Math Master

প্রশ্ন: HUMAN শব্দটিকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
HUMAN শব্দটিতে ৫টি অক্ষর রয়েছে এবং সবগুলো অক্ষর ভিন্ন।
∴ মোট সাজানোর উপায় ^৫P_৫ = ৫! = ১২০

প্রশ্ন: ২২ সদস্যবিশিষ্ট একটি ফুটবল দল থেকে একজন অধিনায়ক ও একজন সহ-অধিনায়ক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান:
২২ জন থেকে ১ জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ^২২C_১ = ২২ উপায়ে
অধিনায়ক বাদে বাকি ২১ জন থেকে ১ জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ^২১C_১ = ২১ উপায়ে

∴ বাছাই সংখ্যা = ২২ × ২১ = ৪৬২

প্রশ্ন: স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে 'ENGLAND' শব্দটিকে কতভাবে বিন্যস্ত করা যায়?

সমাধান:
'ENGLAND'  শব্দটিতে মোট বর্ণ 7টি যেখানে N 2টি এবং বাকি বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন এবং স্বরবর্ণ 2টি।
7টি বর্ণকে সাজানো যায় = 7!/2! = 2520

স্বরবর্ণ দুটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ 6টি যেখানে N 2টি
6টি বর্ণকে সাজানো যায় = 6!/2!

স্বরবর্ণ দুটিকে সাজানো যায় = 2!

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে বিন্যাস = (6!/2!) × 2!
= 6!
= 720

∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে বিন্যাস = 2520 - 720
= 1800

প্রশ্ন: ১২টি বিন্দুর মধ্যে ৮টি সমরেখ। প্রদত্ত বিন্দুগুলো দিয়ে কয়টি সরলরেখা আঁকা যাবে?

সমাধান:
সরলরেখা তৈরি করতে মোট বিন্দু লাগে ২টি।
১২টি বিন্দু দিয়ে সরলরেখা আঁকা যায় ^১২C_২ = ৬৬টি

এখানে ৮টি বিন্দু সমরেখ তাই তাদের দিয়ে আলাদা বা বিচ্ছিন্ন রেখা পাওয়া যায়না।
৮টি বিন্দু দিয়ে সরলরেখা হত ^৮C_২ = ২৮টি যা মোট থেকে বাদ যাবে। এবং ৮টি বিন্দু একটি সরলরেখা গঠন করে তাই ১ যোগ হবে।

∴ মোট সরলরেখা হবে = ৬৬ - ২৮ + ১টি
= ৩৯টি

প্রশ্ন: FATHER শব্দটি থেকে প্রতিবারে দুটি অক্ষর নিয়ে কতভাবে সাজানো যায়?

সমাধান:
FATHER শব্দটিতে মোট ৬টি ভিন্ন ভিন্ন অক্ষর রয়েছে।
প্রতিবারে দুটি অক্ষর নিয়ে সাজানো যায় ^৬P_২ = ৩০ উপায়ে

প্রশ্ন: ৭ জন বালক ও ৬ জন বালিকা থেকে ৫ সদস্য বিশিষ্ট কতটি দল ঘোষণা করা যাবে যেখানে কমপক্ষে ৩ জন বালক থাকবে?

সমাধান:
বালক      বালিকা
৩            ২
৪             ১
৫            ০

১ম ক্ষেত্রে দল = ^৭C_৩ × ^৬C_২ = ৩৫ × ১৫ = ৫২৫
২য় ক্ষেত্রে দল = ^৭C_৪ × ^৬C_১ = ৩৫ × ৬ = ২১০
৩য় ক্ষেত্রে দল = ^৭C_৫ = ২১

∴ মোট দলের সংখ্যা = ৫২৫ + ২১০ + ২১ = ৭৫৬

প্রশ্ন: ⁿP₄ = 6 × ⁿP₃ হলে n এর মান কত?

সমাধান:
ⁿP₄ = 6 × ⁿP₃
⇒ n!/(n - 4)! = 6 × {n!/(n - 3)!}
⇒ 1/(n - 4) = 6 × {1/(n - 3)(n - 4)!}
⇒ 1 = 6/(n - 3)
⇒ n - 3 = 6
∴ n = 9 

প্রশ্ন: একটি বাক্সে ৩টি সাদা, ৪টি কালো এবং ৩টি লাল বল রয়েছে। কত উপায়ে বাক্স থেকে ৩টি বল তোলা যাবে যেন কমপক্ষে ১টি বল কালো থাকবে?

সমাধান:
১টি কালো এবং বাকি ২টি ভিন্ন = ^৪C_১ × ^৬C_২ = ৪ × ১৫ = ৬০
২টি কালো এবং বাকি ১টি ভিন্ন = ^৪C_২ × ^৬C_১ = ৬ × ৬ = ৩৬
৩টিই কালো = ^৪C_৩ = ৪

মোট = ৬০ + ৩৬ + ৪ = ১০০

প্রশ্ন: MINUS শব্দের বিন্যাস সংখ্যা PLUS শব্দের বিন্যাস সংখ্যার কতগুণ?

সমাধান:
MINUS শব্দের বিন্যাস সংখ্যা = ৫!
PLUS শব্দের বিন্যাস সংখ্যা = ৪!

৫!/৪!
= (৫ × ৪!)/৪!
= ৫ 

∴ MINUS শব্দের বিন্যাস সংখ্যা PLUS শব্দের বিন্যাস সংখ্যার ৫ গুণ।

প্রশ্ন: ১৫টি পুস্তক থেকে ৭টি কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে ২টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে?

সমাধান:
যেহেতু, ২টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে সেহেতু পুস্তক বাকি থাকে (১৫ - ২) বা ১৩টি এবং ৭টি থেকে বাছাই করতে হবে (৭ - ২) বা ৫ টি।

∴ ১৩টি পুস্তক থেকে ৫টি পুস্তক বাছাই করার উপায় = ^১৩C_৫ = ১২৮৭

প্রশ্ন: APPLE শব্দটির অক্ষরগুলো কত প্রকারে সাজানো যায় যখন P গুলো একত্রে থাকবে না?

সমাধান:
APPLE শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে 5টি, যেখানে P আছে ২ বার এবং বাকি অক্ষরগুলো ভিন্ন।
∴ APPLE শব্দটিকে সাজানো যায় 5!/2! = 60 উপায়ে।

P দুটি নিজেদের মধ্যে 2!/2! = 1 উপায়ে সাজে।

এখন P দুটিকে ১টি অক্ষর বিবেচনা করে মোট অক্ষর হয় 4টি 
এই 4 টি অক্ষরকে সাজানো যায় = 4! = 24 উপায়ে
∴ P দুটিকে একত্রে রেখে সাজানো যায় 24 × 1 = 24 উপায়ে

∴ P দুটি একত্রে থাকবে না = (60 - 24) = 36 উপায়ে

প্রশ্ন: ১১টি পুতি দিয়ে মালা তৈরি করা যাবে কত উপায়ে?

সমাধান:
১১টি পুতি দিয়ে মালা তৈরি করা যাবে (১১ - ১)!/২ উপায়ে = ১০!/২ উপায়ে

প্রশ্ন: ২, ৩, ৪, ৫, ৬ এবং ৭ অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে চার-অংক বিশিষ্ট কতটি সংখ্যা তৈরি করা যাবে যেন সংখ্যাটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য হয়?

সমাধান:
৫ দ্বারা বিভাজ্য হতে হলে একক স্থানীয় অংকটি ৫ হতে হবে।
৫ ব্যতীত আর অঙ্ক থাকে ৫টি এবং ঘর বাকি থাকে (৪ - ১) = ৩টি

∴ ১ম ঘর সাজানো যাবে ৫টি অঙ্ক দিয়ে
২য় ঘর সাজানো যাবে ৪টি অঙ্ক দিয়ে
৩য় ঘর সাজানো যাবে ৩টি অঙ্ক দিয়ে
৪র্থ ঘরে থাকবে শুধুমাত্র ৫ অর্থাৎ ১টি অঙ্ক

∴ মোট সংখ্যা হবে = ৫ × ৪ × ৩ × ১ = ৬০টি 

প্রশ্ন: একটি সভায় প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে একবার করে করমর্দন করায় ৪৩৫টি করমর্দন হলো। সভায় মোট কতজন লোক ছিল?

সমাধান:
আমরা জানি করমর্দন দুইজনের মাঝে সংঘটিত হয়।
ধরি,
সভায় লোকের সংখ্যা n জন

∴ ⁿC₂ = 435
⇒ n!/{2! ×(n - 2)!} = 435
⇒ {n(n - 1)(n - 2)!}/{2! ×(n - 2)!} = 435
⇒ n(n - 1)/2 = 435
⇒ n² - n = 870
⇒ n² - n - 870 = 0
⇒ n² - 30n + 29n - 870 = 0
⇒ n(n - 30) + 29(n - 30) = 0
⇒ (n - 30)(n + 29) = 0
⇒ n - 30 = 0 অথবা n + 29 = 0
∴ n = 30 অথবা n = - 29
ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়।
∴ n = 30

∴ সভায় মোট লোক ছিল ৩০ জন।

প্রশ্ন: স্বরবর্ণগুলোকে বিজোড় স্থানে রেখে MACHINE শব্দটির অক্ষরগুলোকে কতভাবে সাজানো যায়?

সমাধান:
MACHINE শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে ৭টি, স্বরবর্ণ আছে ৩টি এবং বিজোড় সংখ্যা আছে ৪টি

সুতরাং স্বরবর্ণগুলো সাজানো যায় ^৪P_৩ = ২৪ উপায়ে
স্বরবর্ণগুলো বসানোর পর বাকি ৪টি ঘরে ৪টি ব্যঞ্জনবর্ণ সাজানো যায় = ৪! = ২৪ উপায়ে

∴ স্বরবর্ণগুলোকে বিজোড় স্থানে রেখে MACHINE শব্দটির অক্ষরগুলোকে সাজানো যাবে = ২৪ × ২৪ উপায়ে = ৫৭৬ উপায়ে

প্রশ্ন: একটি টুর্নামেন্টে ২০টি দল অংশগ্রহণ করেছে, প্রত্যেক দল প্রত্যেক দলের সাথে ২টি করে খেলা খেললে মোট কতটি খেলা পরিচালনা করতে হবে?

সমাধান:
২০টি দল অংশগ্রহণ করে প্রত্যেকে প্রত্যেকের সংখ্যা ১টি করে খেলা খেললে মোট খেলা হবে ^২০C_২ = ১৯০টি।
∴ প্রত্যেক দল প্রত্যেক দলের সাথে ২টি করে খেলা খেললে মোট খেলা হবে = ২ × ১৯০ = ৩৮০টি

প্রশ্ন: চার-অংকের কতটি টেলিফোন নাম্বার রয়েছে যেখানে কমপক্ষে একটি অংকের হলেও পুনরাবৃত্তি ঘটবে?

সমাধান:
টেলিফোন নাম্বার তৈরিতে মোট অঙ্ক ব্যবহৃত হয় (০, ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯) ১০ টি

এই দশটি অংকের সাহায্যে মোট নাম্বার হবে = ১০^৪ = ১০০০০ টি

এই দশটি অংকের পুনরাবৃত্তি না ঘটিয়ে চার অংকের নাম্বার হবে ^১০P_৪ = ৫০৪০ টি

∴ চার-অংকের নাম্বারের মধ্যে কমপক্ষে একটি অংকের হলেও পুনরাবৃত্তি ঘটবে = ১০০০০ - ৫০৪০ টি
= ৪৯৬০টি

প্রশ্ন: একটি পরীক্ষায় মোট ৫টি বিষয়ের উপর পরীক্ষা হয়। কোন পরীক্ষার্থী সেই পরীক্ষায় কত উপায়ে ফেল করতে পারবে?

সমাধান:
পরিক্ষার্থী পরীক্ষায় ১, ২, ৩, ৪, ৫ এর মধ্যে যেকোন সংখ্যক উপায়ে ফেল করতে পারে।

∴ মোট ফেলের উপায় = ^৫C_১ + ^৫C_২ + ^৫C_৩ + ^৫C_৪ + ^৫C_৫
= ৫ + ১০ + ১০ + ৫ + ১
= ৩১

প্রশ্ন: JUMBLE শব্দটিকে কত উপায়ে সাজানো যায় যেখানে স্বরবর্ণ প্রথমে আসবে?

সমাধান:
JUMBLE শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে ৬টি। স্বরবর্ণ আছে ২টি।

প্রথম ঘর স্বরবর্ণ দিয়ে সাজানো যাবে ২ উপায়ে

বাকি ৫ ঘর প্রথম ঘরের স্বরবর্ণ বাদে বাকি ৫টি অক্ষর দিয়ে সাজানো যায় ৫! = ১২০ উপায়ে

∴ প্রথমে স্বরবর্ণ রেখে সাজানো যায় = ২ × ১২০ = ২৪০ উপায়ে।

প্রশ্ন: পাঁচ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের কতটি কর্ণ আছে?

সমাধান:
পাঁচটি বিন্দু দিয়ে মোট রেখা পাওয়া যায় ^৫C_২ = ১০টি
১০টি রেখার মাঝে ৫টি রেখা হলো বহুভুজটির বাহু।
∴ কর্ণের সংখ্যা = (১০ - ৫) = ৫টি