Math Master

f(x) = 2x² + 7x + 5 
∴ f( -1/2) = 2( -1/2)² + 7( -1/2) + 5
             = 2/4 - 7/2 + 5
             = 1/2 - 7/2 + 5
             = 2

g(x, y) = 3x² - y² + x - 3 
g(1, - 1) = 3 × 1² - ( - 1)² + 1 - 3
              = 3 - 1 + 1 - 3
               = 0

রাশিতে যে পদের চলকের মাত্রা সবচেয়ে বড় ঐ পদ মুখ্যপদ।
- 5y⁶ + 4y⁵ - 6y⁴ + 21y³ - 1 বহুপদীর মুখ্যপদ  - 5y⁶

বহুপদীর চলকের সর্বোচ্চ মাত্রাই হচ্ছে ঐ বহুপদীর মাত্রা। 
অতএব, - x³ + 2x⁵ - 1 বহুপদীর মাত্রা 5

বহুপদীর যে পদের চলকের মাত্রা সবচেয়ে বড় সেই পদ মুখ্য পদ।
মুখ্য পদের সহগ হচ্ছে মুখ্য সহগ। 
1 - 2z² +7z⁵/2 - 8z³ -z বহুপদীর মুখ্য পদ 7z⁵/2 এবং মুখ্য পদের সহগ 7/2।
অতএব, মুখ্য সহগ = 7/2

"যদি f(x) ধনাত্মক মাত্রার বহুপদী হয় এবং f(a) = 0 হয়, তবে f(x) এর একটি উৎপাদক (x - a) হবে।" - এটি উৎপাদক উপপাদ্য।



সূত্র - নবম-দশম শ্রেণি, উচ্চতর গণিত, বোর্ড বই।

যদি f(x) এর মাত্রা ধনাত্মক হয় এবং a ≠ 0 হয়, তবে f(x) কে (ax + b) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ f( - b/a) হবে। 



সূত্র - নবম-দশম শ্রেণি, উচ্চতর গণিত, বোর্ড বই।

সূত্র - নবম-দশম শ্রেণি, উচ্চতর গণিত, বোর্ড বই।

সূত্র - নবম-দশম শ্রেণি, উচ্চতর গণিত, বোর্ড বই।

একই সমমাত্রিক চলকের সহগ সমান হয় ও ধ্রুবকগুলো সমান হয়। 
যদি সকল x এর জন্য ax + b = cx + d হয়, তবে ax = cx ⇒ a = c এবং b = d 

f(x) = x³ - 4x² + 6x - 4 
f(2) = 2³ - 4(2²) + 6 × 2 - 4 = 8 - 16 + 12 - 4 = 0
অতএব, (x - 2), f(x) এর একটি উৎপাদক।

যদি f(x) = 7x³ - 8x² + 6x - 36 বহুপদীর উৎপাদক (x - 2) হয়, তবে ভাগশেষ f(2) বা 0 হবে।

f(x) = 7x³ - 8x² + 6x - 36
f(2) = 7(2³) - 8(2²) + 6 × 2 - 36 = 0

ধরি, f(a) = a³(b - c) + b³(c - a) + c³(a - b)
f(b) = b³(b - c) + b³(c - b) + c³(b - b)
       = b³(b - c) - b³(b - c)
       = 0
f(c) = c³(b - c) + b³(c - c) + c³(c - b)
       = c³(b - c) - c³(b - c)
       = 0
এবং f( - b - c)
= ( - b - c)³(b - c) + b³{c - ( - b - c)} + c³{( - b - c) - b}
= - (b + c)³(b - c) + b³(b + c + c) - c³( b + c + b)
= - (b + c)³(b - c) + b³(b + c) + b³c - c³( b + c) - bc³)
= - (b + c)³(b - c) + (b + c)(b³ - c³) + b³c - bc³
= - (b + c)³(b - c) + (b + c)(b - c)(b² + bc + c²) + bc(b² - c²)
= - (b + c)³(b - c) + (b + c)(b - c)(b² + bc + c²) + bc(b + c)(b - c)
= (b + c)(b - c){- (b + c)² + b² + bc + c² + bc}
= (b + c)(b - c)(- b² - 2bc - c² + b² + bc + c² + bc)
= (b + c)(b - c)(- 2bc + 2bc)
= 0
অতএব, (a - b), (a - c), (a + b + c) প্রত্যেকে f(a) এর উৎপাদক।

x³ + y³ + z³ = 3xyz 
⇒ x³ + y³ + z³ - 3xyz = 0
⇒ (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx) = 0
⇒ x + y + z = 0

a² - 5a + 6 = 0 
⇒ a² - 3a - 2a + 6 = 0
⇒ a(a - 3) - 2(a - 3) = 0
⇒ (a - 3)(a - 2) = 0
⇒ a = 2,3

সূত্র - নবম-দশম শ্রেণি, উচ্চতর গণিত, বোর্ড বই।

সূত্র - নবম-দশম শ্রেণি, উচ্চতর গণিত, বোর্ড বই।

x² + 7x - 60 রাশিটি x - a দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হলে, f(a) = 0 হবে। 
মনে করি, f(x) = x² + 7x - 60 
f(a) = a² + 7a - 60
       = a² + 12a - 5a - 60
       = a(a + 12) - 5(a + 12)
        = (a - 5)(a + 12)

∴ (a - 5)(a + 12) = 0
⇒ a = 5, - 12

 7x² - xy + 7 পূর্ণবর্গ হবে যদি নিশ্চায়ক শূন্য হয়।
অতএব, নিশ্চায়ক,
y² - 4 × 7 × 7 = 0
⇒ y² = 196
⇒ y = 14