Math Master

এখন 
x + 2y = 7 
x = 7 - 2y .......... (i)
আবার,
2(7 - 2y) - 3y=0
⇒14 - 4y - 3y = 0 
⇒14 - 7y = 0 
⇒7y = 14 
 ∴ y = 2 

(i)  নং সমীকরণে y এর মান বসিয়ে পাই,
x = 7 - 2×2
   = 7- 4
   = 3

 x > y...….....(1)
z < 0............(2)

(2) নং হতে, z অবশ্যই ঋণাত্মক সংখ্যা
(1) নং কে z দ্বারা গুন করলে, xz < yz.

ঐ শ্রেণির ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা =a  
1 জন্যে চাঁদা দেয়  a +30 পয়সা 

প্রশ্নমতে,
  a( a +30) = 7000
⇒a² + 30a -7000 = 0
⇒a² + 100a - 70a - 7000= 0
⇒a(a +100) - 70 (a +100) =0
   (a +100) (a- 70) = 0

হয় 
a +100 = 0 
a = -100 [গ্রহণযোগ্য নয়]

অথবা,
a - 70 = 0
a = 70
ঐ শ্রেণির ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা = 70 জন

      ।3x + 2।<7
বা, - 7 < 3x + 2 < 7
বা, - 7 - 2 <3x + 2 - 2<7 - 2
বা, - 9 < 3x < 5
বা, - 3 < x< 5/3

∴ নির্ণেয় সমাধান - 3 < x< 5/3

ধরি,
ত্রিভুজটির ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য x সে.মি. অপর বাহুর দৈর্ঘ্য x + 3 সে.মি.  

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী
x² +(x+ 3)² = 15²
x² + x² + 6x + 9 = 225 
2x² + 6x +9 -225 =0
2x² + 6x -216 =0
2(x² +3x - 108) = 0
x² + 3x - 108 =0 
x² + 12x- 9x -108 =0
x(x +12) - 9(x +12)= 0
(x +12) (x - 9) = 0

হয়                        
x +12= 0             
x = -12 [গ্রহণযোগ্য নয় ]

অথবা 
x - 9= 0
x = 9 

ত্রিভুজটির ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য 9 সে.মি. 
অপর বাহুর দৈর্ঘ্য (9 + 3) সে.মি.  = 12  সে.মি.  
 
ত্রিভুজটির পরিসীমা= (9 +12 +15) সে.মি. = 36 সে.মি

2x² + 5x + 3 < 0 
2x² + 2x + 3x + 3 < 0 
2x (x + 1) + 3 (x + 1) < 0
(x + 1)(2x + 3) < 0

দুটি সংখ্যার গুণফল শুন্য অপেক্ষা ছোট হবে যদি এবং কেবল যদি এদের যে কোনো একটি ঋণাত্মক হয়। 
ধরি                      এবং 
x + 1 > 0                2x + 3 < 0
x > -1                      x < -3/2

∴ x > -1 ∩  x < -3/2  ⇒∅

আবার,
ধরি                  এবং 
x + 1< 0            2x + 3 > 0
x < -1                 x > -3/2

∴ x < -1 ∩ x > -3/2
⇒  -3/2<x <-1
নির্ণেয় সমাধান -3/2<x <-1

মনেকরি,
ভগ্নাংশটির লব= x
ভগ্নাংশটির হর= x+1
ভগ্নাংশটি=x/x+1

শর্তমতে,
(x-2)/(x+1+2)=1/6
(x-2)/(x +3) =  1/6
6x- 12 = x + 3
5x = 15
x =3

 নির্ণেয় ভগ্নাংশটি= x/x+1=3/3+1=3/4

মনে করি
সংখ্যাটি x

প্রশ্নমতে,
5x < 2x + 15
বা, 5x - 2x < 2x + 15 - 2x 
বা, 3x < 15
বা, x < 5
যেহেতু সংখ্যাটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা
∴ সংখ্যাটির সম্ভাব্য মান 0 < x < 5

2x + 3y = 1 .............(1)
5x - 2y = -7 .............(2)

(1)×5 এবং (2)×2 করে বিয়োগ করে পাই,
10x +15y = 5
10x -4y = -14
_________________
19y = 19
    y =1

y এর মান (1) সমীকরণে বসিয়ে পাই,
2x +3.1 =1
x = -1
∴(x, y) = (-1, 1)

x² - 5x + 6 < 0
বা, (x - 2)(x - 3) < 0

অসমতাটি সত্য হবে যদি x - 2 > 0 এবং x - 3 < হয়।
x - 2 > 0
বা, x > 2
x - 3 < 0
বা, x < 3
x > 2 এবং x < 3 অর্থাৎ x এর মান 2 এর চেয়ে বড় এবং 3 এর চেয়ে ছোট হবে।

অসমতাটি সত্য হবে যদি 2 < x < 3 হয়।
অসমতাটির সমাধানঃ 2 < x < 3

আবার,
অসমতাটি সত্য হবে যদি x - 2 < 0 এবং x - 3 > হয়।
x - 2 < 0
বা, x < 2
x - 3 > 0
বা, x > 3
x < 2 এবং x > 3 অর্থাৎ  2 এর চেয়ে ছোট এবং 3 এর চেয়ে বড় এমন সংখ্যা পাওয়া অসম্ভব।
সুতরাং অসমতাটির সমাধানঃ 2 < x < 3

x ≤ x/3 + 4 
⇒x - x/3 ≤x/3 + 4 - x/3   
⇒(3x - x)/3 ≤ 4
⇒2x/3 ≤ 4
⇒(2x/3) ×(3/2)≤ (4 ×3)/2
 ∴ x≤6

ধরি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ = ক মিটার এবং দৈর্ঘ্য = (ক+২) মিটার
ক্ষেত্রফল = ক(ক+২)

প্রশ্নমতে,
ক(ক+২) = ৩৬০
⇒ ক(ক+২) - ৩৬০ = ০
⇒ ক^২ + ২ক - ৩৬০ = ০
⇒ ক^২ + ২০ক - ১৮ক - ৩৬০ = ০
⇒ ক(ক+২০) - ১৮(ক + ২০) = ০
⇒ (ক+২০)(ক-১৮) = ০
হয়
ক+২০=০
ক = - ২০ [যা অগ্রহণযোগ্য]

অথবা
ক-১৮= ০ 
ক = ১৮

∴ প্রস্থ ১৮ মিটার এবং দৈর্ঘ্য ২০ মিটার।


আয়তাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা= ২(২০ + ১৮ ) মিটার  =৭৬ মিটার 

মনেকরি 
মারুফ পাবে = x  টাকা 
লিঙ্কন পাবে = x + 3x/4 = 7x/4

 প্রশ্নমতে,
        x + 7x/4 = 275
       (4x +7x)/4 =275 
             11x/4 =275
             x = (275×4)/11
             x = 100 

লিঙ্কন পাবে =(7×100)/4
                    = 175  টাকা

 মনেকরি 
মোট টাকার পরিমাণ= x

x/12 - x/16 =400
(4x-3x)/48= 400
x/48 =400
x= 400 × 48 
x= 19,200 

|2 - 8x| ≤ 6
বা, -6 ≤ 2 - 8x ≤ 6 
বা, -8 ≤ - 8x ≤ 4 
বা, 1 ≥ x ≥ -1/2 [উভয় পক্ষকে -8 দ্বারা ভাগ করে]

∴ পরমমান চিহ্ন ব্যতীত প্রকাশ 1 ≥ x ≥ -1/2

3x-7y+10=0……..(1)

y-2x-3=0
⇒y = 2x+3………(2)

(1) নং হতে পাই,
   3x-7(2x+3)+10=0
⇒3x- 14x - 21+10=0
⇒-11x=11
∴x = -1
(2) নং হতে পাই,
      y = 2(-1)+3=1

∴ x = -1, y = 1

x  < y ........ (i)
a < b ..........(ii)
(i)  নং  + (ii) নং 

x +a < y + b