Math Master

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি একটি সেটের উপসেট সংখ্যা হতে পারে না?

সমাধান: 
n সংখ্যক সদস্য সংখ্যাবিশিষ্ট সেটের উপসেটের সদস্য সংখ্যা = ২ⁿ
৭০ কে ২ এর ঘাত হিসেবে প্রকাশ করা যায়  না।
তাই, ৭০ সংখ্যাটি একটি সেটের উপসেট সংখ্যা হতে পারে না।

প্রশ্ন: যদি A = {x ∈ N : 2^x = 4}  এবং B = {x : x ∈ N, x সংখ্যাটি 3 দ্বারা বিভাজ্য} হয়, তাহলে A ∩ B = ?

সমাধান: 
এখানে, 2^x = 4
⇒ 2^x = 2²
⇒ x = 2

∴ A = {2}

আবার,
B = {3, 6, 9, 12, …… }

∴ A ∩ B = {2} ∩ {3, 6, 9, 12, …… } = ∅

প্রশ্ন: A = {1, 3, 5} হলে এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
A সেটের উপাদান = ৩ টি
A এর প্রকৃত উপসেট = ২^৩ = ৮ টি
প্রকৃত উপসেট = ৮ - ১ = ৭ টি

প্রশ্ন: 50 জন লোকের মধ্যে 35 জন ইংরেজি বলতে পারে, 25 জন ইংরেজি ও বাংলা বলতে পারে এবং প্রত্যেকেই দুইটি ভাষার অন্তত একটি বলতে পারে। কেবলমাত্র বাংলা বলতে পারে কত জন?

সমাধান:
৫০ জন লোকের মধ্যে ইংরেজিতে কথা বলে ৩৫ জন।
অতএব শুধু বাংলায় কথা বলে = ৫০ - ৩৫ = ১৫।

আবার,
বাংলা ও ইংরেজি উভয় ভাষায় কথা বলে ২৫ জন।
অতএব বাংলায় মোট কথা বলে= ২৫ + ১৫ = ৪০ জন।

অর্থাৎ, কেবলমাত্র বাংলায় কথা বলতে পারে - ৪০ - ২৫ = ১৫ জন।

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : x হলো ফিবোনাক্কি সংখ্যা এবং x² < 25}, P(A) এর উপাদান সংখ্যা কত?

সমাধান:
ফিবোনাক্কি সংখ্যাগুলো হল 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…..

এখানে, x² < 25 এবং x স্বাভাবিক সংখ্যা।

তাই, প্রদত্তশর্তে 1, 2 , 3, 4 সংখ্যাগুলো নেওয়া সম্ভব।
কিন্তু যেহেতু x ফিবোনাক্কি সংখ্যা, সেহেতু 4 গ্রহণযোগ্য হবে না।

∴ 1 , 2, 3  হবে A সেটের সদস্য, A = {1, 2, 3}

∴ P(A) এর উপাদান সংখ্যা = 2³ = 8

প্রশ্ন: ৩টি সংখ্যার গড় ২৯। দুইটি সংখ্যা ২৪ এবং ৩৫ হলে অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:  
৩টি সংখ্যার গড় ২৯ হলে এদের সমষ্টি = ৩ × ২৯ = ৮৭
দুইটি সংখ্যা ২৪ এবং ৩৫ হলে অপর সংখ্যাটি হবে = ৮৭ - (২৪ + ৩৫) = ২৮

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যা x ও y এর গড় ৪৫। যদি z অঋণাত্মক সংখ্যা হয়, তবে x, y, z সংখ্যা তিনটির সর্বনিম্ন গড় কত হতে পারে?

সমাধান: 
x ও y এর সমষ্টি = ৪৫ × ২ = ৯০

z  অঋণাত্মক সংখ্যা, z এর  সর্বনিম্ন  মান হতে পারে ০

∴ x, y, z সংখ্যা তিনটির সর্বনিম্ন গড় = (৯০ + ০)/৩ = ৩০

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ২৮ জন ছাত্র ফুটবল খেলে, ২২ জন ক্রিকেট খেলে, ৫ জন কিছুই খেলে না। যদি ১০ জন ফুটবল ও ক্রিকেট উভয়ই খেলে, তবে ঐ ক্লাসে ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান: 
n(F) = ২৮
n(C) = ২২
n(F ∩ C) = ১০

n(F ∪ C) = n(F) + n(C) - n(F ∩ C)
= ২৮ + ২২  - ১০
= ৪০

অর্থাৎ ৪০ জন ফুটবল বা ক্রিকেট এর অন্তত একটি খেলতে পারে।
ঐ ক্লাসে ছাত্র সংখ্যা = ৪০ + ৫ = ৪৫

প্রশ্ন:১ হতে ৩০ পর্যন্ত সকল পূর্ণবর্গ  সংখ্যার গড় কত?

সমাধান: 
১ ও ৩০ এর মধ্যে পূর্ণবর্গ  সংখ্যাগুলো হল   ১ , ৪ , ৯ , ১৬ , ২৫ 
সংখ্যাগুলোর গড় = ( ১ + ৪ + ৯ + ১৬ + ২৫ ) / ৫
= ৫৫/৫
= ১১

প্রশ্ন: ৯, ৪, ১৯, ২৫, ৩ সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?

সমাধান:
সংখ্যাগুলোকে উর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই  ৩ , ৪ , ৯ , ১৯ , ২৫
যেহেতু এখানে বিজোর সংখ্যক সংখ্যা রয়েছে সেহেতু মধ্যক হবে মাঝের সংখ্যাটি।
∴ মধ্যক হচ্ছে ৯

প্রশ্ন: আবহাওয়া দপ্তর থেকে পাওয়া রিপোর্ট অনুযায়ী ২০২২ সালে জুন মাসের ২য় সপ্তাহে বজ্রপাত হয়েছে ২ দিন। ঐ সপ্তাহে বজ্রপাত না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
২য় সপ্তাহে মোট   ৭ দিন
২য় সপ্তাহে বজ্রপাত হয়েছে ২ দিন
২য় সপ্তাহে বজ্রপাত হয় নি  ৫ দিন
বজ্রপাত না হবার সম্ভাবনা = ৫/৭

প্রশ্ন: দুটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হল। কমপক্ষে একটি টেল পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
মোট ঘটনা ৪ টি = {HH, HT, TH, TT}
কমপক্ষে একটি টেল (T) আসে এমন অনুকূল ঘটনা ৩টি = { HT, TH, TT}

কমপক্ষে একটি টেল (T) পাবার সম্ভাবনা = ৩/৪

প্রশ্ন: দুটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হল। ছক্কা দুটি থেকে প্রাপ্ত সংখ্যার যোগফল ৫ হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
মোট ঘটনা  = ৬ × ৬ = ৩৬ 
ছক্কা দুটি থেকে প্রাপ্ত সংখ্যার যোগফল ৫ হবে এমন অনুকূল ঘটনাসমূহ =  (১,৪ ), (২, ৩), (৪, ১), (৩, ২) = ৪ 

সম্ভাব্যতা = ৪/৩৬ = ১/৯

প্রশ্ন: ৫২ টি তাসের প্যাকেট থেকে একটি তাস দ্বৈবভাবে নেয়া হল। তাসটি হরতন বা রুইতন হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
একটি প্যাকেটে মোট তাসের সংখ্যা = ৫২
হরতন তাসের সংখ্যা = ১৩
রুইতন তাসের সংখ্যা = ১৩

তাসটি হরতন বা রুইতন হওয়ার সম্ভাবনা = (১৩/৫২) + (১৩/৫২)
= (১/৪) + (১/৪)
= ১/২

প্রশ্ন: একটি ব্যাগে ৮ টি লাল এবং ১০ টি সাদা বল আছে। দ্বৈবচয়নে একটি বল তোলা হলে, বলটি লাল হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
মোট বল = ১৮ টি
লাল বল = ৮ টি
বলটি লাল হওয়ার সম্ভাব্যতা =  ৮/১৮ 
 = ৪/৯

প্রশ্ন: কোনো পুনরাবৃত্তি ছাড়া ০, ২, ৩, ৫, ৮ অংকগুলো দিয়ে চার অংকের একটি সংখ্যা গঠন করা হল। সংখ্যাটি ১০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান: 
৫টি অঙ্ক থেকে ৪টি অঙ্ক নিয়ে গঠিত মোট সংখ্যা = ^৫P_৪ = ১২০ টি
প্রথমে ০ স্থির রেখে বাকি ৪টি অঙ্ক থেকে ৪টি অঙ্ক নিয়ে গঠিত মোট সংখ্যা = ^৪P_৪ = ২৪ টি

∴ কোনো পুনরাবৃত্তি ছাড়া ০, ২, ৩, ৫, ৮ অংকগুলো দিয়ে অর্থপূর্ণ ৪ অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা হবে  = ১২০ - ২৪ = ৯৬ টি

আবার,
১০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হতে হলে শেষ অংকটি শুন্য হতে হবে।
শেষে ০ স্থির রেখে বাকি ৪টি অঙ্ক থেকে ৩টি অঙ্ক নিয়ে গঠিত মোট সংখ্যা = ^৪P_৩ = ২৪ টি

∴  ১০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য এমন সংখ্যা হবে = ২৪ টি

∴ সম্ভাব্যতা = ২৪/৯৬ = ১/৪

প্রশ্ন: ৮, ৪, ১, ১২, ১০, ৬ উপাত্তগুলোর মধ্যক কত?

সমাধান: 
উপাত্তগুলোকে মানের উর্ধ্বক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই, ১, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২
যেহেতু এখানে জোড় সংখ্যক সংখ্যা রয়েছে, তাই মধ্যক হবে মাঝের দুটি সংখ্যার গড়।

∴ মধ্যক = (৬ + ৮)/২ = ১৪/২ = ৭