১৪০ দিনে ৫১তম বিসিএস প্রস্তুতি

মনেকরি,
ঘনকের এক ধার = a 
ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2
প্রশ্নমতে,
 a√2 = 6√2 
 a = 6

ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√3
                                   = 6√3

ধরি,
সরলরেখাটির দৈর্ঘ্য = x
সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গ = x²
সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গ = (x/3)² বা, x²/9

একটি সরল রেখার উপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গের 9 গুণ।

ধরি,
সামান্তরিকের উচ্চতা x,
সামান্তরিকের ভূমি 3x/2
প্রশ্নমতে,
3x/2 × x = 216
 => 3x²/2  = 216
=> x² = (216 ×2)/3
 => x² = 144
      x = 12
এখন, ভূমি = 3x/2 = 3✕12/2= 18

চাকার ব্যাসার্ধ = ৪মিটার 
একটি চাকা একবার ঘুরলে তার পরিধির সমান দুরত্ব অতিক্রম করে।
পরিধি = ২πr
         = ২ x π X ৪ মিটার
        = ২৫.১৩২৮


তাহলে চাকা ঘুরবে = (৩০০০/২৫.১৩২৮) বার =১১৯বার

ধরি,
লম্বের দৈর্ঘ্য = x
তাহলে, ভূমির দৈর্ঘ্য = x - 2
অতিভুজের দৈর্ঘ্য = x + 2
আমরা জানি,
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
⇒ (x + 2)² = (x - 2)² + x²
⇒ x² + 4x + 4 = x² - 4x + 4 + x²
⇒ x² - 8x = 0
⇒ x(x - 8) = 0
⇒ x = 8 [যেহেতু, ত্রিভুজের লম্ব কখনো শূন্য হতে পারে না]
তাহলে, ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য = 8 + 2 = 10 মিটার= 1000 সে.মি.    

১. ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
২. ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ দুইটির প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর।
৩. সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয় পরস্পর পূরক।

বৃত্তের কেন্দ্র হতে যেকোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব উক্ত জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
AD = BD 
জ্যাAB = AD + BD = 2AD = 2 × 6 = 12 সে. মি.

আমরা জানি 
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোগক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্য তার অর্ধেক। 
DE=BC/2 
BC = 2DE 
      = 2 ×5 
      = 10 সে.মি.

মনে করি,
গোলকদ্বয়ের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 3r, 4r

তাদের আয়তনের অনুপাত = {(4/3) π (3r)³} : {(4/3) π (4r)³}
                                          = 27 : 64

ΔABC এ AB = BC হলে ∠C = ∠A 

 ∠ A + ∠B + ∠C = 180°
∠C + 90° +∠C =180°
2∠C =180° - 90°
2∠C =90°
∠C=45°

মইটি বাড়ির দেয়াল মাটির সাথে সমকোণ তৈরী করেছে
সমকোণী ত্রিভূজের ক্ষেত্রে
অতিভূজ² = লম্ব² + ভূমি²
= ২৪²+৭²
= ৫৭৬ + ৪৯ 
= ৬২৫

∴ অতিভূজ = √৬২৫ = ২৫ ফুট

∴ মইয়ের উচ্চতা = ২৫ফুট

 রম্বসের ক্ষেত্রফল= ১/২ × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
                           = ১/২ × ৬ × ১২ = ৩৬বর্গ সে.মি.
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = ক সে.মি.
∴ ক^২ = ৩৬ বর্গ সে.মি.
∴ ক = ৬ সে.মি.

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ক = ৪ × ৬ = ২৪ সে.মি

ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ক মিটার হলে,
ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = ৬ক^২ বর্গমিটার.

সুতরাং ৬ক^২ =২১৬
বা, ক^২ = ৩৬
বা, ক = ৬

সুতরাং ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ মিটার।
ঘনকের আয়তন = ক^৩ ঘন সে. মি.
                              = ৬^৩  ঘন সে. মি.
                              = ২১৬ ঘন সে. মি.

ত্রিভুজের  তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°

ত্রিভুজের তৃতীয় কোণ= ১৮০° - (৩২° + ৫৮°)
                                 = ৯০°  

যেহেতু ত্রিভুজের একটি কোণ ৯০° 
সুতরাং 
ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ

    
আমরা জানি 
বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ। 

ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজে  ∠BAD ও  ∠BCD পরস্পর বিপরীত কোণ।  
∠BAD ও ∠BCD এর সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০°

কোণকের উচ্চতা  h = 8  সে. মি
ভূমির ব্যাসার্ধ r = 6 সে.মি.
কোণকের আয়তন = 1/3πr²h
                              = 1/3π ×6² × 8
                               = 1/3π ×36× 8
                           =96π ঘন সে.মি.

ধরি,
অপর বাহুদ্বয়ের একটি 3x এবং অন্যটি 4x.

পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে আমরা পাই 
  (3x)² + (4x)² = 25²
⇒ 9x² + 16x² = 625
⇒ 25x² = 625
⇒ x² = 25
⇒ x = 5
∴ অপর বাহুদ্বয়ের একটি 3x = 15 মিটার এবং অন্যটি 4x = 20 মিটার।

ত্রিভুজটির পরিসীমা=  (25 + 15 +20) =  60 মিটার

 বৃত্তের কোন বিন্দুতে একটি মাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।  

রাস্তাসহ আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৮৫ মিটার
রাস্তাসহ আয়তাকার বাগানের প্রস্থ ৩৫মিটার
রাস্তাসহ আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল (৮৫ ×৩৫) বর্গমিটার 
                                                            = ২৯৭৫ বর্গমিটার 

রাস্তাবাদে আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = {৮৫ - (৩×২)} মিটার 
                                                        = ৭৯ মিটার 

রাস্তাবাদে আয়তাকার বাগানের  প্রস্থ = {৩৫ - (৩×২)} মিটার 
                                                      = ২৯ মিটার 

রাস্তাবাদে আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = ৭৯ ×২৯ বর্গমিটার 
                                                               = ২২৯১ বর্গমিটার 

রাস্তাটির ক্ষেত্রফল= (২৯৭৫ - ২২৯১)   বর্গমিটার 
                              = ৬৮৪ বর্গমিটার

বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
বা বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।

বৃত্তের পরিধিস্থ কোণ = কেন্দ্রস্থ কোণ/২ = ১৩০°/২ = ৬৫°

মনেকরি
বেলনের উচ্চতা h= 10 সে. মি. 
ভূমির ব্যাসার্ধ  r = 7 সে.মি. 

সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
                                  = 2 × π × 7(7 + 10)
                                  = 238π  বর্গ সে. মি.