারা হলে p এর মান কত?

সমাধান: 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 12/3 = 4
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}

ধারাটির তৃতীয় পদ, p = ar²
= 3 × 4²
= 3 × 16
= 48

প্রশ্ন: (x/3) + (y/3) = 2, x = y + 2 হলে (x , y) এর মান কত?

সমাধান:  
(x/3) + (y/3) = 2
(x + y)/3 = 2
x + y = 6 ....................(1)

x = y + 2
x - y = 2......................(2)

(1) + (2) ⇒ 
x + y + x - y = 6 + 2
2x = 8
x = 4

(2) নং সমীকরণ হতে পাই 
x - y = 2
4 - y = 2
- y = 2 - 4
- y = - 2
y = 2 
নির্ণেয় সমাধান (x , y) = (4 , 2)

প্রশ্ন: ৩ + ৭ + ১১ + ...... + ৮৩ ধারাটির পদসংখ্যা কত?

সমাধান: 
এখানে,
প্রথম পদ = ৩
শেষ পদ = ৮৩
সাধারন অন্তর = ৭ - ৩ = ৪

∴ পদসংখ্যা = {( শেষ পদ - প্রথম পদ )/ সাধারন অন্তর } + ১
= {(৮৩ - ৩)/৪} + ১
= ২০ + ১
= ২১

প্রশ্ন:  শহিদ 240 টাকায় কতগুলো কলম কিনল। সে যদি ঐ টাকায় একটি কলম বেশি পেত তাহলে প্রতিটি কলমের দাম গড়ে 1 টাকা কম পড়তো। সে কতগুলো কলম কিনল?

সমাধান;
মনে করি,
 শহিদ 240 টাকায় y টি কলম কিনেছিল।
অতএব, প্রতিটি কলমের দাম 240/y টাকা

সে যদি 240 টাকায় (y + 1) টি কলম পেতো তবে প্রতিটি কলমের দাম পড়তো 240/(y + 1) টাকা 

প্রশ্নানুসারে,
240/y - 240/(y + 1) = 1
⇒ (240y + 240 - 240y)/y(y + 1) = 1
⇒ y² + y = 240
⇒ y² + 16y - 15y - 240 = 0
⇒ y(y + 16)-15(y + 16) = 0
⇒ (y + 16)(y - 15) = 0
⇒ y = 15, y + 16 ≠ 0
∴ সে 15 টি কলম কিনেছিল।